Часть I. Логика высказываний

Глава I. Таблицы истинности

§ I. Операции над простыми высказываниями

Согласно известному принципу дидактики, начинать изложение любого предмета следует с самого простого. Однако, не всегда ясно, что именно является простым. Иногда получается гак, что не начинают с самого простого, а считают простым то, с чего начали.

Мы будем связывать простоту п. соответственно, сложность того или иного раздела логики с тем, какие и сколько фундаментальных категорий из рассмотренных выше (категории вещи, свойства н отношения) задействованы в этом разделе, независимо от того, когда этот раздел возник исторически.

Самым простым разделом логики в этом случае оказывается логика высказываний. Зачатки этой логики можно найти в учениях древнегреческих философов, принадлежащих к школам мегариков и стоиков. Но в развитой, современной форме логика высказываний создана лишь в XIX в. Д. Булем (между прочим, отцом известной писательницы Э. Л. Войнич).

Фактически логика высказываний опирается на одну категорию из базисной тройки категорий: вещь, свойство, отношение. Этой категорией является категория вещи, которая будет пониматься в том широком смысле этого слова, который был разъяснен выше.

Давайте начнем с вещей. Что с ними можно делать? Во многих случаях вещи можно дарить, но можно их пообещать. Рассмотрим обещание, которое может давать наш кандидат, скажем, в президенты. Пусть он обещает демократию. Как установить, выполнил ли он свое обещание? Ответ естественен — надо посмотреть, будет ли демократия. И если будет, то признаем, что претендент не нарушил обещания. Построим очень простую таблицу.

Табл. 1

Здесь (И) обозначает не обманул, (Л) — обманул. Теперь пусть другой кандидат, противник демократии, обещает, что ее и не будет. Тогда получим для него таблицу.

Табл. 2

Соединяя обе таблицы, получим:

Табл. 3

Теперь возьмем две вещи — демократию и благоденствие.

Пусть первый кандидат обещает нам то и другое: и демократию, и благоденствие.

Второй кандидат обещает, по крайней мере, одно: демократию или благоденствие. Здесь одно другое не исключает, предполагается, что может быть и то, и другое.

Третий кандидат обещает только одно: иди демократию, или благоденствие, считается, что одно исключает другое.

Четвертый кандидат говорит, что если будет демократия, то будет и благоденствие.

В каком случае эти обещания будут выполнены? Рассмотрим ситуацию а) когда будет и демократия (1) и благоденствие (1).

Построим следующую таблицу 4.

(а) Табл. 4

Теперь истолкуем то, что у нас получилось.

Кандидат 1 обещает и демократию, и благоденствие. Выполнил ли он свое обещание или нарушил его? Очевидно, что выполнил, поскольку в ситуации (а) демократия и благоденствие имеются. В колонке для первого кандидата мы поставили И.

Второй кандидат обещал, по крайней мере, одно из двух (или демократия, или благоденствие). В ситуации (а) свое обещание он выполнил. Поставим в его колонке И.

Третий кандидат обещал или демократию, или благоденствие, только одно из двух — предполагается невозможность одновременного осуществления и демократии, и благоденствия. Следовательно, он не выполнил обещание — в его колонке поставили Л.

Четвертый кандидат обещал, что если будет демократия, то будет и благоденствие. Свое обещание он в ситуации (а) не нарушил. Поставим в его колонке И.

Рассмотрим ситуацию (б): демократия есть, а благоденствия нет.

(б) Табл. 5

Первый кандидат в ситуации (б) свое обещание не выполнил. Есть только одно, а он обещал и то, и другое. Мы поставили в его колонке Л.

Второй кандидат свое обещание в ситуации (б) выполнил. Он обещал демократию или благоденствие, пусть благоденствия нет, но демократия есть. Поставили в eгo колонке И.

Третий кандидат свое обещание в ситуации (б) выполнил. Он обещал только одно — либо демократию, либо благоденствие. Поставили в его колонке И.

Четвертый кандидат в ситуации (б) свое обещание не выполнил. По его обещанию, наличие демократии является достаточным условием для наличия благоденствия. Условие выполнено, а где же заключение? Благоденствия нет. Поставили в его колонке Л.

Рассмотрим третью ситуацию (в): демократии нет — обозначим такое положение через Л, а благоденствие есть — И.

(в) Табл. 6

Первый кандидат в ситуации (в) нас обманул, поскольку было обещано и то, и другое, а в наличии есть только одно. Поставили в его колонке Л.

Второй кандидат в ситуации (в) нас не обманул, поскольку он обещал хотя бы что-то одно, а оно есть в этой ситуации. Поставили в его колонке И.

Третий кандидат в ситуации (в) также нас не обманул, поскольку он обещал осуществление ровно одной ситуации; благоденствие есть, следовательно, в его колонке поставили И.

