§ 3. Типы правильно построенных формул ято

Типы правильно построенных формул (ППФ) фиксируют соотношения между категориями нашей тройки: “Вещь”, “Свойство”, “Отношение”.

I (A) A III (A*) A

II А (А) IV А (*А)

Первая из этих формул выражает тот факт, что вещь имеет свойство. Под вещью имеется в виду произвольная вещь — А. Обозначение вещи находится в круглых скобках. Справа от круглых скобок располагается символ, обозначающий свойство. Это — также произвольное свойство.

Первая формула означает буквально то, что произвольный предмет обладает произвольным свойством. Это, конечно, не так. Но нас сейчас не волнует истинность формул. Об этом разговор будет идти дальше. Сейчас же мы рассматриваем вопрос о структуре наших формул.

Важно, что формула I обладает правильной структурой, равно как и все те формулы, который могут быть получены из 1 путем подстановки вместо А других формул нашего аппарата. Таким образом, наряду с I будут правильно построенными формулы (А)а — произвольный предмет обладает каким-то свойством, (A)t — произвольный предмет обладает определенным свойством t, (a)a — некоторый предмет обладает некоторым свойством и т. д.

Формула II означает, что вещь (символ вещи в круглых скобках) имеет отношение (его символ — слева от круглых скобок). Свойство и отношение отличаются друг от друга не по числу мест предиката, как принято считать в логике предикатов, а по тем основаниям, о которых говорилось во введении к этой книге. Отметим также, что если в логике предикатов отношение всегда мыслится существующим между вещами, то мы предполагали более общий случай. Отношение может быть также в вещах и к вещам. Так же, как и для первой формулы, верно, что правильно построенными формулами будут результаты всех подстановок в формулу, например а(А) — произвольный предмет имеет некоторое отношение, а(а) — некоторый предмет имеет некоторое отношение и т. д.

Формулы I и II могут быть названы прямыми. Здесь имеет место отношение, направленное от вещи к свойству и, соответственно, отношению. Другие две формулы — инверсные. В них выражено отношение свойств и отношений к вещам.

Если бы у нас были одни определенные предметы, свойства и отношения, то изменение направления отношений между ними было бы несущественным. Если этому предмету присуще это свойство, то, понятно, что это свойство присуще этому предмету. Однако, совсем не то же самое сказать, что некоторый предмет обладает произвольным свойством или же что произвольное свойство присуще некоторому предмету. Поэтому наряду с формулами 1 и II рассматриваются формулы типа III и IV.

(А*)А будет означать, что произвольное свойство (справа от скобки со звездочкой) присуще произвольному предмету (в скобках). Делая подстановки, получим: (а*)А (произвольное свойство присуще некоторому предмету), (t*)A (произвольное свойство присуще определенному предмету), (А*)а (некоторое свойство присуще произвольному предмету) и т. д.

Соответственно, формула А(*А) будет истолковываться как “произвольное отношение (слева от скобки со звездочкой) имеет место к (в или между) произвольному объекту (в скобках)”. В качестве частных случаев получим: A(*t) — произвольное отношение имеет место к определенному объекту, а(*А) — некоторое отношение имеет место к произвольному объекту и т. д.

Следующий, пятый тип правильно построенных формул ЯТО, — это замыкания предыдущих:

V [А]

Термин “замыкание” здесь понимается в ином смысле, чем в логике предикатов. Это не связывание свободных переменных кванторами, поскольку кванторов у нас нет, а превращение суждений, выражаемых формулами типа I-IV, в некоторое подобие понятий. В языке это проявляется заменой предложений на соответствующие словосочетания. Так, например, (А)А — “произвольный предмет имеет произвольное свойство” в результате замыкания, выраженного с помощью квадратных скобок: [(А)А], превращается в словосочетание: “произвольный предмет, имеющий произвольное свойство”. [(t*)a] будет означать “некоторое свойство, имеющееся у предмета t” и т. д. Формулы типа I-IV могут быть названы открытыми или пропозициональными (от латинского слова propositio — предложение). Формулы типа [А], соответственно, могут быть замкнутыми или концептуальными (от латинского conceptio — соединение, система).

Смысл, выражаемый концептуальными формулами, несколько похож на понятия. Во всяком случае, здесь есть некоторое содержание, хотя в большинстве случаев неопределенное. Однако, объема, соответствующего этому содержанию, нет, за исключением того случая, когда это содержание вполне определено, т. е. в случае формул [t], [(t)t], [(t*)t], [t(t)], [t(*t)], [([(t)t])t] и т. д. Поэтому, в строгом смысле этого слова, замкнутые формулы ЯТО не выражают понятий, хотя они могут рассматриваться как некоторые модели, выражающие структуру понягий.

