Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , гдеи– некоторые действительные числа, называетсялинейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде , где– постоянное число, которое необходимо определить. Дифференцируя, получаеми. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

.

Множитель отличен от нуля, поэтому можно разделить на него обе части уравнения и получить эквивалентное уравнение, из которого можно определить значения параметра. Уравнениеназывается характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Для построения характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные,и функциюзаменить на соответствующие степени параметра, рассматривая при этом функциюкак производную нулевого порядка.

Теорема. Если и‑ частные решения уравнения, тоесть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений иследует предварительно решитьхарактеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения равны .

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

1., тогда характеристическое уравнение имеет два различных корняи. Приэти функции являются линейно-независимыми. Действительно, если допустить обратное, то должно выполняться соотношение, где хотя бы один из коэффициентовилиотличен от нуля. Следовательно, можно получить тождество, что противоречит здравому смыслу, поскольку левая часть равенства изменяется с изменением, в то время как правая часть постоянна. Таким образом, общее решение для этого случая имеет вид.

2., тогда характеристическое уравнение имеет единственный кратный корень. Поэтому частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид. Всякое другое частное решениелинейно независимое сбудет иметь вид, где– некоторая функция от, не являющаяся тождественно постоянной. В результате дифференцированияполучаем:

Подставляя ,ив исходное уравнениепосле сокращения на общий множитель, получимили. Поскольку, по условию, получаем. Отсюдаи, гдеи– произвольные постоянные. Следовательно,. Поскольку,является частным решением и постоянныеиявляются произвольными, можно принятьи, при этом.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:.

3., тогда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни. В этом случае частные решения дифференциального уравнения будут иметь види, а общее –.

Корни характеристического уравнения	Частные решения	Общее решение
Действительные
Действительные
Комплексно-сопряженные

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительныеи, поэтому‑ частные решения этого уравнения, тогда‑ общее решение данного уравнения.

Пример.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:.

Корни характеристического уравнения ‑ действительные и равные:, поэтому частные решения ‑. Тогда общее решение уравнения:.

Для определения частного решения в равенства иподставим начальные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное .

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:. В этом случае. Общее решение будет:.