- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Тема 8. Неопределенные интегралы 100
Лекция 19. Неопределенные интегралы 100
Понятие неопределенного интеграла 100
Свойства неопределенного интеграла 101
Замена переменных 103
Интегрирование по частям 104
Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации 107
Вычисление 110
Вычисление 111
Вычисление 112
Вычисление 112
Контрольные вопросы к теме №8 113
Тема 9. Определенные интегралы 114
Лекция 20. Определенные интегралы 114
Интегральные суммы 114
Необходимое и достаточное условие интегрируемости 118
Равномерно непрерывные функции 119
Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций 119
Основные свойства определенного интеграла 120
Оценки интегралов. Формулы среднего значения 120
Основные правила интегрирования 122
Приложения определенного интеграла 123
Площадь плоской фигуры 123
Объемы тел вращения 125
Несобственные интегралы 126
Интегрирование неограниченных функций 126
Интегрирование по бесконечному промежутку 127
Приближенное вычисление определенных интегралов 129
Формула прямоугольников 129
Формула трапеций 130
Контрольные вопросы к теме №9 131
Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
Лекция 21. Понятие кратного интеграла 132
Интегрирование функций многих переменных 132
Свойства кратного интеграла 137
Контрольные вопросы к теме №10 139
Тема 11. Ряды 140
Лекция 22. Ряды 140
Основные понятия 140
Положительные ряды 143
Знакочередующиеся ряды 148
Абсолютная сходимость 149
Функциональные ряды 150
Степенной ряд 152
Ряды Фурье 156
Ряды Фурье четных и нечетных функций 164
Понятие о рядах Фурье непериодических функций 166
Контрольные вопросы к теме №11 170
Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
Лекция 23. Дифференциальные уравнения 171
Основные понятия 171
Дифференциальные уравнения первого порядка 175
Дифференциальные уравнения семейства кривых 175
Геометрическое истолкование дифференциального уравнения 176
Задача Коши 177
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 182
Однородные дифференциальные уравнения 184
Линейные дифференциальные уравнения 186
Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений 188
Дифференциальные уравнения второго порядка 190
Задача Коши 191
Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка 191
Случаи понижения порядка 193
Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка 193
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 195
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 198
Линейные дифференциальные уравнения -го порядка 201
Контрольные вопросы к теме №12 203
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ 204
ЛИТЕРАТУРА 207
Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
Основные понятия:
функциональная зависимость; функция; область определенияфункции; множеством значений функции; независимая переменная; зависимая переменная; график функции; четная и нечетная функции; нуль функции; период функции; монотонная функция; асимптотаграфикафункции; обратная функция; точка сгущения; предел функции; замкнутое множество; открытое множество; односторонние пределы; пределы на бесконечности; непрерывность функции; односторонняя непрерывность функции; сложная функция; точки разрыва.