Очень существенен вопрос о том, могут ли замкнутые формулы так же, как и открытые, характеризоваться с точки зрения истинности и ложности. Мы полагаем, в отличие от многих других логиков, что да. Ведь в обоих случаях они соотносятся с действительностью. Когда герой известной сказки “по щучьему велению, по моему хотению” приказывает ведрам, чтобы они сами отправлялись за водой, то этот приказ, как и все приказы и пожелания в мире, соотносят сказанное не с действительностью, а именно с хотением. Но если мы скажем: “Ведра идут за водой” или “Ведра, идущие за водой”, то здесь предполагается, уже независимо от хотения, соотнесение с действительностью. Сказанное может соответствовать или не соответствовать этой действительности, т. е. быть истинным или ложным. Дополнительные аргументы в пользу такой точки зрения можно найти в статье автора “Выводы из понятий” (Логико-грамматические очерки. М., Высшая школа, 1961).

В соответствии с четырьмя типами открытых формул мы имеем четыре типа замкнутых, которые мы можем получить, делая подстановки открытых формул в [А]. Тогда получим:

[(А)А], [А(А)], [(А*)А], [А(*А)]

Здесь мы подставили в [А] сложные формулы типа 1-IV. То же самое можно делать и применительно к самим формулам I-1V. Вообще, любую правильно построенную формулу можно подставить вместо А в любую правильно построенную формулу. В результате мы не всегда будем получать истинные формулы, но всегда правильно построенные. Например, подставляя вместо первого А в формулу (А)А формулу (А*)А, получим ((А*)А)А, что будет означать, что суждение: “Любое свойство присуще произвольному предмету” будет обладать произвольным свойством. Подставляя (А)A в само себя во втором вхождении, получим (А)(А)А: любой предмет обладает свойством, выражаемым формулой (А)А.

Понятно, что, поступая таким образом, мы можем получать сколь угодно длинные формулы, выражающие самое разное содержание. При этом может получиться так, что одна и та же формула, как, например, (А)а(А), допускает двоякое истолкование: и как “А обладает свойством а(А)”, и как “А имеет отношение а(А)”. Если нам это не нравится (что вовсе не обязательно), мы можем исключить одну из возможностей, помещая нашу подстановку в особый тип скобок, скажем, фигурные. Они имеют чисто вспомогательный характер и выражают только то, что имеет место формула, подставляемая в другую формулу. Пусть у нас есть (А)А. Берем формулу а(А) в фигурные скобки прежде, чем подставить ее в (А)А. Тогда получим: (А){а(А)}. Тогда будем иметь только одно истолкование. Подставляя {а(А)} вместо первого выражения А в формулу (А)А, получим для многих непривычное: ({(А)А})А. Здесь фигурные скобки внутри круглых. Ну и что? Из формы скобок не вытекает порядок, в котором мы их должны рассматривать.

Теперь возникает вопрос — как быть со списками правильно построенных формул? Построение ЯТО становится гораздо проще, если мы примем следующее соглашение: список правильно построенных формуя сам является правильно построенной формулой. Таким образом, мы получим новый, шестой тип ППФ:

VI А, А

Подчеркнем, что наличие списка не означает признание какого-либо отношения между объектами, выражаемыми компонентами этого списка. Это понятно, ведь список мы получаем, лишь перечисляя формулы в произвольном порядке. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, список, полученный таким образом, назовем также свободным списком.

Если же мы объекты, отображаемые компонентами списка, как-то соотносим друг с другом, то такой список назовем связным. Связный список будем отличать от свободного тем, что вместо запятой используем точку: А•А. Это не новый тип ППФ, поскольку связный список имеет строгое, формальное определение, которое мы здесь, однако, не приводим.

Итак, у нас будет шесть типов правильно построенных формул, если не считать элементарные формулы, состоящие всего из одного символа: A, a, t. Дотошный читатель может возразить: выше использовались элементарные формулы, перед которыми ставился показатель тождества — йота-оператор, например, ιA, ιA. Поскольку вместо А можно ставить все, что угодно, можно говорить о том, что правильно построенными будут также формулы {ιA, ι[(A)a]}, {ι{(a)A}, {ιA, ιa}} и т. д. Являются ли формулы с йота-операторами особым типом формул? Ответ на этот вопрос зависит от того, сможем ли мы определить эти выражения формально — через другие типы ППФ. Такое определение дается на основе определения понятия тождества, данного Аристотелем и затем — Фомой Аквинским: Две вещи тождественны друг другу, если любое свойство одной является свойством другой вещи. Поэтому формулы с йота-операторами являются особым случаем других типов формул.

