4. Көп айнымалылы функция

4.1. Көп айнымалылы функцияның анықтамасы.

4.2. Ашық және жабық жиындар.

4.3. Көп аргументті функцияның шегі.

4.4. Көп айнымалылы функцияның үздіксіздігі.

4.5. Көп айнымалылы функцияның дербес туындысы және дербес дифференциалдары.

4.6. Көп айнымалылы функцияның толық өсімшесі, толық дифференциалы және дифференциалдану шарты.

4.7. Жоғарғы ретті дербес туындылар мен дифференциалдар.

4.8. Көп айнымалылы функция үшін Тейлор формуласы.

4.9. Көп айнымалылы функцияның экстремумы, оның бар болуының қажетті және жеткілікті шарттары.

4.10 Шартты экстремум.

4.11. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.

5. Интегралдық есептеу

5.1. Комплекс сан және оған қолданылатын амалдар.

5.2. Рационал функцияларды жай бөлшектерге жіктеу.

5.3. Анықталмаған интегралдың анықтамасы және қасиеттері.

5.4. Айнымалыны алмастыру арқылы анықталмаған интегралды есептеу.

5.5. Анықталмаған интегралды бөліктеп интегралдау.

5.6. Рационал бөлшекті интегралдау.

5.7. Иррационал өрнектерді интегралдау.

5.8. Тригонометриялық өрнектерді интегралдау.

5.9. Анықталған интеграл және оның қасиеттері.

5.10 Ньтон-Лейбниц формуласы.

5.11. Меншікті және меншіксіз интегралдар.

5.12. Анықталған интегралды пайдаланып шығарылатын практикалық есептер.

МАТЕМАТИКАЛЫҚТАЛДАУҒА К1Р1СПЕ. Б1Р АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯНЫҢДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚЕСЕПТЕУ

§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар

1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар

Ғылымдар ішінде математика ерекше орын алады. Математика нақтыөмірдіңсандықкатынастары мен кеңістіктегітүрлерітұралығылым.

Математика, басқа ғылымдарға табиғат құбылыстары арасындағы түрлікатыстардыөрнектеуүшінсандар мен символдартілін ұсынады. Бірак, математиканы қолданбас бұрын, биолог, физик немесе экономист зерттелетінкұбылыс мәнінтереңтүсінуіқажет, оны математикалық ендеуге болатындай етіпбөліктеуікерек.

Математикадағы зерттеу объектілері-қоғам мен табиғаткұбылыстарын сипаттау үшін құрылған логикалық модельдер. Математика осы модельдер элементтерініңарасындағықатыстардызерттейді.

Бірғана математикалықмодельөзініңабстракциялылығынан (дерексіздігін)әртүрліпроцесстердісипаттай алады. Масалы, 6ipдифференциалдық тендеу радиоактивті ыдырауды да, дене температурасының өзгерісін де сипаттайды.

Табйғат құбылыстарын зерттеуде біз 6ip шаманың екінші шамаға тәуелділгін, шамалардыңезгеріпотыратындығын кереміз. Сондықтан айнымалы шама математикалықталдау (анализ) курсынданегізін түсінік болып табылады.

Айнымалы шама деп қандайда 6ipқұбылысты зерттеуде еңболмағанда екі түрлі мәнге ие болатын шаманы қабылдаймыз. Құбылысты зерттеу барысында шама 6ipғана мәнқабылдаса олтұрақты деп аталады.Айнымалы шаманың қабылдайтын барлық мәндерін 6ipiктірсек, онда осы шаманыц мэндер жнынын аламыз.

Математикада тәуелсіз айнымалы шама түсінігі кейбір элементтерден құралған абстракты жиын түсігіне дейін, ал тәуелді айнымалы шама түсінігіфункция түсінігіне дейінжалпыланады.

2. Жиындар

Жиын қандайда 6ipобъектілірдіңжиынтығы. Жиынғакіретінобъектілірді жиынның элементтері деп атаймыз.

аА жазуы,"а" объектктіА жиынының элементіекенін(А жиынына жататынын) керсетеді, олапй болмаған жағдайда ("а" объектісіА жиын элементіемес)aА (немесеаА) деп жазылады. Бірде 6ipэлементіжоқ жйын бос жийын деп аталады да арқылыбелггіенеді.

АВ жазуы(А жиыныВ — да жатса),А жиыныныңәрбір элементіВ жиыныныңда элементіекенінбілдіреді, бұл жағдайдаА жиыны В жиынының жене жиыны (подмножество) деп аталады.

Егер А : В жәнеВ  А орындалса, ондаА менВ тең(А = В) жиындар деп аталады. Басқаша айтқанда егер жиындар бірдей элементтерден құралса, онда олар тең деп деп саналады.

Жиындарды берудіңекінепзгі тәсіл бар.

