Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации

Из курса линейной алгебры известно, что рациональной дробью называется выражение вида , гдеи– многочлены степении, соответственно. Рациональная дробь называется правильной при. В противном случае, когда, рациональная дробь называется неправильной. Деление числителя на знаменатель позволяет от неправильной дроби перейти к правильной.

При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. Почленное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида:и.

Интегралы вида вычисляются следующим образом:

• ;

• ;

Для вычисления интегралов вида применяются метод замены переменных и метод интегрирования по частям:

• 

;

• 

Обозначим через, тогда. Введем новую переменную, тогда,.

; .

.

Если ввести обозначение , то полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, происходит понижение порядка вычисляемого интеграла, и вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла.

Зная с точностью до константы интеграл можно вычислить:

.

Используя полученный результат, можно вычислить :

Таким образом, можно вычислить интеграл для любого натурального.

Вычисление

Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, применив замену переменной интегрирования, преобразующую подынтегральную функцию в рациональную.

Если рациональная функция своих аргументов, ацелые положительные числа, то интеграл:

приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , гденаибольшее общее кратное показателей корней.

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа:

.

В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае,наибольшее общее кратное показателей корней.

Вычисление

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

• Если , то;

• Если , то;

• Если ,

то .

Здесь - новая переменная.

Интеграл находится подстановкой_.

Интеграл находится подстановкой_.

Интеграл находится подстановкой_.

Пример:Вычислить.

Применим подстановку Эйлера . Возводя это равенство почленно в квадрат, получим. Дифференцируя обе части полученного выражения, получим. Отсюда, или. Таким образом,. Поскольку, то. Следовательно,.

Вычисление

Интеграл , где- рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки. При этом:

.

При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку.

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению_.

Если _, можно использовать подстановку.

Если , то можно использовать подстановку.

Вычисление

Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл , гдерациональные числа,ипостоянные, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

• когда целое число, – разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона;

• когда целое число, – подстановкой, гдезнаменатель дроби;

• когда целое число, – подстановкой.

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся:

.

В различных справочниках приводятся таблицы, в которых содержится большое количество неопределенных интегралов, как выражающихся, так и не выражающихся через элементарные функции.