- •Халықаралық бизнес университеті
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Оқытушыға арналған пәннің оқу жұмыс бағдарламасы
- •Алматы, 2013
- •Күнтізбелік-тақырыптық жоспар
- •Пәннің мазмұны
- •Негізгі оқыту әдебиеттері
- •Қосымша оқыту әдебиеттері
- •Халықаралық бизнес университеті
- •Алматы, 2013
- •Силлабус (үлгі)
- •5B090800-«Бағалау мамандығына арналған «Математика» пәнін оқу – әдістемелерімен қамтамасыз ету картасы
- •1. Сызықтық алгебра
- •§1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2 - шi, 3 - шi peттi анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.
- •§1.2. Минорлар мен алгебралық, толықтауыштар
- •§1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
- •§1.4. Матрица рангі
- •§1.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (сатж). Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
- •§1.6. Сатж зерттеудің және оның шешімін табудың Гаусс әдісі
- •§1.7. Біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
- •1. Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.
- •§2.2 Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары.
- •§2.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу
- •§2.4 Векторлардың түзуіге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері.
- •§2.5 Векторлық көбейтінді және оның қасиеттері.
- •§2.6 Векторлардың аралас көбейтіндісі.
- •Аналитикалық геометрия негіздері.
- •§ 1.1. Жазықтықтағы түзу
- •§1.2. Жазықтық теңдеуі.
- •§ 2.3. Кеңістіктегі түзу.
- •§2.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
- •§ 2.5. Екінші ретті беттер
- •1. Эллипсоид
- •4. Екінші peттi конус
- •5.Екінші ретті цилиндрлер
- •Математикалық талдауға к1р1спе. Б1р айнымалы функцияның дифференциалдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалық логика элементтері Аралықтар
- •1. Математика пәні. Тұрақты және айнымалы шамалар
- •2. Жиындар
- •§ 3.2. Функциялар
- •1. Функция. Оның бepілyi.
- •2. Элементар функциялар
- •§3.3. Шектер
- •1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі
- •2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар
- •4. Монотонды тізбектер. Е — саны
- •5. Тізбектің жинақталуының Коши шарты
- •6. Функцияның шегі.
- •7. Шегі бар функциялардың қасиетгері.
- •8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.
- •9. Функциялардың үзіліссіздігі.
- •10. Екі тамаша шек
- •11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру
- •13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •1. Туынды
- •2. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы
- •3. Дифференциалдау ережелері
- •4.Kepi функция туындысы
- •5. Параметрмен берілген функция және оның туындысы
- •6. Функция дифференциалы
- •7. Жоғарғы peттi туындылар мен дифференциалдар
- •8. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар
- •9. Лопиталь ережесі
- •10. Тейлор формуласы
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •3. Функция графигігінің асимптоталары
- •4. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу
- •Көп айнымалыЛы функциялар
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •3. Бетке жанама жазықтық. Толық дифференциалдың геометриялық көpiнici.
- •4. Толық дифферендиалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •5 Тарау интегралдар
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) әдісі.
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •1. Геометриялық және физикалық есептер. Анықталған
- •2. Анықталған интегралдардың касиеттері
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Тақырыптарды меңгеру дәрежесін анықтауға арналған сұрақтар 1. Сызықтық және векторлық алгебра
- •2. Аналитикалық геометрия
- •3 . Математикалық талдауға кipicne. Бip айнымалы функцияның дифференциалы есептеуі.
- •4. Көп айнымалылы функция
- •5. Интегралдық есептеу
- •§ 3.1. Жиындар мен математикалықлогика элементтері Аралықтар
- •§ 3.2. Функциялар
- •§3.3. Шектер
- •§ 3.4. Бip айнымалы функцияның дифференициалдық ecenтелyi
- •§3.5.Туындылардыц көмегімен функцияларды зерттеу 1. Функциялардың локальді экстремумі
- •§4.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
- •§4.2. Функцияның дербес және толық, өсімшелері. Шек және үзіліссіздік.
- •§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
- •§4.4. Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау
- •§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.
- •§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы
- •§4.7. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
- •§5.1 Комплекс сандар
- •§ 5.3. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі
- •§ 5.4. Интегралдау әдістері
- •§5.5. Рационал белшектерді интегралдау.
- •§5.6. Кейбір иррационал өрнектерді интегралдау
- •§ 5.7. Тригонометриялык функцияларды интегралдау
- •§ 5.8. Анықталган интеграл ұғымына әкелетін есептер.
- •§5.9. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу
- •§ 5.10. Ньютон-Лейбниц формуласы және оның анықталған
- •§ 5.11. Меншіксіз интегралдар
- •§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы
- •Глоссарий:
- •Студенттерге таратылатын материалдар
§4.3. Туындылар мен дифференциалдар
1. Дербес туындылар. f(х,у) функциясының Р(х,у) нүктесіндегі х бойынша дербес туындысы деп ∆xz дербес өсімшесінің ∆х өсімшесіне қатынасының ∆х→0 (ұмтылғандағы) шегін (егер ол шек бар болса) айтады да
символдарыньң біреуімен белгілейді:
f(x,y) функциясының Р(х,у) нуктесіндегі у бойынша дербес туындысы да дәл осылай анықталады және ол
символдарыньң біреуімен белгілейді:
Бұл анықтамадан дербес туындьларды есептеу ережелері бip айнымалы функцияның туындьларын есептеу ережелерімен бірдей екенін көреміз. Әрине, бұл жағдайда дербес туынды айнымалылардың қайсысы бойынша ізделініп отырғаны есте тұру керек, ал қалған айнымалылар тұрақты сан ролін атқарады.
