§ 3.2. Функциялар

1. Функция. Оныңбepілyi.

D мен Е сандар жиыны болсын. Эрбір х  D санына Е " ~"Жыныныңу Е санын сәйкесқоятын / ережесіD жиынындаберілген сандык функция деп аталады жене ол

у = f(x), xD немесе:DЕ

деп жазылады. D - функцияныңанықталу аймағы (облысы), алЕ = {у  R: у = f(x),x  D} - функцияның мәндер аймағы деп аталады. х - аргумент немесе тәуелаз айнымалы шама, ал аргументтіңберілгенх₀ мәніне сәйкес келетіну₀ = f(x₀) саны,х = х₀ - нүктесіндеп функция мэш деп аталады, жене оны кейде(x)_{x=x0арқылы}да белгілейді.

Функция түсінігіқарастырылған сандықфункцияларменғана шектелмейді.D менЕ - кез келген жиындар болсын.

Анықтама. Әp6ip xD элементте жалғыз у = f(x)  Е элементы сәйкестендіретн бейнелеуді D жиынында анықталған функция деп атайды. Е – оның мәндер аймағы деп аталады. Сандык, функцияларды түрлі тәсілдермен беруге болады.

Кестелік. Функция кесте түрінде берліуі мүмкін. Мысалы, ауа температурасы Т әрбір сағат сайын өлшенсін. Сонда әрбір уақыт мезетіне

t = 0, 1, 2, ..., 24 белгілі бір сан Т сәйкес келер еді (кесте):

t 0 1 2 ... 24 Т Т₀ Т_} Т₂ ... Т₂₄

Солай етіп0 дан 24 - ке дейінбүтінсандарда анықталғанкестемен берілген Т - f(i) функциясын аламыз.

Бұл тест функцияны толық сипаттай алмайды,өйткені, кестегефункцияның анықталу аймағындағы барлық нүктелерді кіргізу мүмкін емес.

2. Графиктік тәсіл. OXY жазықтығының xeD және y = f(x)

болатын (х,у) нүктелер жиыны y = f(x) функциясыныц графип деп аталады. График функция түрінөрнектісипаттайды.

3. Аналитикалық тәсіл. Мұнда формула көмегімен х. аргументініңәрбір мәніүшінy = f(x) функциясыныңсәйкес келетінмәнінесептеу алгоритмінақты керсетіледі. Бұл жағдайдаәдеттефункцияның D анықталу аймағын керсетпейді, анықталу аймағы деп осы берілген формуланыңмағнасы барх - аргументініңжиынынтүснеді (функцияның табйғи анықталу аймағы).

Функция анапитикалық тәсілімен берілсе, онда оны кесте және графикық туүрде де беруге болады.

/: DE функциясы x_l,x₂D, х₁х_г мәндеріне f(x,) f(x₂) шарты орындалатындай мәндердісэйкестендіретінфункция болсын. Ондаәрбіру е санынах)=yболатындай—^андай да 6ipанықталған xD санының сәйкес қойылыуы мүмін: Осылай анықталған жаңаf^-1:ED функция берілгенфункциясынаKepiфункция деп аталады.

f;XY жәнеg:YZ функциялары берілсе, онда олардыңкомпозициясы (немесе күрделі функциясы) деп h(x) = g(f(x)), x

X тендігімен анықталған

h = g°f:XZ'

h = g^of:XZ функцияны айтады.

Егер y = f(x) функциясыньшың "D" анықталу аймағы х = 0 нүктесіне салыстырғанда симметрия.™ және

xD, f(-x) = f(x) (xD /(-x) = -/(x)) тендік орындалса, онда f(x) жуп (так) функция деп аталады. Егер xR, f(x + T) = f(x) тендігі орындалатындай Т— оң саны табылса, онда функция периодты (периоды Т тең) деп аталады. Егер x₂ <х₂ болатын x₁x₂ D() сандары үшін:

(x₁)</(x₂) орындалса, онда y = f(x) - кемімейтін;

f(x_l)>f(x₁) орындалса, онда y = f(x) - өспейтін;

f(x₁)<f(x₂) орындалса, онда у = f(x) - өспелі;

f(x₁)>f(x₂) орындалса, онда y = f(x) - кемімелі : функция деп аталады.

X жиынында осы төртқасиеттіңтек біршеғана ие болатын функцияныX - жиынында монотонды деп атайды.

2. Элементар функциялар

у = С (С - тұрақты), у = х^а (О)- дәрежелік, у = а^x, (а>0, а 1) - керсетйштік, y = log_ax (а>0,а1)- логарифмдік, y= sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx – тригонометриялық функциялары негізін элементар функциялар деп аталады.

Бұл функцияларға ақырлы санды арифметикалық амалдар мен функциядан функция алу (суперпозиция) амалдарын қолдана отырып • элементар функцияларды аламыз.

Анықтама. y = f(x) элементар функциясының анықталу аймағыдеп х аргументтің f(x) өрнегінің мағнасы болатындай мәндер жйының айтады.

Қорытынды. № 25-26 лекциялардан кейін студенттер шама, жиын, нақты сан, функциятүсінігін меңгеретін болады. Функциядан күрделі функция құрастырып қасиеттерін зерттей алатын болады.

№ 27-28 лекциялар. Шек, аймақ, шексіз аз, шексіз үлкен шама ұғымдары. Сандық тізбек және оның шегін табу тәсілдері.