- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Ряды Фурье четных и нечетных функций
Рассмотрим симметричный интеграл:
где – функция, непрерывная или кусочно–непрерывная на отрезке.
Делая в первом интеграле подстановку ,и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получим:
Пусть функция – четная, т.е.. Тогда:
.
Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.
Пусть функция – нечетная, т.е.. Тогда:.
Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.
Теорема.
Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только четные гармоники, включая свободный член;
Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только нечетные гармоники.
Доказательство:
Пусть функция – четная и периодическая с периодом, аи– ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что– нечетные функции, имеем.
Поэтому , где:
.
Пусть функция – нечетная и периодическая с периодом, аи– ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что– четные функции, имеем.
Поэтому , где:
.
Теорема доказана.
Понятие о рядах Фурье непериодических функций
Кусочно-дифференцируемую непериодическую функцию , заданную на бесконечной оси, нельзя представить ее рядом Фурье, так как его сумма, будучи суммой гармоник с общим периодом, есть функция периодическая с тем же периодом и, следовательно, не может быть равен функциидля всех. Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.
Пусть интересующий промежуток есть , т.е. симметричен относительно начала координат (этого всегда можно добиться параллельным сдвигом оси).
Построим функцию периодатакую, чтопри.
Предполагая, что функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, имеем:
, где коэффициенты иопределяются по формулам:
.
Отсюда на основании тождества получим:
, где:
.
Теперь необходимо подсчитать сумму ряда на концевых точках .
Согласно общей формуле:
на основании тождества между и, а такжепериодичности функцииочевидно, что,
Таким образом, получается, что:
Из периодичности функцииследует, что.
Пусть теперь необходимо непериодическую функцию представить в виде ряда Фурье периодана полупериоде.
Полагая ,
где – произвольная кусочно–дифференцируемая функция, получаем бесконечное множество рядов Фурье:
, (),
дающих представление функции на интервале.
В частности, полагая, что (), т.е. что функция– четная, получим:
, (),
где .
Аналогично, полагая, что (), т.е. что функция– нечетная, получим:
,
где .
Таким образом, кусочно–дифференцируемую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить в виде суммы четных гармоник или в виде суммы нечетных гармоник.
Контрольные вопросы к теме №11
Понятия числового ряда и его сходимости.
Признаки сходимости ряда. Геометрический и гармонический ряды.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, их сходимость и абсолютная сходимость.
Область сходимости функционального ряда. Понятие равномерной сходимости ряда.
Радиус сходимости степенного ряда, основные методы его определения.
Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.
Понятие кусочно-дифференцируемой функции.
Понятие ортогональности функций.
Ряд Фурье. Понятие гармонического анализа.