а) А жиыны оныңбарлықэлементтеріна₁,а₂,...,а_я тікелей атап көрсетумен, яғни

А = {а₁,а₂,...,а_n.} түрінде анықталады;

б) А жиыны кандайда бірU бас (негізгі) жиыныныңтек канаа жалпы қасиетіне ие (немесе а шартың қанағаттандыратын) элементтерінің жиынтығы ретінде анықталады.

Бұл жағдайда

A = {xU:α(x)} белгілеуі пайдаланады.

Жиындар үшінсандардықосу және көбейту амалдарыныңқасиеттеріне аналогиялыққасиеттеріие болатынбipiкne(6ipiгy) жәнеқиылысу амалдарын кіргізуге болады.

Элементтерісандар болатын жиынды сандар жиыны деп атайды. Негізгісандар жиындарын келтірейік.

Натурал сандар жиыны N арқылы белгіленеді:

N = {1,2,3,...}.

Натурал сандар жиынында қосу және кебейту амаддарынорындауға болады.

Бүтш сандар жиыны Z арқылы белгіленеді.

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Z— жиынында косу, азайту және кебейту амалдарын алуғаболады.

Рационал сандар жиыны Q арқылы белгіленеді.

Q жиынында барлық төрт арифметикалық амалдарды орындауға болады.

Рационал және иррационал сандар жиыны нақты сандар жиыны болады да R аркылы белгіленеді R жиынында барлық арифметикалық амалдар, тepic емес сандардың кез келген дәрежелі түбірін табуға болады.

Бұл жиындар бір-бірінің ішіене жиыны болатынын былайша жазып керсетуте болады:

NZQR.

3. Математикалық логика символдары.

Математикалық сөйлемдерді жазуда үнемді болу үшін логикалық символдарды пайдаланады. Мұнда ең карапайым және жіирек қолданылатын логикалық символдарды ғана келтіреміз.

а, 13,... кандайда 6ipпікірлер (пайымдаулар, высказывания),яғни, әркайсысы тұралы "шын" немесе "өтірік" деп айтуға болатын хабарлы сөйлемдер бол сын.

1) а => β жазуы: " α пікірінен β пікіpi шығады", немесе,

қысқаша " α — дан β шығады" дегенді білдреді. ("=>" — импликация (токыма) символы.

2) α=>β жазуы"α пікіріβ пікірінепарапар (эквивалентті)", басқаша айтқанда,"а=>β"және"β=>α"импликациялары орыналады дегенді білдіреді. ("<=>"- парапар символы).

Математикада кез келген теореманы " α => β " түрінде ("α"— теорема шарты, "β"- оның корытындысы) жазуға болады.

3) ал α,β жазуы: "α және β" дегенд1 білдіреді ("^"-конъюнкция (6ipiктірмe) символы).

4) α^β жазуы: " α немесе β " дегенді білдіреді ("^" -дизъюнкция (ажырастық, бытыраңқылык,) символы).

5) х  X (х) жазуы: "кез келгенх X элементіүшіна(х)

қасиеті орындалады" дегенді білдіреді (""жалпылық кванторы (кисындамасы))."V"кванторы ауызша тұжырымдарда "барлық","кез келген", "әp6ip" деген сездерді ауыстырады. ""- белгісі ағылшынньң "Any — барлық" деген сөзінің 6ipiншi әріпінің төңкеріліп жазылуы.

6) хХ (х) жазуы: " қасиеті орындалатын хХ

элементібар (немесе, табылады) дегендібiлдipeдi ("" — бар болукванторы). "" - кванторы "бар", "табылады" деген сездер орнына колданылады. "" белгісі ағылшынның "Existence - бар" деген сезінің 6ipiнiшi әрпінің Tepic аударылып жазьшуы.

Егер (х) касиеті орындалатындай х  X бар, және ол жалғыз ғана элемент болса, онда

.хХ(х}

. деп жазады.

7) 7 немесе а жазуы а пікірінің Tepic екенін білдіреді, (7— терістеу символы).

Теоремаларды дәлелдеуде жиі қолданылатын әдіс — "Kepi жөру". Оныңнегізі"=>p" мен (7=>7)пікірініңпарапарлығында.

4. Keciндi, аралық, шенелген жиын

R — нақты сандар жиыныныңшене жиындарыүшінкелесібелгілерді енпземіз.

а≤х≤Ь к,ос теңсіздгін қанағаттандыратын xR сандар жиыны кесінді (а,b — кесшді ұштары) немесе сегмент деп аталады да [а,b] деп белгіленеді.

Сонымен,

[a,b] ={xR:a≤x≤b}. Осы сияк,ты,

(a,b) ={xR:a<x<b] — аралық

[а,b) ={xR:a≤x<b} немесе,

(a,b]={xR:a≤x≤b} жартылай аралық деп аталады.