Четвертый кандидат в ситуации (в) свое обещание выполнил, поскольку благоденствие имеется. Пусть кандидат и ничего не делал для установления демократии, но ведь он и не обещал ситуацию наличия благоденствия только при наличии демократии (со своими обещаниями кандидат в противоречие не входил). Поставим в его колонке И.

Рассмотрим ситуацию (г): демократии нет, благоденствия нет.

(г) Табл. 7

Первый кандидат в ситуации (г) нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Второй кандидат в ситуации (г) нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Третий кандидат в ситуации (г) также нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Четвертый кандидат в ситуации (г) не может иметь претензий. Не выполнено условие, поскольку демократии нет. При невыполнении условия может не быть и следствия — благоденствия. Обещание свое четвертый кандидат не нарушил. Поставили в его колонке И.

Соединим все четыре таблицы вместе (табл. 8).

Теперь мы получили очень важную таблицу. Она — основа всей логики высказываний, которую мы собирались изложить. У нас пока нет самих высказываний, просто речь идет о вещах (демократии и благоденствии). Что же такое высказывание? Это такая вещь, которая характеризуется некоторым особым свойством. Это свойство обычно называется истинностью или ложностью как противоположностью истинности.

Табл. 8

Какие вещи могут быть истинными и ложными? Здесь у философов есть некоторые разногласия. Например, про такую вещь, как “восход солнца в пустыне”, можно сказать, истинна она или ложна? А про русалку?

Аристотель считал, что, например, слово “кентавр” не истинно и не ложно, а просто что-то обозначает.

Мы не будем вдаваться в сложные философские вопросы и будем исходить из несомненного, что не вызывает никаких разногласий. Всем известно из школьной грамматики о повествовательных предложениях. Например, “Кит — млекопитающее”, “Волга впадает в Каспийское море”, а “Лошади едят овес”. Все это есть некоторые вещи, ибо про них можно что-то сказать, приписав им свойство, или установить отношение этих вещей к другим. В данном случае всем им может быть приписано свойство истинности. А вот таким предметам, как “Кит — рыба”, “Волга впадает в Амазонку”, “Лошади питаются каменным углем”, присуще другое свойство, которое мы назвали ложностью.

Внимательный читатель может возразить автору: “Вы обещали использовать одну фундаментальную категорию — вещь, а используете другую категорию — свойство”.

Однако, заметьте, вещи у нас могут быть самыми разными, их неограниченное число, а свойств только два - истинность и ложность. Только эти свойства интересуют логиков: их можно назвать логическими.

Вещи, которые обладают свойствами истинности или ложности, будем называть высказываниями, а иногда, в качестве синонима, — суждениями. В языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Иные типы предложений выражают мысли, отличные от высказываний: побуждение или вопрос.

Над входом в академию Платона в древних Афинах висело “Да не войдет сюда всякий, не знающий геометрии!” Это, с точки зрения приведенного выше определения, не высказывание, ибо оно и не истинно, и не ложно. Здесь выражается пожелание или даже запрет. “Изучали ли Вы логику?” И это не высказывание. Здесь мы имеем дело с вопросом.

И побуждения (нормы), и вопросы могут изучаться логикой. Но в рамках нашего курса мы этого делать не будем, сосредоточиваясь на высказываниях.

Тот раздел логики, который изучает высказывания с точки зрения их истинности и ложности, называется логикой высказываний.

Логика высказываний интересуется отношениями между высказываниями, имеющими логический характер. Их мы уже знаем. Они выражены в наших таблицах, к которым мы сейчас и вернемся. Начнем с таблицы 3. Вместо “демократия” возьмем любое высказывание. Обозначим его символом а подобно тому, как в алгебре этим символом обозначается любое число. Отрицанием обещания демократии было “демократии не будет”. Выразим отрицание высказывания в общем виде с помощью символа ⌐а. Введя символы произвольного высказывания “а” и его отрицания “⌐а” в таблицу 9, будем иметь:

Табл. 9

а ⌐а

И Л

Л И

Эту таблицу можно рассматривать, как определение отрицания. Отрицание ⌐а будет иметь место в том случае, если, когда а будет истинно, то ⌐а будет ложно и когда а ложно, то ⌐а — истинно.

При этом мы предполагаем два фундаментальных закона мышления. Первый из них: высказывание и его отрицание вместе истинными быть не могут. Если одно истинно, второе будет ложным. Этот закон получил название закона противоречия, хотя, более точно, хотя и более длинно, это — закон запрещения противоречия. Второй закон: высказывание и его отрицание не могут быть вместе ложными. Если одно из них ложно, то другое — истинно. Истинно будет именно второе высказывание. Поскольку мы уже знаем, что истинно второе, третьего искать не нужно. Оно исключено. Поэтому этот закон мышления носит название закона исключенного третьего. К этим законам нам еще придется неоднократно возвращаться в будущем.

