- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
Біз бұрын берілген функция бойынша оның туындысын табу есебімен айналыстық. Енді оған кері есеппен айналысамыз: берілген функцияның туындысы бойынша осы функцияның өзін қалай табуға болады? Бұл механикалық тұрғыдан материалдың нүкте қозғалысының белгілі жылдамдығы бойынша оның қозғалыс заңын табу екенін білдіреді.
Анықтама. Егер F(x) функциясы Δ аралығында дифференциалданса – және
орындалса, онда F(x) f(x) -функциясының Δ аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.
(Бұдан әpi Δ = (a,b) деп аламыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз).
Егер F(x) f(x) – функциясының Δ аралығындағы алғашқы функциясы болса, онда кез келген С тұрақтысы үшін F(x) + C функциясы да f(x)-үшін Δ-да алғашқы функция болады:
Екінші жағынан, егер F1(x) пен F2(x) - функциясының Δ аралығындағы алғашкы функциялары болса:
онда ол eкі алғашқы функциялардың айырмашылығы С-тұрақтысына тең, яғни
болатынын көруге болады.
Бұл айтылғандардан, егер F(x) f(x) - функциясының Δ-ғы алғашқы функциясы болса, онда оның Δ-дағы кез келген басқа алғашқы функциясы Ф(x)
түрінде болатыны шығады, мұндағы С таңдап алынған қандай да бip тұрақты (27-сурет).
27-сурет
Δ-кез келген аралық: ақырлы, жартылай аралык, т.с.с. болсын.
Анықтама. f функциясының Δ аралығында анықталған барлық алғашқы функциялардың жиынтығы f функциясының Δ аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады және
символымен бeлгiлeнeдi: -интеграл белгісі, ал f(x) -интеграл астындағы функция, f(x)dx-интеграл астындағы өрнек деп аталады.
Егер F(x) f(x) -функциясының қандай да бip алғашқы функциясы болса, онда
(1)
деп жазу қалыптасқан. Әрине, анықтама боиынша
жазуы дұрыс. Біз де әдеттегі (1) жазуды қолданамыз. Сонымен, символыf функциясының барлық алғашқы функцияларын да, f функциясының қандай да бip алғашқы функциясын да көрсетеді.
f(x) функциясының алғашқы функциясын табу амалын - f(x) функциясын интегралдау амалы деп атайтын боламыз.
Біз кейінірек, егер f(x) функциясы Δ = (а,b) аралығында үзіліссіз болса, онда f(x) ушін Δ-аралығында алғашқы функция бар болатынын көрсетеміз. Қaзipшe кез келген үзіліссіз функцияның алғашкы функциясы бар деп қабылдаймыз.
Егер F(x) f(x) - функциясының алғашқы функциясы болса, онда интеграл астындағы өрнек:
(2)
F(x) -алғашқы функциясының дифференциалы.
Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін көрсетейік.
А-туракқты, С-таңдалып алынған тұрақты сан;
б)
С-тандалынған тұрақты сан ( б)-теңдігі интегралдың f(x) - функциясына қатысты аддитивтілігі деп аталады).
-функциясының алғашқы функциясы болса, онда -F(ax + b) f(ax + b)-функциясының алғашқы функциясы болады, яғни,
Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кecтесін келтірейік.
(интеграл астындағы функциялар нөлге тең емес аралықтарда).
Қорытынды. № 51-52 лекциялардан кейін анықталған интегралды таблицаны пайдаланып есептеуді меңгереді және оның қасиеттерін білетін болады.
№ 53-54 лекциялар. Анықталмаған интегралды есептеу әдістері: ауыстыру және бөліктеп интегрвалдау мысалдар арқылы қарастырылады.