Исследование функции и построение графика

График функции , заданной на множестве, т.е. множество точек плоскости с координатами, обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графика функции выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и ее производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которыхисохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента , при которыхимеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что,(обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины, например, для, а затем периодически продолжают.

Для четной функции: , или нечетной:. Исследование проводят на промежутке. Построенный график продолжают на все множество, используя симметричное отражение относительно осидля четной функции и относительно точки‑ для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Еслине ограничено, то вычисляют пределы функции прии. Если, то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту, если, график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту. Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты. Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

.

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции, т.е. стационарные точки и точки, в которыхне существует. Выделяют промежутки, на которыхсохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции.

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной. Выделяют промежутки, на которыхсохраняет знак, и, следовательно, график функциисохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной(т.е. точки, в которыхравны нулю или не существуют).

Исследуя стационарные точки функции , находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производнойв окрестности стационарной точки или значениев стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производнойв их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п. 1‑6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика.

Пример.Построить график функции .

I.Область определения.

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II.Поскольку, тоточка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямаяявляется двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как приипри, то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, чтопри, делаем вывод, что прямаяявляется двусторонней наклонной асимптотой.

III..

Из уравнения y'(x)=0 находим стационарные точки:,.

IV.. Точкаявляется стационарной точкой для производной, так как.

V.Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

x	(-, -2)	-2	(-2, 0)	0	(0, 1)	1	(1,+)
y'(x)	+	0	-		+	0	+
y''(x)	-	-	-		-	0	+
	возрастает	лок. макс.	убывает	бесконечный скачок	возрастает
y(x)	выпукла вверх				выпукла вверх	перегиб	выпукла вниз

VI.На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума, перегиба, асимптотыи. Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.