Свойствакратного интеграла

1. Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в, относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве,.

2. Если две функции иинтегрируемы в, то сумма этих функций также интегрируема ви.

3. Если функция интегрируема в, а– постоянная величина, то функциятакже интегрируема ви.

4. Пусть область является объединением областейи, а пересечение этих областей есть множество, размерность которого меньше. Если функцияинтегрируема в, то она интегрируема вии при этом.

5. Если функция определена и интегрируема в, и при этом(за исключением, быть может, некоторой частис размерностью меньше), то.

6. Если две функции иопределены и интегрируемы в, причем, то.

7. Если функция определена и интегрируема в, тотакже интегрируема в, причем.

8. Если функция является постоянной, то.

9. Если функция определена и интегрируема ви ограничена снизу и сверху значениямии, соответственно (,,), то.

Контрольные вопросы к теме №10

1. Понятие двумерных интегральных сумм и их сходимость.

2. Повторное интегрирование и методы вычисления двойных и кратных интегралов.

Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды

Основные понятия:

числовой ряд; элементы ряда; частная сумма ряда; сходимость ряда; расходящиеся ряды; геометрический ряд; гармонический ряд; остаток ряда; признак Даламбера; интегральный признак; признак Коши; степенной признак; знакопеременный ряд; знакочередующийся ряд; признак Лейбница; абсолютная сходимость ряда; функциональный ряд; область сходимости; равномерная сходимость ряда; степенной ряд; множество сходимости; радиус сходимости; Ряд Тейлора; кусочно-дифференцируемая функция; ортогональные функции; гармонический анализ; коэффициенты Фурье; ряд Фурье.

Основные понятия

Пусть ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность, построенную следующим образом:

;

;

;

;

Последовательность удобно записывать в виде. Такую последовательность называютчисловым рядом. Числаназываютчленамиилиэлементамиряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданногоможно вычислить-й член ряда.

Пример.Ряд имеет-й член.

Поэтому

т.е. .

Рассмотрим ряд:

(1)

Сумму называют -й частной суммой ряда(1). Если последовательностьчастных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называютсходящимся, а числоназывают суммой ряда. Если же последовательностьне имеет конечного предела, то ряд (1) называютрасходящимся.

Пример.Рассмотрим ряд .Для него, что представляет собой сумму первыхчленов геометрической прогрессии.

• Если , тои.

• Если , тои.

• Если , тои.

• Если ,

то

и не существует.

Таким образом, ряд присходится и расходится при. Этот ряд называетсягеометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и ‑ его сумма. Поскольку,

,

(2)

то при получаем.

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то:

.

(3)

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример.Ряд расходится, т.к.и.

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармоническогоряда. Для этого рядапри, т.е. условие (3) выполнено. В то же время:

,

.

Поэтому .

Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е.при. Поскольку, то приполучаем‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемыйостатком ряда(1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.