- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§ 5.4. Интегралдау әдістері
1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
Интегралдық есептеулерде айнымалы ауыстыру формуласы ерекше орын алады.
Теорема. (интегралдау формулаларының инварианттылығы). u= φ(х) кез келген дифференциалданатын функция болсын. Егер
онда
(1)
немесе
Егер x = φ(t) қандай да бip аралықта үзіліссіз дифференциалданатын функция болса, онда
(2)
(2) айнымалы ауыстыруын жасағанда, ψ(t) мен f(x) функцияларының анықталу аймақтары Dt мен Dx арасында өзара бip мәнді сәйкестік (оны Dt ↔ Dx деп бейнелейді) болатындай және x = ψ(t) функциясы Dx аймағындағы мәндерін түгел қабылдайтындай болуы тиіс.
2. Бөліктеп интегралдау. Егер и(х) және v(x) функциялары үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болса, онда
(3)
немесе (басқа түрде)
(4)
Бұл формулалардағы С-тұрақтысын (бізге белгілі себептерге байланысты) жазбайды.
(3) немесе (4) формулаларын қолданып есептеу –бөліктеп интегралдау әдісі деп аталады.
Бұл әдісті формуланың оң жағындағы интеграл сол жағындағы берілген интегралға қарағанда қарапайымдау болған жағдайда қолданған жөн. Және де и үшін туындысы ықшамдау болатын көбейткішті алады.
Қорытынды. № 53-54 лекциялардан кейін анықталған интегралды алмастыру және бөліктеп интегралдау тәсілдерімен меңгеруді және есептер шығарып машықтанады.
№ 55-56 лекциялар. Рационал бөлшектерді, тригонометриялық өрнектер және иррационал өрнектерді интегралдау тәсілдері қарастырылады
§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
Келесі рационал бөлшекті немесе рационал функцияны
(1)
интегралдау жолдарын көрсетейік.
Мұндағы - нақты көпмүшеліктер, алх-нақты айнымалы деп есептейміз.
Егер m≥n болса (бүл жағдайда (1)-бұрыс бөлшек деп аталады), онда алымын бөліміне «бұрыштап» бөлу арқылы келесі қосындыны аламыз
(2)
мұндағы (m-n) –ші, ал -m1-шідәрежелі көпмүшеліктер және де m1< п.
Егер алымының дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болса, онда рационал бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады.
Сонымен, (2)-дегі m1< n -дұрыс бөлшек.
Көпмүшелікті интегралдау қиын емес, сондықтан рационал бөлшекті интегралдау қиындықтары дүрыс бөлшекті интегралдауда жатыр.
Дұрыс бөлшекті интегралдаудың негізгі тәсілі - дұрыс бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеу (§2.2. параграфты қараңыз).
Қарапайым бөлшектерді
б) (4)-түрдегі қарапайым бөлшекті k = 1 үшін интегралдайық.
Сонымен, k = 1 болсын. Онда
§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
Рационал емес элементар функциялардыц интегралдарын айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болатын яғни, интегралды рационалдауға болатын жағдайларды қарастырайық.
R(х,у)- өз аргументтері х пен у-тің рационал функциясы болсын, ол R(х,у)-өрнегін алу үшін х пен у-ке тек арифметикалық амалдар қолданылады деген сөз.
I. Есептеу керек:
- мұндағы a,b,c,d - тұрақты сандар, m-натурал сан, ad-bc≠0. Интеграл астындағы функция сызықты бөлшек иррационалдық деп аталады.
Бұл интеграл айнымалы ауыстыруы арқылы рационалданады. Шынында да,
өрнектері рационал функциялар. Ал рационал функциялардың рационал функциясы — рационал функция. ∆
П. Есептеу керек: мұндағыа,b,с – тұрақты сандар. Интеграл астындағы функция квадрат иррационалдық деп аталады.
Егер ах2+bх + с квадрат үшмүшелігінің x1,x2– нақты түбірлері болса, онда ах2 + bх + с = а(х – х1)(х -х2) және
аламыз, яғни I-түрдегі сызықты-бөлшек иррационалдыққа келеміз.
Сондықтан, D = b2 - 4ас < 0 деп алайық: егер а > 0 болса, онда интегралды Эйлер ауыстыруы:
(Э.а)
арқылы рационалдауға болады. Өйткені, (Э.а)-нан
шығады. Бұны (Э.а)-оң жағына қойсақ
-рационал функция аламыз.
Ескертпе. Егер а<0, ал с> 0 (ах2+bх + с ≥ 0) болса, онда келесі ауыстыруды жасауға болады:
Ескертпе. - түріндегі интегралдарды басқа да ауыстырулар арқылы рационалдауға болады. Мысалы, бұларды сәйкес
тригонометриялық ауыстырулармен рационалдай аламыз.
Біз осыған дейін алгебралық (рационал және иррационал) функциялардың интегралдарын қарастырып келдік. Енді алгебралық емес функциялардың, алдымен тригонометриялық функциялардың интегралдарын қарастырамыз.