§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі

Біз бұрын берілген функция бойынша оның туындысын табу есебімен айналыстық. Енді оған кері есеппен айналысамыз: берілген функцияның туындысы бойынша осы функцияның өзін қалай табуға болады? Бұл механикалық тұрғыдан материалдың нүкте қозғалысының белгілі жылдамдығы бойын­ша оның қозғалыс заңын табу екенін білдіреді.

Анықтама. Егер F(x) функциясы Δ аралығында дифференциалданса – және

орындалса, онда F(x) f(x) -функциясының Δ аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.

(Бұдан әpi Δ = (a,b) деп аламыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз).

Егер F(x) f(x) – функциясының Δ аралығындағы алғашқы функциясы болса, онда кез келген С тұрақтысы үшін F(x) + C функциясы да f(x)-үшін Δ-да алғашқы функция болады:

Екінші жағынан, егер F₁(x) пен F₂(x) - функциясының Δ аралығындағы алғашкы функциялары болса:

онда ол eкі алғашқы функциялардың айырмашылығы С-тұрақтысына тең, яғни

болатынын көруге болады.

Бұл айтылғандардан, егер F(x) f(x) - функциясының Δ-ғы алғашқы функциясы болса, онда оның Δ-дағы кез келген басқа алғашқы функциясы Ф(x)

түрінде болатыны шығады, мұндағы С таңдап алынған қандай да бip тұрақты (27-сурет).

27-сурет

Δ-кез келген аралық: ақырлы, жартылай аралык, т.с.с. болсын.

Анықтама. f функциясының Δ аралығында анықталған барлық алғашқы функциялардың жиынтығы f функциясының Δ аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады және

символымен бeлгiлeнeдi: -интеграл белгісі, ал f(x)-интеграл астындағы функция, f(x)dx-интеграл астындағы өрнек деп аталады.

Егер F(x) f(x)-функциясының қандай да бip алғашқы функциясы болса, онда

(1)

деп жазу қалыптасқан. Әрине, анықтама боиынша

жазуы дұрыс. Біз де әдеттегі (1) жазуды қолданамыз. Сонымен, символыf функциясының барлық алғашқы функцияларын да, f функциясының қандай да бip алғашқы функциясын да көрсетеді.

f(x) функциясының алғашқы функциясын табу амалын - f(x) функциясын интегралдау амалы деп атайтын боламыз.

Біз кейінірек, егер f(x) функциясы Δ = (а,b) аралығында үзіліссіз болса, онда f(x) ушін Δ-аралығында алғашқы функция бар болатынын көрсетеміз. Қaзipшe кез келген үзіліссіз функцияның алғашкы функциясы бар деп қабылдаймыз.

Егер F(x) f(x) - функциясының алғашқы функциясы болса, онда интеграл астындағы өрнек:

(2)

F(x) -алғашқы функциясының дифференциалы.

Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін көрсетейік.

А-туракқты, С-таңдалып алынған тұрақты сан;

б)

С-тандалынған тұрақты сан ( б)-теңдігі интегралдың f(x) - функциясына қатысты аддитивтілігі деп аталады).

-функциясының алғашқы функциясы болса, онда -F(ax + b) f(ax + b)-функциясының алғашқы функциясы болады, яғни,

Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кecтесін келтірейік.

(интеграл астындағы функциялар нөлге тең емес аралықтарда).

Қорытынды. № 51-52 лекциялардан кейін анықталған интегралды таблицаны пайдаланып есептеуді меңгереді және оның қасиеттерін білетін болады.

№ 53-54 лекциялар. Анықталмаған интегралды есептеу әдістері: ауыстыру және бөліктеп интегрвалдау мысалдар арқылы қарастырылады.