Однако, нам не будет хватать одного йота-оператора, если будет необходимо сделать несколько разных отождествлений. Возьмем формулу А, А, А, А, А. Допустим, что один и тот же предмет обозначается первым и третьим вхождением А, второе и пятое вхождение также обозначают один и тот же предмет. В таком случае мы можем использовать два йота-оператора: один — одинарный, а второй — двойной. Вместо двойного йота-оператора мы можем использовать одинарный с каким-то отличием — крестиком, нуликом или своим портретом. Только потому, что это труднее, мы будем прибегать к удвоению буквы. Таким образом, мы на основе вышеприведенной получим следующую формулу: ιA, ιιА, ιA, A, ιιA. Понятно, что число йота-операторов таким образом можно увеличивать до бесконечности.

Формулы, снабженные одним и тем же йота-оператором, обозначают предметы, тождественные другу другу. Однако, нам придется иметь дело с утверждением о том, что какие-то предметы тождественны другим. Во втором случае речь идет обязательно об открытой, пропозициональной формуле, в которой эта тождественность утверждается, а не просто предполагается.

Возьмем для выражения такого тождества, назовем его открытым в противоположность замкнутому, иную букву — английскую j (джей). Например, формула jA, ja будет означать, что в качестве произвольного объекта берется такой объект, который будет тождественным некоторому объекту. В этом случае существенно направление отождествления. Это может показаться странным, поскольку тождество — симметричное отношение. Однако, несмотря на эту симметрию, которую никто не будет отрицать, направление отождествления может быть очень важным. Возьмем пример. Есть мнение, что уровень студенческих дипломных работ сравнялся с уровнем кандидатских диссертаций. Хорошо это или плохо? Да, если уровень дипломных работ отождествляется с уровнем кандидатских диссертаций. И нет, если, наоборот, уровень диссертации отождествляется с уровнем дипломных работ.

Для того, чтобы отобразить направление отождествления, перевернем букву j перед символом того объекта, который отождествляется, сохранив ее нормальное положение перед символом того объекта, с которым происходит отождествление. Таким образом, ♪Aja будет обозначать, что произвольный объект отождествляется с некоторым объектом. Запятую перед символом можно в этом случае убрать, поскольку отождествление связывает объекты. Будем считать ♪Aja синонимом ♪A • ja .

Χ 3. Импликации в ЯТО

Логика высказываний и логика предикатов основаны на использовании одного типа импликации. Есть попытки заменить таблично определяемую импликацию импликациями другого типа. Однако, насколько нам известно, никто не предлагает одновременное использование импликаций разного характера.

Именно это имеет место в рамках ЯТО, где определены и одновременно используются 4 типа импликаций.

Один из них определяется через ранее введенные типы ППФ следующим образом:

Здесь =df обозначает “равно по определению”. Знак Þ лучше всего передается словом “является”. Если мы говорим, что тигр является млекопитающим, то это все равно, что мы отождествляем тигра с каким-то объектом, имеющим свойством “млекопитающее”.

Таким образом, мы интерпретируем в естественном языке формулу ЯТО. Эта интерпретация уже не является формулой ЯТО. Это выражение естественного языка, но структура этого выражения полностью соответствует интерпретируемой формуле ЯТО.

Импликация, приведенная выше, может быть названа атрибутивной, поскольку ее консеквент выражает некоторое свойство — атрибут, присущий антецеденту. В общем и целом эта импликация соответствует категорическому суждению традиционной логики. В отличие от импликации логики высказываний, в качестве антецедента и консеквента здесь могут выступать не только пропозициональные — открытые формулы, но и те, которые выше были названы концептуальными или замкнутыми.

Другой вид импликации – реляционная импликация. Здесь антецедент отождествляется с каким-то объектом, который имеет консеквент в качестве отношения. В качестве символа такой импликации возьмем знак >. Будем иметь:

{(ιA > ιιА} =df {♪ιAj[ιιА(a)]}

Например, местность будет реляционно имплитировать отношения, выраженные картой этой местности, если местность будет тождественна некоторому предмету, имеющему отношения, выраженные картой.

Третья разновидность импликации получила название мереологической, от слова “мереология”, предложенного известным польским логиком С. Лесневским для обозначения теории, изучающей всевозможные типы включения одних вещей в другие: видов в роды, частей в целое, элементов в множество и т. д. Обозначив такой тип импликации символом É, дадим ей следующее определение:

Например, Одесса включает Молдаванку. Это означает, что Одесса тождественна Молдаванке вместе с чем-то еще.

Обобщая приведенные выше три типа импликации, мы получим четвертый тип — “нейтральную импликацию” А ® А. Ее можно определить как такое отношение, которое обладает свойствами, общими для атрибутивной, реляционной и мереологической импликаций. Формально это выглядит так:

Мы видели, что определения каждого из исходных трех типов импликаций основывается не на соотношениях между истинностными значениями антецедента и консеквента, а на различных формах их связи по содержанию. Это же свойство переходит на “нейтральную” импликацию. Таким образом, не возникают парадоксы импликации, которые делают логику высказываний и базирующуюся на логике высказываний логику предикатов не вполне адекватными средствами логического анализа реального процесса мышления.