Контрольные вопросы к теме №6

1. Критерии монотонности функции.

2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.

3. Понятие стационарных точек функции.

4. Области выпуклости графика функции и точки перегиба.

5. План исследования функции и построение ее графика.

6. Интерполяция и аппроксимация функций.

7. Интерполяционный полином Лагранжа.

8. Формула Тейлора и формула Маклорена.

9. Понятие эмпирических функций.

Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство

Основные понятия:

точка; расстояние; сфера; точка сгущения; внутренняя точка; внешняя точка; граничная точка; изолированная точка; открытая область; замкнутое множество; совершенное множество; сходимость последовательности точек; ограниченная последовательность точек; функция нескольких переменных; непрерывность функции; дифференцируемость функции; частные приращения; частные производные; композиция функций; полный дифференциал функции; формула Тейлора; локальный экстремум; стационарные точки; критические точки; условный экстремум; метод наименьших квадратов.

Точки, расстояние. Множества в

Последовательное –кратное выполнение операции декартова произведения множества действительных чиселна само себя формирует множествоэлементов, представляющих собой упорядоченные наборычисел. Такие наборы называютточками. Множество всех таких точек образует-мерное арифметическое пространство. Приполучаем арифметическое пространствоили плоскость. При‑ арифметическое пространствоили обычное 3-х мерное пространство.

Точки можно складывать и умножать на число.

Так, если а, то:

,

.

Расстоянием между точками ипринято называть число.

При и‑ это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.

Расстояние обладает следующими свойствами:

• ;

• ;

• _.

С помощью понятия расстояния можно определить понятие сферы радиусас центром в точке, как множество точек, каждая из которых находится на расстоянииот точки.

Шаром с радиусом и центром в точкеназывается множество точекудаленных от точкина расстояние не превосходящее:

Множество называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. Нетрудно показать, что ограниченность множестваозначает, что существует такое число, что величины координат любой точкиизпо абсолютной величине не превосходит.

Пусть число сколь угодно мало, тогда множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству, называются окрестностью точки, т.е. для всех точекизокрестности точкирасстояние.

Далее, используя понятие окрестности, можно ввести классификацию точек области.

Точка называетсяпредельнойилиточкой сгущенияобласти, если в любойокрестности точкинайдутся точки множества, отличные от точки.

Точка называетсявнутреннейточкой множества, если она входит ввместе с некоторой окрестностью. Любая внутренняя точка является предельной точкой множества, однако обратное утверждение не верно. Например, множество рациональных чиселсоставлено только из предельных точек, но ни одна из них не является внутренней точкой.

Точка называетсявнешнейточкой множества, если вне входит ни сама точкани точки ееокрестности.

Точка называетсяграничнойточкой множества, если любая ееокрестность содержит как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Точка называетсяизолированнойточкой множества, если она принадлежит, но имеет некоторую окрестность, в которой отсутствуют точки этого множества, отличные от. Изолированными точками являются, например, целые числа.

Множество, составленное из одних внутренних точек, называется открытой областью. Множество, которое содержит все свои предельные точки, называетсязамкнутым. Множество, которое не содержит изолированных точек, называетсясовершенным.

Выполнение простейших операций над множествами, таких как объединение и пересечение, позволяет сформулировать следующие общие свойства множеств:

1. Любое объединение бесконечного числа открытых множеств является открытым множеством;

2. Любое пересечение бесконечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством;

3. Всякое конечное объединение замкнутых множеств является замкнутым множеством;

4. Всякое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством.

Примечания:

1. Бесконечное объединение замкнутых множеств может оказаться незамкнутым множеством;

2. Бесконечное пересечение открытых множеств может оказаться неоткрытым множеством.