- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Знакочередующиеся ряды
Ряд вида:
(6) |
называют знакочередующимся.
Признак Лейбница.Если последовательность стремится к нулю монотонно, то ряд (6) сходится.
Пример.Рассмотрим ряд . Для него , причем, , т.е. последовательность монотонно убывает и. Поэтому ряд сходится.
Для исследования монотонности последовательности удобно ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функциютакую, что, и исследовать функциюна монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.
Пример.Для ряда последовательностьпри.Для исследования монотонности последовательностирассмотрим вспомогательную функцию. Заметим, что. Поскольку. Дляфункцияубывает. Значит,, т.е.. Следовательно, последовательностьубывает и. По признаку Лейбница ряд сходится.
Абсолютная сходимость
Рассмотрим произвольный числовой ряд:
(7) |
(никаких предположений о знаках членов не делаем). Ряд (7) называютабсолютно сходящимся, если сходится ряд
. |
(8) |
Пример.Ряд не является абсолютно сходящимся (хотя и сходится), так как рядрасходится.
Пример.Ряд сходится абсолютно, т.к. рядсходится.
Теорема.Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (в обычном смысле).
Это означает, что если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7). Поскольку ряд ‑ положительный, то для его исследования можно использовать любой признак сходимости положительных рядов.
Функциональные ряды
В каждой точке определения функций если принять, тофункциональный ряд:
преобразуется в числовой ряд:
, который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.
Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называетсяобластью сходимостиэтого ряда.
Суммой ряданазывается функция, определенная в каждой точке области сходимости ряда.
По определению предела означает, что.
В общем случае зависит как от, так и от. Интерес представляют ряды, для которыхзависит только от.
Последовательность функций сходится равномернокна множестве, если.
Ряд сходится равномерно на множествеXк сумме, если последовательность его частичных суммсходится равномерно на множествек функции.
Теорема.Для того чтобы ряд сходился равномерно на множествеX, необходимо и достаточно, чтобы .
Для установления на практике равномерной сходимости рядов пользуются достаточными признаками.
Признак равномерной сходимости, основанный на сравнении функционального ряда со сходящимся числовым.
Теорема. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам, где, ачисла, не зависящие от, и, если рядсходится, то рядсходится равномерно на множествеX.
Достаточные условия непрерывности суммы ряда.
Теорема. Если функции определены и непрерывны на множествеX и ряд сходится равномерно к суммеS(x) , то эта сумма будет непрерывна на множествеX.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема. Если функции определены и непрерывны на отрезкеи рядсходится равномерно нак сумме, то его можно почленно интегрировать на этом отрезке
.
Теорема. Если функции определены на отрезкеи существуют непрерывные производныена интервале, а рядсходится наи равномерно сходится ряд, то суммарядаимеет на интерваленепрерывную производную, причем,.
Таким образом, ряд можно почленно дифференцировать.