10. Екі тамаша шек

— және түріндегі анықталмағандықтарды ашуға көбінесе

келесі екі мысалды пайдалануға болады:

(бipiншi тамаша шек). (14)

(екінші тамаша шек). (15)

11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру

а нүктесінің қандайда бip U(a) маңайында анықталған (а -нүктесінде анықталмаса да болады) а(х) пен (x) функцияларынан қарастырамыз.

Анықтама. Егер және (16)

шарттары орындалатындай U(a) маңайында анықталған функциясы табылса, онда (ұмтылғанда) функциясы — функциясымен салыстырғанда шексіз аз деп атайды да

(17)

арқылы белгіленеді және (ұмтылғанда) (х) функциясын -пен салыстырғанда кішкене" немесе, қысқаша, "а - да -қе қарағанда кішкене" деп оқылады.

Егер болса, онда .

Егер (17) қатыста (ұмтылғанда) шексіз аз, яғни болса, онда (ұмтылғанда) функциясы-пен салыстырғанда жоғарғы peттi шексіз аз" деп, ал пен (ұмтылғанда) шексіз үлкен, яғни

болса, онда " (ұмтылғанда) функциясы - пен салыстырғанда төменгі peттi шексіз үлкен" деп аталады.

Егер (18) теңдігі орындалса, онда "х->а (ұмтылғанда) функциясы -ке эквивалентті (асимптоталық тең)" деп аталады да (19) арқылы белгіленеді.

Теорема. Егер болса онда

(20)

(21) 2. Үзілісті нүктелер және олардың түрлері.

функциясы х = а нүктесінде және оның қандайда бip U(a) маңайында анықталған, сонымен бipre f(a+) мен f(a-) шектері бар және

(22)

теңдіктері орындалса, онда х-а нүктесінде үзіліссіз функция деп аталатды.

Егер болса, онда х=а нүктесі бірінші текті үзілісті нүктесі деп аталады. Егер шектері бар, бірақ, (22) - теңдіктердің ең болмағанда бipeyi орындалмаса, онда х = а нүктесінде бірінші текті үзіліссіз функция деп аталады.

Егер біржақты шектерінің ең болмағанда бipeyi жоқ болса немесе шексіздікке тең болса, онда нүктесі ешнші текті үзілісті нүктесі функция деп аталынады.

13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері

Егер f функциясы (а,b) аралығының барлық нүктелерін үзіліссіз, "а" нүктесінің оң жағынан және "b" нүктесінің сол жағынан үзіліссіз болса, онда ол [а,b] кесіндісінде үзіліссіз деп аталады.

Алдымен келесі Больцано-Коши теоремаларын (1 - теорема мен салдар) қарастырайық.

1 - Теорема. Егер f функциясы [а, b] кесіндісінде үзіліссіз және f(a)-f(b)<0, яғни f(a) мен f(b) мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда теңдігі орындалатындай(а, b) аралығынан кем дегенде бip "с" нүктесі табылады

(25-сурет).

2-Теорема.(Вейерштрасстың бірінші теоремасы) Егер кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда ол –де шенелген, яғни

теңсіздігі орындалатындай К > 0 саны табылады.

3 - Теорема. (Вейерштрасстың екінші теоремасы). Егер f функциясы кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның [а, b] - да ең үлкен және ең кіші мәндері болады, яғни

орындалатындай нүктелері табылады.

Анықтама. f(x) X - жиынында анықталған функция болсын. Егер әрбір саны бойыншатеңсіздігін қанағаттандыратын кез келген сандары үшін теңсіздігі орындалатын саны табылса, онда f функциясы X жиынында бірқалыпты үзіліссіз дейдi.

Ескерту: 1) Үзіліссіздікті бip нүктеде ғана анықтау мүмкін болса, бірқалыпты үзіліссіздік тек қана жиында анықталады;

2) егер f функциясы х жиынында бірқалыпты үзіліссіз болса, онда сол жиында үзіліссіз болады, ал кері тұжырым келесі теорема шарты орындалса ғана дұрыс.

Теорема (Кантор). Егер f [а,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндідеде бірқалыпты үзіліссіз болады.

Қорытынды. № 31-32 лекциялардан кейін студенттер тамаша шектерді табу, анықталмағандықтарды ашу, шексіз аз функциялар мен шексіз үлкен функцияларды өзара салыстыру, біржақты шектерді табу тәсілдерін меңгеретін болады.

№ 33-34 лекциялар. Бір айнымалылы функцияның туындысы, оның геометриялық және механикалық мағынасы. Туындыны есептеу жолдары.