Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема:Для того, чтобы ограниченная на сегменте функциябыла интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое разбиениесегмента, для которого_.

Определение:Число называется колебанием функциина сегменте.

Так как , то. Далее запишемв следующей форме:

.

Теорема:Для того, чтобы ограниченная на сегменте функциябыла интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любогонашлось такое разбиениесегмента, для которого.

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия, или, где.

Равномерно непрерывные функции

Определение:Функция называетсяравномерно непрерывной на множестве , если для любого числаможно указать такое, что для любых двух точекимножества, удовлетворяющих уравнению, выполняется неравенство.

Теорема(теорема Кантора о равномерной непрерывности):Функция , определенная и непрерывная на сегментеравномерно непрерывна на этом сегменте.

Следствие:Пусть функция непрерывна на сегменте. Тогда для любого числаможно указать такое, что на каждом принадлежащем сегментучастичном сегменте, длинакоторого меньше, колебаниефункциименьше.

Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций

Теорема:Непрерывная на сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.

Теорема:Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого числаможно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую длину меньше, тоинтегрируема на сегменте.

Следствие:Ограниченная на сегменте функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно-непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема:Монотонная на сегменте функцияинтегрируема на этом сегменте.

Основные свойства определенного интеграла

1. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):

.

2. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

3. Пусть функции иинтегрируемы на сегменте, тогда функции,итакже интегрируемы на этом сегменте, причем:

.

4. Если функция интегрируема на сегменте, то функция(=const) интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Если функция интегрируема на сегменте, то эта функция интегрируема на любом сегменте, содержащемся в сегменте.

6. Пусть функция интегрируема на сегментахи. Тогда эта функция интегрируема на сегменте, причем:

.

Оценки интегралов. Формулы среднего значения

1. Пусть интегрируемая на сегменте функциянеотрицательна на этом сегменте. Тогда:

.

2. Если функция интегрируемая на сегментеи, то:

.

3. Если функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте, то:

.

Если функции иинтегрируемы на сегментеивсюду на этом сегменте, то:

.

4. Если функция _,интегрируемая на сегменте, то и функциятакже интегрируема на этом сегменте, причем:

.

5. Пусть функции иинтегрируемы на сегментеи. Тогда, еслии- точные гранина сегменте, то:

.

6. Пусть функция интегрируема на сегменте, и пустьи- точные гранина сегменте. Тогда найдется такое число, удовлетворяющее неравенствам, что.