2. Толық дифференциал. ашык, жиында z = f(x,y) функциясы берілсін және оның нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары бар болсын. Бұдан(х,у) нүктесінің қандай да бip маңайында осы дербес туындылар бар болатыны (олар (x,у)-тен баска нүктелерде үзілісті болса да) шығады. (∆х, ∆у) өсімшесін
шартын қанағаттандыратындай, ал δ>0 санын (x+Δх, у+Δу) нуктесі жоғарыдағы көрсетілген маңайдан шығып кетпейтіндей жеткілікті аз етіп алып, осы (Δх,Δу) есімшеге сәйкес келетін f функциясының өсімшесін қарастырайық:
Мұнда бірінші квадрат жақшада тұрған өрнекті айнымалысы жалғыз х болатын функцияның (екінші аргумент тұрақты у+Δу мәнін сақтайды) екі мәнінің айырмасы, ал екінші квадрат жақшада тұрған өрнекті айнымалысы жалғыз у болатын функцияның (х-мәні тұрақты) екі мәнінің айырмасы eтіп қарастыруға болады. Бул айырмаларға Лагранждың орта мән туралы теоремасын қолданып
(1)
аламыз (мұндағы ). Дербес туындылар(х,у) нүктесінде үзіліссіз болғандықтан және ескерсек
Бұл теңдіктерді
(2)
түрінде жазуға болады. Мұнда ε1 мен ε2
(3)
ұмтылатын шамалар. (2)-ті (1)-ке қойсақ
(1′)
аламыз. Бұл теңдіктегі соңғы екі қосылғыштардың қосындысы шамасымен салыстырғанда жоғары peттi шексіз аз шама:
Шынында да, ∆х, ∆у ≤ ∆ρ болатындықтан ∆ρ→0 ұмтылса, онда ((3)-ті қараңыз)
Біз кeлeci маңызды теореманы дәлелдедік.
1-теорема. Егер z = f(x,y) функциясыныц (х,у) нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда оның осы нүктедегі жеткілікті аз (∆х,∆у)-ке сәйкес өсімшесін келесі формула түрінде жазуға болады
(4)
(4)-теңдіктегі дербес туындылар ∆х,∆у-ке тәуелді емес. Сондықтан теорема шартынан функция өciмшесін кeлeci формула түрінде жазуға болатыны шығады:
(5)
(мұндағы А мен В сандары ∆х,∆у -ге тәуелді емес).
Анықтама. Егер f функциясының (х,у) нүктедегі өсімшесін жеткілікті аз (∆х,∆у) үшін (5) теңдік түрінде жазуға болатын болса, онда f функциясы (х,у) нүктесінде дифференциалданады дейді.
(5) теңсіздіктегі А∆х + В∆у қосылғышы (∆х,∆у) бойынша сызықты функция. Ол ∆f өсімшесінің сызықты бас бөлігі деп аталады, ал қалған қосылғышы (∆х,∆у) өсімшелерімен күрделі тәуелділікте болады, бірақ ол қосылғыш ∆х пен ∆у-ке салыстырғанда нөлге жылдамырақ ұмтылады.
Егер f функциясы (х,у) нүктесінде дифференциалданса, яғни (5) теңдік орындалса, онда оның осы нүктеде
(6)
тендіктері орындалатындай дербес туындылары болады. Мысалы, (5) теңдіктегі ∆х = h, ∆у = 0 деп алсақ, онда (∆ρ = h→0)
∆z = ∆xz = Ah + o(h), h→0
ол бұдан
аламыз.
Бұл айтылғандардан келесі теорема шығады.
2-теорема. f функциясы нүктеде дифференциалдануы үшін оның осы нүктеде дербес туындыларының болуы қажетті, ал оның осы нүктеде үзіліссіз дербес туындыларының болуы жеткілікті.
Бір айнымалы f функциясының х нүктесінде дифференциалдануы ушін оның осы нүктеде туындысы болуы қажетті және жеткілікті болатын еді.
Анықтама. Егер f функциясы (х,у) нуктеде дифференциалданса, онда оның өсімшесінің осы нүктедегі сызықты бас бөлігі f функциясының (толық) дифференциалы деп аталады, dz немесе df аркылы белгілінеді:
(6)
∆х, ∆у- тәуелсіз айнымалылар өсімшелерін х пен у тәуелсіз айнымалыларының дифференциалдары деп атайды да оларды dx жэне dy арқылы белгілейді. Онда толык, дифференциал келесі түрге ие болады:
(7)