Контрольные вопросы к теме №7

1. Понятия точки и расстояния.

2. Внешняя точка, внутренняя точка и граничная точка. Понятия открытой области и замкнутого множества.

3. Ограниченность и сходимость последовательности точек.

4. Понятия непрерывности и дифференцируемости функций многих переменных.

5. Частные приращения и частные производные.

6. Полный дифференциал функции. Формула Тейлора.

7. Локальный экстремум, условный экстремум. Понятия стационарных и критических точек.

8. Метод наименьших квадратов.

ТЕМА 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Лекция 19. Неопределенные интегралы

Основные понятия:

интегрирование; первообразная; неопределенный интеграл; метод замены переменных; метод интегрирования по частям; метод рационализации.

Понятие неопределенного интеграла

Интегрирование–операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию , для которой заданная функцияявляется ее производной:

.

Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование – это операция отыскания первообразной.

Функция называется первообразной для функции, на промежутке, если для каждой точки этого промежутка.

Теорема.Если и– любые две первообразные для данной функциина промежутке, то для всехвыполняется равенство.

Доказательство:

Таким образом, все семейство первообразных для данной функции имеет вид, гдеодна из первообразных, апроизвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции на промежуткеназывается неопределенным интегралом функции.

Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:

,

где знак интеграла;

подынтегральная функция;

подынтегральное выражение.

В определении неопределенного интеграла не исключается возможность того, что подынтегральная функция является сложной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, поскольку дифференцировать следует лишь по переменной, стоящей под знаком дифференциала.

Можно показать, что достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является ее непрерывность, в то время как для ее дифференцируемости непрерывность является лишь необходимым условием, но не достаточным.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

2. 

Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.

3. Если и– интегрируемые функции, т.е. на промежуткеони имеют первообразные, то сумма функцийтакже интегрируема и.

4. Если – интегрируемая функция, апостоянная величина, то– также интегрируемая функция и.

Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:

,

где постоянные;

интегрируемые функции.

5. Если , а такжедифференцируемая функция, то.

Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	;

Чтобы найти неопределенный интеграл от какой-либо функции, достаточно свести его к одному или нескольким табличным интегралам из вышеприведенной таблицы.