§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.

z = f(x,y) функциясы берілсін. Егер у аргуменіне тұрақты у₀ мәнін беріп тек х-ті ғана өзгертіп отырсақ, онда z тәуелсіз бip айнымалы х-тің функциясы болар еді: z = f(x,y₀) Бұл функцияға бip айнымалы функцияны зерттеудің белгілі әдістерін қолданып, z шамасының х-ке тәуелді өзгеру сипатын ала аламыз: z = f (х, у) беті мен OXZ-ке параллель у = у₀ жазықтығының қиылысу сызығы PS (22-сурет). х-ке ∆х өсімшесін берейік.

22-сурет

Онда оған сәйкес z-те өсімшеге ие болады. Оны z-тің х бойынша дербес өсімшесі дейді де ∆_х z арқылы белгілейді (22- суретте SS' кесіндісі):

∆_xz = f (х + ∆х, у) - f (х,у).

Осы сияқты х-ке тұрақты х₀ мәнін беріп z –тің у-ке тәуелді өзгеру сипатын алуға болады: z = f(x,y) беті мен OYZ-ке параллель х = х₀ жазықтығының қиылысу сызығы. у-ке ∆у-өсімшесін берсек, онда z у - бойынша ∆_уz дербес өсімшеге ие болады (22-суретте ТТ' кесіндісі):

∆_yz = f(x,y + ∆y)-f(x,y).

Ал егер х пен у аргументтеріне сәйкес ∆х және ∆у өсімшелерін берсек, онда z үшін жаңа ∆z өсімшесін аламыз. Ол z функциясының толық өciшесі деп аталады:

∆z = f (х + ∆х, у + ∆у) - f(x,y)

Жалпы жағдайда толық өсімше дербес өсімшелердің қосындысына тең емес:

∆z ∆_хz + ∆_yz

Ескерту. n≥3 айнымалы функциясының толық және дербес өсімшелері осы сияқты анықталады.

Тұрақты мәнді тәуелсіз х,у айнымалыларының біріне емес, z функциясының өзіне бере отырып та z = f(x,y) функциясын зерттеуге болады. z = z₀ деп алсақ

f(x,y) = z₀ (1)

теңдеуі (z функциясының тұрақты z₀ мәнін сақтай отырып) х пен у айнымалыларының арасындағы тәуелдікті береді.

23-сурет

Бул жағдайда z = f(x,у) бeтi мен OXY-ке параллель z = z₀ жазықтығының L қиылысу сызығын аламыз (23 - сурет).

OXY жазықтығында (1) теңдеу f(x,y) = 0 түріне ие болды және бұл теңдеу L сызығының OXY -жазықтығындағы l проекциясын анықтайды. Координаталары х,у болатын нүкте l қисығының бойымен қозғалғанда, z-функциясы тұрақты z₀ мәнін сақтайды.

Анықтама. z = f(x,y) функциясының деңгей сызығы деп (х,у)l нүктелерінде функция тұрақты мән сақтайтын l OXY қисығын айтады.

Қолданбалы ғылымда деңгей сызығын зерттелетін екі айнымалы функцияны көз алдымызға елестету үшін жиі қолданады. Мысалы, жер нүктесінің теңіз деңгейінен биіктігін екі айнымалы функция ретінде қарастырып, картаға осы функцияның деңгей сызықтарын салады. Оларды топографияда горизонтальдар (жатық сызықтар) деп атайды. Жатық сызықтардың орналасуына қарай жер биіктігінің өзгеруін көруге болады.

Аныктама. f(x,y) функциясы нүктесінің қандай да бip маңайында анықталған болсын (оның нүктесінің өзінде анықталмауы да мумкін, яғни х ≠ х₀ немесе у ≠ у₀).

Егер әрбір ε>0 саны арқылы теңсіздігін қанағаттандыратын барлықнүктелері үшін

шарты орындалатындай δ>0 саны бар болса, онда А саны f функциясының нүктесіндегі шегідеп аталады да

немесе (2)

деп жазьлады.

n-тәуелсіз айнымалы функция шегі де дәл осылай анықталады.

Егер А саны функциясының нүктесіндегі шегі болса, ондаА саны функциясының бойынша нөл нүктесіндегі шегі:

және керісінше болатыны айқын көрініп тұр.

Анықтама. Егер функциясы нүктесінің қандайда бip маңайында және осы нүктесінде анықталып

немесе (3)

теңдігі орындалса, онда функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

f функциясының нүктесіндегі дік шартын оған пара-пар

(4)

түрінде жазуға болады, яғни, функциясы бойынша нүктесінде узіліссіз болса, онда функциясы нүктесінде узіліссіз.

Егер х = х₀ + ∆х, у = у₀ + ∆у деп алсақ, онда (3) теңдікті

немесе

(5)

түрінде де жазуға болады. Бұл теңдік (х₀,у₀) нүктеде узіліссіз функцияның осы нүктедегі шегі функцияның (х₀,у₀) нуктесіндегі мәніне тең болатынын көрсетеді.

Егер деп алсақ, онда және

және, керісінше

Олай болса (5) теңдігін

(6)

түрінде жазуға болады.

Аймақтың әpбip нүктесінде үзіліссіз болатын функция осы аймақта үзіліссіз деп аталады.

Шектің касиеттерінен: Р₀(х₀,у₀) нүктесінде үзіліссіз f(x,y), φ(x,y) функцияларының қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және φ(х₀,у₀) ≠ 0 болса бөліндісі үзіліссіз функция болатыны шығады.

1-ескерту. Екі айнымалы функцияның үзіліс нүктелері тұтас сызықтарды құрауы да мүмкін.

2-ескерту. Айнымалылары кез келген сан болатын функция үзіліссіздігі де дәл осы сиякты анықталады.