- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
Основные понятия:
дифференциальное уравнение; общий интеграл; порядок дифференциального уравнения; семейство кривых; однородные дифференциальные уравнения; линейное дифференциальное уравнение; метод Эйлера; характеристическое уравнение; определитель Вронского.
Основные понятия
Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.
Пример. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональностии, соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.
Пусть – число жителей региона в момент времени. Прирост населенияза промежуток времениравен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е.. Обозначим. Полученное уравнение можно записать в виде. Если перейти к пределу при, получается уравнение. Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса, где– постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).
Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, связывающих между собой независимую переменную , искомую функциюи ее производные различных порядков по. Такие уравнения называютдифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального уравнения го порядка следующий:
, |
(1) |
где – некоторая функцияпеременных при, причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить,и отдельные производные порядков ниже чем. Дифференциальное уравнениего порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
, |
(2) |
где – некоторая функцияпеременной.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции и ее производныхи не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:
, |
(3) |
Всякая функция , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называетсярешением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение – значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением.
Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции , производная которой равна данной непрерывной функции– сводится к простейшему дифференциальному уравнению.
Общее решение этого уравнения есть функция , гдепроизвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции, можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.
Пример.Рассмотрим уравнение второго порядка .
Так как , то отсюда следует. Интегрируя последнее равенство, получим.
Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные и, т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.
Определение.Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое содержит столько независимых постоянных, каков порядок этого уравнения.
Предполагается, что функция в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции, не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.
Если общее решение задано в неявном виде , то оно обычно называетсяобщим интегралом.
Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.
Пример.Рассмотрим уравнение второго порядка .
Решениями этого уравнения будут функции и, т.к.и. Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция, гдеи– произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить, а, то полученная функцияявляется частным решением данного дифференциального уравнения.
Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.
Пример. Показать, что функция есть решение уравнения.
В самом деле, и.
Следовательно:
что и требовалось показать.