Глава II. Проблема вывода в логике высказываний

§ 1. Схемы Хрисиппа

Все, что мы делали до сих пор, еще не может называться логикой в подлинном смысле этого слова. Ведь мы только вычисляли значение истинности одного высказывания в зависимости от истинности других. А выводов никаких не делали. Логика же должна иметь дело прежде всего с выводом одних мыслей (здесь — высказываний) из других мыслей.

Однако, мы уже создали аппарат, с помощью которого нетрудно построить теорию, дающую возможность отличить правильные выводы из данных высказываний от неправильных.

Что значит правильный вывод? Это совсем не означает, что полученное высказывание истинно само по себе. Например, мы можем рассуждать так. Известно, что имеет место а ® b и оказывается, что высказывание b — истинно. Значит, полагаем мы, истинным является высказывание а. Хорошо ли мы рассуждаем?

Приведем конкретный пример рассуждения, удовлетворяющего приведенной формуле. Если у человека повышенная температура, то он болен. Этот человек болен. Значит, у него повышенная температура. Проверяем. На самом деле, у него температура повышена. И мы думаем, что рассуждаем хорошо. Но так ли это? Запишем схему нашего рассуждения. Для этого отделим те мысли, из которых мы исходили, т. е. такие, истинность которых нам известна заранее, от той мысли, которую мы получаем, т. е. истинность которой определяется с помощью нашего рассуждения. Первое мы назовем посылками, а второе — выводом. Процесс же получения вывода на основе посылок будем называть умозаключением.

Представим умозаключение в виде схемы, в которой посылки будем записывать сверху черты, а вывод — под чертой. Применительно к нашему умозаключению, эта схема будет иметь вид:

Если у человека повышена температура, он болен.

Этот человек болен.______

У него повышена температура.

Мы уже знаем, что у больного человека, назовем его Петровым, на самом деле температура повышена. А могла бы она не быть повышена при том же условии, т. е. при том, что Петров болен? Для ответа на этот вопрос нужно знать, бывают ли болезни, не сопровождающиеся повышением температуры. Мы можем и не знать этого, несмотря на то, что уверены в истинности наших посылок. Значит, истинность посылок в нашем примере не гарантирует истинности вывода. А если бы мы рассуждали правильно? Тогда при условии истинности посылок вывод обязательно был бы истинным. Для того, чтобы быть уверенным в истинности вывода, нам не нужно было бы ничего знать, кроме истинности посылок.

Можно ли убедиться в ошибочности умозаключения с помощью чисто формальных методов? Да. Для этого мы воспользуемся уже хорошо известными нам таблицами истинности. Построим таблицу истинности для a, b и а ® b, с помощью которой можно будет выяснить, могла ли быть такая ситуация, когда (а ® b) и b были бы истинными, но а, тем не менее, — ложным.

Табл. 20

Обратим внимание на 3-ю строчку нашей таблицы. Мы видим, что здесь (а ® b) истинно и b — истинно, но а, тем не менее, — ложно. Таким образом, выяснилась возможность ложного вывода при наличии истинных посылок. Это никуда не годится! Мы обнаружили ложность вывода о высокой температуре Петрова, не заглядывая ни в какие медицинские справочники, руководствуясь только таблицами истинности.

А какое умозаключение было бы правильным? Правильным было бы такое умозаключение: если у человека повышена температура, то он болен. У Петрова повышена температура. Значит, он болен.

Этому умозаключению соответствует следующая формула:

Проверим этот вывод с помощью нашей таблицы. В каком случае истинным является а и (а ® b)? Только в первой строчке, и именно в этом случае будет истинным b.

Мы привели одну из форм умозаключений, которые были сформулированы еще древнегреческим философом-стоиком Хрисиппом1. Он выражал его в форме:

I. Если есть А, то есть и В

Кроме этой формы, у Хрисиппа были еще четыре типа умозаключений.

II. Если есть А, есть и В

Первая и вторая формы получили впоследствии название условно-категорических силлогизмов. Первая форма — утверждающий модус (Ponens), вторая — отрицающий модус (Tollens). Импликация (условное суждение) называется большей посылкой. Элементарные высказывания — меньшей посылкой.

III. Может быть или А, или

IV. Может быть или А, или В

Третья и четвертая формы называются разделительно-категорическими силлогизмами. Дизъюнкция называется большой посылкой, а элементарное высказывание в посылках — меньшей посылкой. Третья форма — утверждающе-отрицающий модус (Ропепdo-tollens), четвертая — отрицающе-утверждающий модус (Tollendo ponens).

