§ 4. Логика предикатов и классическая силлогистика

Несмотря на то, что в теоретическом плане логика предикатов представляет несомненный интерес и в некоторых разделах математики сфера ее приложений достаточно широка, мы не можем говорить о том, что она значительно расширила возможность логического анализа нашего повседневного мышления. Здесь заслуга логики предикатов, главным образом, в том, что в ее рамках были разработаны способы формального обоснования тех выводов, которые в традиционной логике принимались, исходя прежде всего из содержательных соображений. При этом оказалось, что не все силлогизмы, правомерные в аристотелевской логике, допускают такое формальное обоснование. Например, аристотелевский силлогизм III фигуры с общеутвердительными посылками и частноутвердительным заключением (такой модус называется Darapti — словом, гласные которого указывают на характер посылок и заключения). Выше, в предыдущем разделе, мы рассматривали такие силлогизмы, как: все киты — млекопитающие, все киты живут в воде, значит, некоторые млекопитающие живут в воде. Правила III фигуры здесь соблюдены: меньшая посылка утвердительна, вывод частный. Нам и в голову не приходило, что тут что-то не так. Аналогичная ситуация имеет место с другими силлогизмами, в которых делается частный вывод из общих посылок. Они не имеют формального обоснования в рамках логики предикатов. Что это значит? Часто изложенную ситуацию истолковывают так: “некоторые умозаключения, которые по правилам традиционной логики считаются правильными, на самом деле (подч. мной А. У.) оказываются не таковыми” (В. Зегет. Элементарная логика. М., Высшая школа. 1985, с. 165). Это — недоразумение. На самом деле отсутствие формального обоснования выводов от общих суждений к частным выявляет дефект не традиционной логики, а логики предикатов, в символике которой общие суждения не находят адекватного отображения.

Что беспокоит логику предикатов в приведенном выше силлогизме про китов? Возможность их отсутствия. Быть может, их вовсе нет, как кентавров или русалок. Быть может, китов выдумали суеверные китобои? В таком случае посылки сохранят истинность. Все киты останутся млекопитающими и живущими в воде, а вот вывод: “Некоторые млекопитающие живут в воде” будет явно ложным. Значит, силлогизм Darapti никуда не годится. Возможно, читатель будет удивлен. Но это лишь потому, что он еще не знает, что в логике предикатов общеутвердительное суждение выражается не формулой “Все S есть Р”, а формулой "x [S(x) ® Р(х)]. Первая формула предполагает в аристотелевской логике непустоту объема субъекта S. Киты должны существовать прежде, чем плавать по морям и океанам. Иначе в аристотелевской логике суждение “киты живут в воде” не будет считаться истинным, равно как и обращение этого суждения “некоторые животные, живущие в воде, есть киты”.

В логике предикатов пустота S не препятствие для истинности. Напротив, это — благоприятный фактор. В самом деле, если S пусто, то S(x) ложно, а при ложности антецедента импликация S(x) ® Р(х) всегда истинна! Этого нельзя сказать о формуле $(x)[S(x) & Р(х)], которая выражает частноутвердительное суждение. Если не будет S, то формула оказывается ложной. Отсюда и абсурдный результат: при отсутствии китов все они все же будут продолжать жить в воде и быть млекопитающими, а вывод о существовании неких млекопитающих, живущих в воде, окажется ложным. Здесь проявляется парадокс импликации, перешедший в логику предикатов из логики высказываний, о котором мы уже говорили выше.

Сведения категорического суждения к импликации не являются единственно возможным путем формализации этого суждения в логике предикатов. Иной путь — использование дизъюнкции (Д. Гильберт и В. Аккерман. основы теоретической логики. М., Гос. изд. иностранной литературы, 1947, гл. II, § 3). Однако и эта формализация не является адекватной. И в ее рамках нельзя доказать неправомерность тех или иных форм силлогизмов (см. А. И. Уемов. Пустые классы и аристотелева логика // Логические исследования. М., Изд. А. СССР, 1959, с. 178-188).

Рассмотрим другую сторону вопроса. Мы видели, что логика предикатов не опровергает схем традиционной логики. Но может ли она доказывать то, что не может быть доказано средствами традиционной логики? Если речь идет о логике предикатов как о формализации логики отношений, то ответ на этот вопрос, несомненно, положителен. Однако, преимущества одноместного исчисления предикатов, где логика предикатов выступает как разновидность атрибутивной логики, в значительной мере кажущиеся. Так, В. Зегет, которого мы уже цитировали, утверждает, что выяснить правомерность следующего умозаключения невозможно средствами традиционной логики. Для этого необходимо использовать логику предикатов.

“Ни один материалист не является объективным идеалистом.

Ни один субъективный идеалист не является материалистом.

Существуют философы, которые не являются ни субъективными, ни объективными идеалистами”. (В. Зегет. Там же, с. 162)

Выше, в разделе о категорическом силлогизме, этот пример уже был предложен для логического анализа, и мы надеемся, что читатель с ним справился. Логика предикатов для этого не потребовалась.