- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Монотонность функции
Функция называетсявозрастающейна промежутке, еслидля любых точекииз промежутка, удовлетворяющих неравенству. Функция называетсяубывающейна, если из условияследует.
Теорема.Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, то для того, чтобыбыла возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобыв каждой внутренней точке интервала.
Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда.
Пример.Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Вычислим: :.
Точки делят числовую прямуюна три интервала:.
Производная положительна на интервалах. Следовательно, функциявозрастает на каждом из этих интервалов. На интервалепроизводнаянеположительна, значит,убывает на этом интервале.
Локальный экстремум
Точка называется точкойлокального максимумафункции, если существует интервал, содержащий точкутакой что.
Точка называется точкойлокального минимумафункции, если существует интервал, содержащий точкутакой что.
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.
Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение:.
Решения этого уравнения называют стационарными точками.
Исследование стационарных точек
I правило.Если при возрастаниипри переходе через стационарную точкупроизводнаяменяет знак с+на‑, то‑ точка локального максимума. Еслименяет знак с‑на+, то‑ точка локального минимума функции. Еслине меняет знак в точке, то экстремума нет.
II правило.Если вторая производнаяв стационарной точкеположительная, то‑ точка локального минимума функции. Если вторая производнаяв стационарной точкеотрицательная, то‑ точка локального максимума функции.
Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по Iправилу. Экстремум в такой точке называетсяострым экстремумом.
Пример.Найти экстремум функции .
.
Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точкепроизводная обращается в бесконечность.
Поскольку приипри, то функция имеет в точкелокальный минимум. Это будет острый минимум.
При переходе через стационарную точку производная меняет знак с‑на+, значит, функция имеет локальный максимум.
Глобальный экстремум
Непрерывная на отрезке функцияпринимает свое наибольшее значениеи свое наименьшее значениев точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значенийипоступают следующим образом.
Находят стационарные точки функции;
Находят точки , в которых производнаяне существует или обращается в бесконечность;
Вычисляют значения:
‑и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.
Это и будут и‑ глобальные экстремальные значения.
Пример.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
;
.
Вычисляем . Получаем числа. Следовательно,,.
Выпуклость и перегибы графика функции
Графиком функции, заданной на множестве, называют множество точек плоскости с координатами. График называютвыпуклым внизна промежутке, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называютвыпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называетсяточкой перегиба.
Если на промежутке вторая производнаяположительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Еслина промежутке, то график является выпуклым вверх на промежутке.
Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда, либоне существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точкене означает еще, что в точкебудет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.
I правило.Еслиравна нулю или не существует ипри переводе через точкуменяет знак, то‑ точка перегиба графика функции.
II правило.Еслии, тоявляется точкой перегиба графика функции.
Пример.Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .
Вычислим вторую производную .
;
.
Точки иразбивают числовую прямую на три промежутка:. На промежутках вторая производная положительна, на промежутке‑ отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз наи выпуклым вверх на.
В точках вторая производная равна нулю. Вычислим:. Посколькуи, то в точке,и в точкеграфик функции имеет перегиб.