Дифференциал

Дифференцируемость функции в точкеозначает, что ее приращение представимо в виде:

.

Величина при малыхмала по сравнению с величиной. Поэтомупредставляет собой главную часть приращения, называемуюдифференциалом функциив точке. Дифференциал функцииобозначают обычно символами:и др.

Если ‑ независимая переменная, тои поэтому.

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 ‑ 6 дифференцирования с заменой символа (штрих) на символ. Например:

;

.

Таким образом, приращение функции в точкепри малых значенияхприблизительно в пять раз больше, чем, а приращение функции в точкеприблизительно в 14 раз больше, чем.

Приближенные вычисления

Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различных приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции ее приближенным значением. Таким образом:

.

Пример 8.Вычислить .

Рассмотрим функцию . Заметим, что. Возьмем. Тогда по формуле (2):

.

Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке, т.е. существует, и всюду в некоторой окрестности этой точки, т.е.является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то_.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, то найдется точкадля которой.

Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая . Тогда.

Теорема Коши. Если функции иопределены и непрерывны на отрезке, дифференцируемы на интервалеи при этом, то найдется точка_, для которой .

Правила Лопиталя

Пусть и- функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точкиa, гдеa- конечное число или(если, то под окрестностью точкиaпонимаем какой-нибудь луч; если, то окрестность – луч). В самой точкеaфункции могут быть не определены. Пустьпри.

I правило.Если:

1. 

2. Существует конечный или бесконечный предел . Тогда:.

II правило.Если:

1. ;

2. Существует конечный или бесконечный предел Тогда:.

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или. Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов:. Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность видаили.

Примеры:

1..

2. .

3. .

4. .

Вычислим:

Поэтому, .

Производные высших порядков

Если функция , определенная в, имеет производную во всех точках, то эту производную можно рассматривать как новую функцию,.

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если , определенная в, имеет конечную производнуюв точке, то значение этой производной является второй производной функции.

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Контрольные вопросы к теме №5

1. Понятия приращения аргумента и приращения функции.

2. Производная функции, ее геометрический смысл.

3. Понятие дифференцируемости функции.

4. Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.

5. Понятие сложной и обратной функции.

6. Правила вычисления производных сложной и обратной функций.

7. Основные теоремы дифференцирования.

8. Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.

9. Производные высших порядков.

ТЕМА 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Лекция 17. Исследование функций

Основные понятия:

монотонность функции; экстремум функции; локальный экстремум функции; стационарные точки функции; глобальный экстремум функции; выпуклость функции; точка перегиба функции; интерполяция функции; узлы интерполирования; интерполяционный полином Лагранжа; аппроксимация функций; формула Тейлора; формула Маклорена; эмпирические формулы; невязка.

Основные понятия

Процесс управления требует от менеджера компактного представления разносторонних знаний из разных областей хозяйственной, управленческой, налоговой, коммерческой и других видов деятельности в виде разнообразных функциональных зависимостей.

В процессе такой деятельности перед менеджером возникают задачи тактического и стратегического планирования, оценки возможностей предприятия и конкурентов, оптимального распределения ресурсов, разумного реагирования на налоговую политику, выбора ценовой и инвестиционной политики и др.

Важную роль при этом играет исследование функций, используемых при построении математической модели рассматриваемой проблемы. Такое исследование проводится с учетом свойств конкретных функций и позволяет уточнить сформулированную математическую задачу, решая которую (с учетом выбранного метода решения), рассчитывают получить определенный результат, требующий в дальнейшем интерпретации в терминах исследуемой проблемы.

Все это связано с выявлением таких свойств функций, используемых в модели, как характер изменения (монотонность), наличие точек с особыми свойствами (стационарные точки, экстремумы), геометрические свойства (выпуклость графика функции) и другие.

Настоящий раздел посвящен исследованию функций методами дифференциального исчисления и использованию полученных навыков для решения задач.