- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
1. Туынды
нүктесінде және оның қандайда бip маңайында
анықталған функция болсын. – нүктесі деп аргумент өсімшесі ал оған сәйкес келетін функция өсімшеci
арқылы белгіленетін еді.
Анықтама. Егер шегi
бар болса, онда бұл сан y = f(x) функциясының х0 -нүктесіндегі туындысы деп аталады да т.с.с. таңбаларының бірімен белгіленеді.Сонымен, немесе т.с.с. (1)
Егер (1) - шек немесе болса, онда функциясының - нүктедгі туындысы шексіздікке тең.
Егер (1) - теңдіктегі шектер немесе жағдайында қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) f функциясының х0 нүктесіндегі оң жақ туындысы, ал немесе жағдайында қарастырылса, онда сол жақ туындысы деп аталады да олар, сәйкес, арқылы белгіленеді.
Функцияның нүктесінде туындысы бар болуы үшін:
1) 2) шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Онда (2)
Ескерту, Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бip жақты туындылары болмауы мүмкін.
Ал бұған кері тұжырым үшін олай емес: х нүктесінде туындысы бар функция осы х - нүктесінде үзіліссіз болады. Бұл кері тұжырым біржақты туындылар жағдайында да орындалады.
Салдар. Егер х0 нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде f- тің шенелген туындысы болмайды.
2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
Лездік жылдамдық нүктенің түзудегі қозғалысының заңдылығын өрнектейтін функция болсын: S- нүктенің t-(уақыт) кезіндегі О нүктеден арақашытығы. t - уақыт кезіндегі лездік жылдамдық
Туындының геометриялық мағанасы.
26-сурет 27-сурет
(а,b) аралығында үзіліссіз y=f(x) функциясы берілсін. Оның Г - графигін A = (x,f(x)) нүктесін белгілеп (26 — 27 суреттер) осы нүктедегі қисыққа жүргізілген жанаманы анықтайық. Ол үшін Г -қисығынан басқа нүктесін аламыз (26 - суретте ал 27 - суретте жағдайы көрсетілген). А мен В нүктелері арқылы өтетін, х - тің өсу жағына қарай бағытталған S түзуін қиюшы деп атаймыз. Оның х - өсінің бағытымен арасындағы бұрышын деп белгілейік және
Егер болса, онда және В нүктесі Г қисығы бойымен А - нүктесіне ұмтылады. Осыдан бұрышы қандайда бip мәніне
ұмтылса, онда шегi бар және ол f функциясының х нүктесіндегі (ақырлы) туындысына тең. Kepiciнше, erep (ақырлы) туындысы бар болса, онда
Анықтама. Г - қисығының A = (x,f(x)) нүктесіндегі жанамасы деп және нүктелері арқылы өтетін (х -тің өсу жағына қарай бағытталған) s - қиюшының - ғы ұмтылатын Т - түзуін айтады.
Аналитикалық геометриядан (х0,у0) нүктесі арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті | тең түзу теңдеуі түрінде жазылатыны белгілі. Олай болса, y = f(x) қисығының нүктесіндегі жанама тендеуі
түрінде, ал нүктедегі нормаль теңдеуі түрінде жазылады.
№ 35-36 лекциялар. Туынды табу ережелері. Бір айнымалылы функцияның дифференциалы, қасиеттері, қолданылуы.
3. Дифференциалдау ережелері
х нүктесінде шектеулі туындысы бар функция дифференциалданатын функция деп аталады.
1-теорема. Erep u(x),v(x) х-нүктесінде дифференциалданатын функциялар болса, онда осы нүктеде олардың қосындысы, көбейтіндісі және бөліндісі дифференциалданады және
1)
3)
2 - теорема, (күрделі функцияны дифференциалдау ережесі)
функциясы нүктесінде дифференциалданатын және ал функциясынүктесіндедифференциалданатын болсын. Онда у - f[u(x)] күрделі функция нүктесінде дифференциадданады және оның туындысы
(4)