V. А и В не могут быть вместе

В нашей символике четыре типа умозаключений Хрисиппа (I-IV) выразятся следующим образом:

Для последней формулы (V) у нас нет знака. Мы ее не проходили. Такое отношение мы не изучали, но это не беда. Мы легко можем построить таблицу для посылки, используемой Хрисиппом. И если она обнаружится в составе нашей большой таблицы (Табл. 11), то это будет означать, что мы ее уже предусмотрели.

Что значит, что а и b не могут быть вместе? Это значит, что они не могут быть вместе истинными. Если хотя бы одно утверждение — а или b ложно, то истинно, что а и b не могут быть вместе.

В таблице это отобразится так:

Табл. 21

Наша связка новая, но она, естественно, не нова в логике. И в ней имеет свое название. Она называется штрих Шеффера и обозначается так: а/b.

Мы можем найти соответствующую связку в нашей большой таблице 11. Это колонка № 5. Нетрудно заметить, что штрих Шеффера будет эквивалентен отрицанию конъюнкции.

(а/b) ≡ ¬(a & b), т. е. левая и правая части нашего соотношения, будут принимать значение истинности и ложности одновременно. Используя штрих Шеффера, мы можем формализовать пятый тип выводов по Хрисиппу следующим образом:

Теперь приведем содержательные примеры на все формулы умозаключений, сформулированных Хрисиппом.

Это мы уже разобрали выше.

Если у Петрова повышена температура, то он болен. Петров

не болен. Значит, у него температура не повышена.

Или мы будем лениться, или будем трудиться. Но мы будем

трудиться. Значит, мы не будем лениться.

Или мы будем лениться, или мы будем трудиться. Но мы не

будем лениться. Значит, будем трудиться.

Гений и злодейство несовместимы. Моцарт — гений. Значит, он не злодей.

Теперь мы должны предостеречь против похожих на верные, но ошибочных умозаключений. Выше уже говорилось об ошибках, связанных с тем, что вы делали вывод не от утверждения антецедента к утверждению консеквента, как учил Хрисипп, а, наоборот, от утверждения консеквента к утверждению антецедента.

Это очень распространенная, весьма досадная ошибка. Если читатель научится не делать хотя бы одной только этой ошибки, можно будет считать, что его труд, затраченный на изучение логики, оправдан. Тем более, если он научится не делать и той ошибки, о которой сейчас пойдет речь.

Ошибка может заключаться в следующем. Вернемся к тому самому Петрову, который, непонятно, то ли болен, то ли нет.

Хрисипп говорит, что если у Петрова повышенная температура, то он болен. Петров не болен. Значит, у него температура не повышена. Здесь отрицается консеквент (в дальнейшем мы будем называть его также следствием), а в выводе отрицается истинность антецедента (мы будем называть его также основанием). Значит, вывод делается от отрицания следствия к отрицанию основания:

Однако, в практике повседневного мышления мы часто отрицаем антецедент и на этом основании отрицаем консеквент. В данном случае оказывается, что у Петрова нет повышенной температуры, значит, он здоров.

Правы ли мы?

Таблица истинности нам поможет обнаружить ошибку. Вот что получается:

Табл. 22

Схема, по которой получается , что Петров здоров, следующая:

Напомним все умозаключение: если у Петрова повышенная температура (обозначим это высказывание — а), то он болен (высказывание — b). У Петрова нет повышенной температуры (¬а), следовательно, он не болен (¬b). По таблице истинности ищем истинность (а ® b) и ¬а. Это будет 3-я строчка, в этой же строчке ¬b является ложным. Следовательно, наш вывод о том, что Петров не болен, — ложен. Читатель может возразить, что в 4-й строчке таблицы ¬b является истинным при одновременной истинности (а ® b) и ¬а. Однако, это уже несущественно. При истинности посылок заключение должно быть всегда истинным, а в 3-й строчке оно уже ложное. Вывод неверен. Быть может, будет более удобен следующий способ проверки правильности умозаключения. Если посылки истинны, то заключение всегда должно быть истинным. Это означает, что всегда должна быть истинна импликация: а, & а,... & ап ® b. Здесь в антецеденте — конъюнкция всех посылок, а в консеквенте — заключение. Включаем полученную импликацию в Таблицу истинности в качестве ее последней колонки. Если во всех клетках этой колонки для этой импликации получим истинность, это будет означать, что наша импликация является тавтологией, а соответствующее умозаключение — правильным.

