§ 2. Операции над сложными высказываниями.

Допустим, что у нас есть два сложных высказывания — конъюнктивное (а & b) и дизъюнктивное (a v b). Эти сложные, или молекулярные, высказывания состоят из атомарных высказываний а и b. Молекулярными высказываниями можно оперировать так же, как и атомарными. Получим суперсложные высказывания, например, ( а & b) w (a v b), которое можно преобразовать в высказывание (d w е), если заменить, соответственно, (а & b) на d, a (a v b) на е. Мы этого делать не будем, а сразу будем вычислять истинное значение сложной формулы.

Рассмотрим это на примере формулы (а & b) w (a v b).

Как определить истинность этого сложного выражения?

Построим совместную таблицу для формул а, b, (а & b), (a v b) и (а & b) w (a v b).

Табл. 12

Совершенно аналогично мы можем определить значение истинности сколь угодно сложных выражений, включающих сколь угодно большое число компонентов. Это, в общем, нетрудно сделать в том случае, если число атомарных формул (каждая из которых содержит один символ) не превышает двух, В случае трех атомарных формул ситуация несколько усложняется. Пусть, например, нужно вычислить функцию истинности формулы (а & b) v с. В этом случае у нас уже не четыре возможных распределений истинности и ложности между элементарными компонентами, как было в случае высказываний а и в, а восемь, поскольку нужно учесть две различные возможности для высказывания с. Число возможных комбинаций для двух высказываний равно 22 = 4, для трех 23 = 8, для п элементарных высказываний 2ⁿ.

Построим таблицу истинности для формулы (а & b) v с. Здесь число комбинаций для трех переменных равно 8, поэтому в таблице для этой формулы будет 8 строк.

Табл. 13

a

b

c

а & b

(а & b) v с

И

И

И

И

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

§ 3. Тавтологии. Законы мышления

Сложные формулы, вообще говоря, могут иметь разное значение истинности и ложности в зависимости от значений истинности и ложности их элементарных компонентов. Однако, могут быть такие сложные формулы, которые получают значение истинности независимо от того, какое значение истинности и ложности принимают атомарные высказывания. Вспомним диагноз, который поставил лекарь Богомол: “...пациент жив или он умер. Если он жив, он останется жив или он не останется жив. Если он мертв — его можно или нельзя оживить” (А. Толстой. Золотой ключик или приключения Буратино).

Такого рода диагнозы и прогнозы справедливо высмеиваются, поскольку они оказываются всегда истинными. Тем не менее, всегда истинные формулы, называемые тавтологиями, играют в логике весьма существенную роль. То, что выше было названо законами мышления, выражается с помощью тавтологий.

Возьмем закон противоречия, который запрещает одновременную истинность высказывания и его отрицания. Его можно выразить в виде следующей формулы:

⌐ (а & ⌐ а), что можно прочитать следующим образом: ложно, что а и не а.

Построим таблицу функций истинности для этого сложного высказывания.

Табл. 14

Итак, оказывается, что наше высказывание, выражающее закон противоречия, всегда истинно, к какому бы элементарному высказыванию а оно ни относилось. Плохо ли это?

Это хорошо и очень важно для нас. Закон противоречия выражает фундаментальное требование к нашему мышлению. Как показал еще Аристотель, мышление всегда должно соблюдать этот совершенно очевидный принцип.

Его можно было бы и не формулировать, если бы этот закон всегда соблюдался автоматически. Однако, нетрудно привести массу фактов, когда человек противоречит сам себе в зависимости от того, что является выгодным в данный момент. Вспомним, например, разговор Полония с принцем Гамлетом. Царедворец Полоний не хочет спорить с принцем и поэтому противоречит сам себе.

Гамлет: Видите вы вон то облако в форме верблюда?

Полоний: Ей-богу, вижу, и действительно, ни дать, ни взять —

верблюд.

Гамлет: По-моему, оно смахивает на хорька.

Полоний: Правильно: спинка хорьковая.

Гамлет: Или как у кита.

Полоний: Совершенно как у кита. (В. Шекспир. Гамлет, принц

Датский).

Используя закон противоречия, можно понять, что человек мыслит нелогично, т. е. неправильно.

Возьмем другой закон — закон исключенного третьего. Его можно выразить в виде формулы: (a v ⌐a)

Составим таблицу:

Табл. 15

Выражение a v ⌐а является всегда истинным, независимо от того, истинным или ложным является само высказывание а.

Лиллипутские мыслители потратили много усилий для того, чтобы решить вопрос о том, является ли попавший к ним Гулливер объектом, называемым Реюмплюмсюльплекс. Вы, конечно, не знаете, что это такое. Д. Свифт, который все это сочинил (см. его Путешествие Гулливера в Лиллипутию), тоже, наверное, не знал, что это такое. И тем не менее, он, так же, как и мы с вами, вполне можем быть уверены в том, что Гулливер был Реюмплюмсюльплексом или же он не был Реюмплюмсюльплексом.