Кесінді, аралықжәне жартылай аралық— сандар аралықтарынемесе жай ғана аралықтар деп аталады.

Көп жағдайда, R накты сандар жиынын сәйкес "плюс шексіз" және "минус шекіз" деп аталатын —жэне +символдарыментолықтыру ыңғайлы. Және олар үшін келесі шарттар орындалады деп есептейміз:

- < +, (+) + (+) = +; (-) + (-) = -,(+) • (+) = (-) • (-) = +; (+) • (-) = (-) • (+) = -;

R, - < а < +; а + (+) = +оо + а = +оо;

- + а = а + (—) = —;

a> 0; а • (+) = (+) •а = +, а • (-) = (-) •а = -;a< 0;а • (+) = (+оо)

а ,а • (-) = (-) •а - +; "+" пен "-" шексіздіктерінкейде "шектісандар" деп аталатын R нақты сандарынан ажыратып "шексіз сандар" депатайды.

"-" жене "+" шексхз сандарымен толықтырылған R пакты сандар жиыны "нақты сандардың кеңейтлген жиыны" (немесе) "кеңейтілген сандар өсі деп аталады да R аркылы белгіленеді, сонымен,

=R{+}{-}.

Келесі аралықтарды "шексіз аралықтар" деп атайды:

R (-;+) = [х  R : -< х < +оо};

(- ;а] ={х  R: х < а}; [-;а] = {-}(-;a}

(-;а)={хR:х<а}; [-,а) - {-}(-; а)

[о,+) = {х е R: х  а}; [а;+] = [a ;+) {+ }.

(а,+) = {xR:x>a}. (а;+] = (а,+) и {+ }.

Кеңейтілген сандарөсіндегінүктенің — маңайы(>0):

aR - нақты санының  - маңайы О_(а) арқылы белгіленеді және

О_(а) = (а - , а + ) = {х  R : х - а\ < \

2. а = + болса, онда

О_ (+) = (,+] = {х  R: х > };

3. а = -болса, онда

O_ (-) = [-,--) ={х R: х < -};

Кейде сандар өсін 6ip элементен: "" ғана толықтырады және оны "шексіздік" деп атайды. Таңбасы керсетілмеген шексіздік пен нақты сандар арасында (- < х < +сияқты) реттік қатыс жоқ Алайда оның  - маңайын келесі түрде жазады.

4. U_() def {x:|x|>-}= [-;)(+]_;

О_е() = [-;-)(+] ={х  R: |х| > }

Жалпы жағдайда а  R (шекті немесе шексіз) нүктесінің s -маңайын жай ғана О(а) деп белглейді.

Ескерту. Соңғы 2), 3) және 4) анықтамаларда ->0 шарты тек анықтамалар бірдей түрде болуы үшін ғана қажет.

X = {х}  R — нақты сандардан кұралған кез келген жиын болсын.

Егер: кез келген х  X үшін х ≤ М, яғни

х  X: х ≤М

теңсіздік орындалатын МeR нақты саны бар болса, онда X — жоғарыдан шенелген жиын; ал "М" оныңжоғаргы шекарасы деп аталады. Бұл жағдайда кез келгенМ' > М саныдаX — тыңжоғарғышекарасы бола алады.

—кез келген х X у тің хт, яғни

x X: х m

орындалатындай m R — нақты саны табылса, онда X — төменнен шенелген жиын,ал. "т" — оныңтеменгішекарасы деп аталады.

— X — төменнен де, жоғарыдан да шенелген, яғни

xX: m ≤ х ≤ M, mR, MR (1)

болса, онда X — шенелген жиын деп аталады . Дербес жағдайда, егер

xR:x≤M (1)

кос теңсіздігі орындалатындай М > 0 нақты саны бар болса, онда X — шенелген жиын,өйткені,

х <М-М≤х≤М> X — шенелмеген жиын болса, онда

М>0,х₀ Х: х₀ >М (2)

орындалады.

Егер ER сандар жиынындаәрбірх Е үшінх ≤с (хс)

теңсіздіггіқанағаттандыратынсЕ саны (с = +, с = - болуыда

мүмкін) бар болса, онда оныЕ — сандар жиыныныңеңүлкен элементі(еңқиынэлементі) деп атайды да с = maxЕ = max_xEх; (с - minЕ =min _xEх) арқылы белгілейді.

X  R жиынының жоғарғы шекаралар жиынының ең кіші элементі X — жиынының дәл жоғарғы шекарасы деп аталады да sup X

(немесе ) арқылы белгтенеді, және "супремум X" деп

оқылады.

XR жиынының төменгі шекаралар жиынының екі үлкен элементі X — жиынының дәл теменгі шекарасы деп аталады да inf X (немесе) арқылы белгшенеді, және "инфимумX" деп окылады.

Егер X жоғарыдан (теменнен) шенелмеген жиын болса, ондаsup X = +(inf X = -).