Применительно к разбираемому умозаключению со схемой

, наша импликация будет иметь вид: [(а ® b) & ¬a] ® ¬b.

Антецедент [(а ® b) & ¬а], консеквент ¬b. Добавим к нашей таблице колонку [(а ® b) & ¬а] и колонку [(а ® b) & ¬а] ® ¬b, получим:

Табл. 23

Видим, что в 3-й строчке импликация оказывается ложной, вывод о том, что Петров здоров — неверен.

Проверим этим же способом, верен ли вывод: [(а ® b) & ¬b] ® ¬а. Снова построим таблицу:

Табл. 24

Видим, что во всех строчках последней колонки мы получили Истину. Вывод от отрицания консеквента к отрицанию антецедента верен.

Другое дело — неверный вывод от отрицания антецедента к отрицанию консеквента. Хорошо запомните: нельзя делать вывод от отрицания основания (антецедента) к отрицанию следствия (консеквента).

Какие ошибки могут быть связаны с использованием третьего типа умозаключений, приведенных Хрисиппом? Рассуждения Хрисиппа связаны с использованием исключающей дизъюнкции. Довольно часто в рассуждениях исключающая дизъюнкция подменяется неисключающей дизъюнкцией. И тогда возникает ошибка. Например, мы можем рассуждать так. Вам сообщили, что тот же Петров является доктором не то физико-математических, не то философских наук. И потом вы узнаете, что Петров — доктор физико-математических наук. Отсюда вы делаете вывод, что он не является доктором философских наук. Это неверно, ибо дизъюнкция здесь не является исключающей. Петров вполне может быть доктором физико-математических наук и доктором философских наук.

Построим таблицу, но предварительно схему Хрисиппа

выразим в виде импликации [(a w b) & а] ® ¬b.

Табл. 25

Заменим исключающую дизъюнкцию на соединительную (неисключающую), которая может быть в ошибочном выводе, и проверим по таблице:

Табл. 26

Видим, что в первой строчке получается ложь, поскольку из истинности основания не следует ложность следствия. Следовательно, рассуждение по III схеме Хрисиппа с заменой исключающей дизъюнкции на соединительную приводит к ошибке.

Рассмотрим четвертый тип вывода или рассуждения, предложенный Хрисиппом:

Хрисипп и здесь предлагает исключающую дизъюнкцию. В рассуждениях по этой схеме иногда заменяют исключающую дизъюнкцию на соединительную.

Рассмотрим тот же пример. Если Петров — доктор физико-математических наук или доктор философских наук, а мы обнаружили, что Петров не является доктором физмат наук, то будем иметь полное право считать Петрова доктором философских наук. Это можно проверить по таблице.

IV. Схема Хрисиппа или, в импликативной форме,

b [(a w b) & ¬а] ® b.

Табл. 27

В чем же здесь опасность? Опасность будет заключаться в том, что дизъюнкция может оказаться неполной. Ошибка будет лишь тогда, когда окажется возможным еще какой-то не перечисленный член дизъюнкции. Например, Петров может быть еще и доктором филологических наук. Однако, эта ошибка носит не логический, а фактический характер. Логик вправе предположить, что все члены дизъюнкции перечислены.

В некоторых случаях истинность посылки дизъюнктивного характера может быть установлена на основе чисто логических соображений. Это возможно в тех случаях, когда иные, не перечисленные члены дизъюнкции, логически невозможны. В соответствии с законом исключенного третьего любое высказывание или истинно или ложно. Таким образом, дизъюнкция: “это высказывание истинное или ложное” является полной.

Рассмотрим V тип выводов, отмеченных Хрисиппом

Ошибка здесь чаще всего имеет фактический характер, когда мы предлагаем несовместимость таких суждений, которые на самом деле являются вполне совместимыми. Иногда нам кажется,

что несовместимость двух суждений определена логикой, хотя на самом деле этого нет, и в этом случае мы делаем ошибку, имеющую логический характер.

Например, утверждение, что данное животное — рыба кажется несовместимым с тем, что оно довольно длительное время может жить без воды. Но это вопрос конкретной науки, а не логики. В Австралии обнаружены рыбы, которые могут в течение засушливого периода обходиться без воды.