Теперь перейдем к обобщению таблицы 8. Там мы рассуждали о демократии и благоденствии. Вместо них будем говорить о разных высказываниях, которые обозначим символами а и b. Введем особые знаки для рассмотренных отношений. Нам понадобятся 4 знака, в соответствии с четырьмя типами обещаний.

1. Обещание “то и другое” выразим а & b.

2. Обещание “по крайней мере одно” выразим a v b.

3. Обещание “только одно” выразим a w b.

4. Обещание “если будет одно, то будет и другое” выразим а ® b. Теперь немного латыни. Используем слова латинского языка. Всего четыре.

1. Конъюнкция а & b.

2. Дизъюнкция (соединительная) a v b.

3. Дизъюнкция (исключающая) a w b.

4. Импликация а ® b.

Каждое из этих понятий мы определим с помощью таблицы 10. Так, про конъюнкцию мы можем сказать, что это такая связь высказываний а и b, которая будет истинной тогда и только тогда, когда оба высказывания будут истинными, и ложной во всех остальных случаях.

Дизъюнкция (соединительная) a v b будет истинной тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы одно высказывание или же сразу оба. Если же оба высказывания а и b одновременно ложны, то и сложное высказывание (a v b) будет ложным.

Дизъюнкция (исключающая) a w b (ее называют также строгой) выражает утверждение о наличии только одной из двух ситуаций, выраженных высказыванием а или высказыванием в. Строгая дизъюнкция принимает значение “истина” только в двух случаях: 1) когда а истинно, a b — ложно, и 2) когда а ложно, a b — истинно.

Строгая дизъюнкция принимает значение “ложно”, если оба высказывания а и b одновременно ложны или одновременно истинны.

Импликация а ® b — это такое сложное высказывание, которое является ложным только в том случае, когда ее антецедент (идущий перед), выраженный высказыванием а — истинен, а консеквент (идущий за), выраженный высказыванием b, ложен. Во всех остальных случаях импликация а ® b является истинной. Антецедент мы будем называть также основанием импликации, а консеквент — следствием. Хотим сразу же предостеречь читателей от распространенной ошибки. Антецедент — идущий перед, понимается нами лишь в логическом смысле, так же как и консеквент. В языке же ситуация часто обратная. Мы начинаем с консеквента и переходим к антецеденту. Но в этом случае используем другой союз. Не “если — то”, а чаще всего “так — как”, “поскольку”. Почтамт закрыт, так как выключили свет. Здесь антецедентом, основанием импликации будет “выключили свет”, а консеквентом — “почтамт закрыт”.

Читатель может убедиться, что мы уже достигли больших успехов в смысле точности определений условий истинности и ложности сложных высказываний.

Союзы, соединяющие простые предложения в сложные, в естественном языке можно понимать в самых разных смыслах, и понимание одного человека часто не согласуется с пониманием другого. Отсюда возникают разногласия, споры из-за слов.

В логике высказываний логические связки (отношения) — конъюнкция, дизъюнкция (соединительная и исключающая), импликация (их еще можно назвать логическими функторами), имеют совершенно четкое, можно сказать, математическое определение.

Сказанное позволяет нам на основе таблицы 8 построить следующую таблицу 10.

Табл. 10

Мы построили таблицу для 4-х функторов. Возможны или нет другие функторы?

Можно подойти к этому вопросу чисто формально. Четыре функтора определены в зависимости от распределенности истинности и ложности в соответствующей колонке.

Возможны ли еще варианты? Читатель может сам подумать и эти варианты перечислить. Если он будет достаточно аккуратен, то у него получится еще 12 функторов.

Итоговая таблица, с помощью которой мы определим 16 логических отношений (функторов) между высказываниями, имеет следующий вид:

Табл. 11

Каждое из полученных нами новых отношений может быть обозначено новым знаком и термином, но мы этого в целом делать не будем, поскольку и 4-х отношений, определенных нами, вполне достаточно для наших задач.

Как мы построили таблицу? Сначала заполняли колонку 1 — все истинно: И, И, И, И. Далее допустили одну Л снизу и будем иметь еще четыре колонки, которые для удобства запишем в ряд: И И И Л (колонка 2); И И Л И (колонка 3); И Л И И (колонка 4); Л И И И (колонка 5). Теперь возьмем два значения Л. Если они берутся подряд, то будем иметь И И Л Л (колонка 6); И Л Л И (колонка 7); Л Л И И (колонка 8), а если врозь, то И Л И Л (колонка 9); Л И Л И (колонка 10); Л И И Л (колонка 11). Итого, имеем: 1+4+3+3=11 колонок. Теперь заменим везде Л на И и И на Л, будем иметь еще 11 колонок. Но среди них могут быть дубли. Будьте внимательны: Л Л Л Л (колонка 12); Л Л Л И (колонка 13); Л Л И Л (колонка 14); Л И Л Л (колонка 15); И Л Л Л (колонка 16). Дубли вычеркнем. Останется 5 новых вариантов. Следовательно, имеем 11+5=16 возможных колонок.