Истина здесь — между этими двумя возможностями, 3-е исключено.

Логическая ошибка будет допущена в том случае, если будут отвергаться оба противоречащие друг другу высказывания. В таком положении может оказаться студент, отвергающий положение о том, что он не знает, что такое логика, и вместе с тем вынужденный признать ложность того, что он знает, что это такое.

Есть еще и третий закон мышления — закон тождества. Обычно его считают первым законом мышления, и это вполне справедливо. Применительно к высказываниям он говорит о том, что каждое высказывание тождественно самому себе, что оно не может быть чем-то отличным от самого себя. Это можно выразить в виде формулы: а ® а. Нетрудно видеть, что мы записали тавтологию

Табл. 16

Несмотря на свою тавтологичность, закон тождества может нарушаться, когда одно высказывание подменяется другим, отличным от него, хотя, возможно, и близким по смыслу.

В пьесе Шекспира “Венецианский купец” Шейлок дает взаймы Антонио 3000 дукатов с условием в случае неуплаты долга в срок —

“назначим неустойку,

Фунт вашего прекраснейшего мяса,

Чтоб выбрать мог часть тела я любую

И мясо вырезать, где пожелаю”.

Антонио не хотел платить такую неустойку. Судья Порция выносит решение:

“Твой вексель не дает ни капли крови,

Слова точны и ясны в нем: фунт мяса.

Бери ж свой долг, бери же свой фунт мяса;

Но, вырезая, если ты прольешь

Одну хоть каплю христианской крови,

Твое добро и земли по закону

К республике отходят” (акт IV, сцена 1).

Здесь высказывание “разрешается вырезать фунт мяса” подменяется “разрешается вырезать фунт мяса без крови”. Это разные по смыслу высказывания.

Только ли указанные три закона мышления выражают тавтологию? Нет!

Тавтологий в логике высказываний много. Например, существует правило Клавия: (¬a ® а) ® а.

Составим таблицу:

Табл. 17

Уже на этом высказывании вы можете почувствовать значимость того, что та или иная формула логики представляет собой тавтологию.

Если закон противоречия, закон исключенного третьего и закон тождества представляются очевидными, то правило Клавия уже таковым не является. В логике мы имеем дело с формальной стороной высказываний, и поэтому не сразу ясно, истинно высказывание или нет.

И уже совсем непонятно, истинен или нет так называемый закон Дунса Скота, установленный известным философом-схоластом XIII-XIV в.:

а ® (¬а ® b)

Смысл этого положения заключается в том, что ложное высказывание имплицирует любое другое высказывание. Это кажется обескураживающим, но посмотрим на таблицу:

Табл. 18

С помощью наших таблиц мы можем давать формальные определения новых логических связок, которые могут быть найдены среди тех 16 (см. таб. 11), о которых шла речь выше. Рассмотрим одну из таких связок — эквивалентность. Эквивалентность будет иметь место у двух высказываний а и b тогда и только тогда, когда а ® b и b ® а. Формально можно записать так:

а ≡ b =df (а ® b) & (b ® а)

Запись =df означает “равно по определению” (от лат. definicio — df).

Этот знак отделяет то, что мы определяем (дефиниендум) от того, с помощью чего мы определяем (дефиниенс).

Составим таблицу для эквивалентности:

Табл. 19

Из таблицы мы видим, что эквивалентность будет иметь место между высказываниями а и b в том и только в том случае, если они оба истинны или оба ложны. Возвратимся к нашей таблице, и мы найдем введенный нами функтор там. Это — колонка № 7.

С помощью введенного понятия сформулируем еще одну очень интересную тавтологию, которая называется законом де Моргана (по имени известного шотландского логика XIX в.). Некоторые исследователи считают это законами У. Оккама (в честь средневекового схоласта, не менее известного, чем Д. Скот).

Вот эти тавтологии:

Содержательный смысл формулы Оккама — де Моргана заключается в том, что отрицание конъюнкции высказываний а и b эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждой их них по отдельности и, соответственно, наоборот, отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний.

Пример. Если известно, что кандидат не выполнил обещания того, что будет демократия и благоденствие, то это будет эквивалентно тому, что нет демократии или нет благоденствия.

Существует еще много очень интересных и важных тавтологий логики высказываний. Здесь мы их разбирать не будем, надеясь на то, что читатель уже понял предложенные образцы тавтологий и сумеет разобраться в упражнениях и задачах, которые его ожидают через несколько страниц.