Формула Тейлора

Используя формулы частных производных высших порядков, а также выражения для полных дифференциалов высшего порядка, можно построить многочлены Тейлора для функции многих переменных, обладающей непрерывными частными производными до –го порядка включительно в некоторой окрестности радиусас центром в точке. Этот многочлен аналогичен многочлену Тейлора для функции одной переменной, записанному в дифференциальной форме:

,

где ,,,,.

Тогда многочлен Тейлора для функции переменных можно записать в виде:

,

где используются полные дифференциалы соответствующих порядков с частными производными, значения которых определены для точки .

Если функция удовлетворяет условиям непрерывной дифференцируемости до–го порядка, то ее абсолютное и относительное приращенияи, соответственно, могут быть представлены следующими формулами:

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек

Пусть функция определена и непрерывна в области.Локальным максимумомэтой функции называется внутренняя точка_,у которой существует такая ненулевая– окрестностьдля каждой точки_,из которой выполняется условие:.

Если каждой точки из ненулевой– окрестности точкивыполняется условие, то точканазываетсялокальнымминимумомфункции.

Точки локального минимума или максимума называются точками локального экстремума. Для этих точек характерно знакопостоянство величины абсолютного приращенияв пределах ненулевой– окрестности. Для определения необходимого и достаточного признаков экстремальности функции предположим, что функция в областине имеет точек разрыва и обладает дифференцируемостью до второго порядка. Как было указано выше, разложение абсолютного приращенияимеет вид:

Главный член разложения полного приращения является знакопеременным, так как линейно зависит от приращений . Поэтому в точкеу функциине может наблюдаться экстремума, если вектор–градиент этой функции точкебудет отличен от нулевого вектора, т.е. хотя бы одна из частных производных не будет равна нулю. Таким образом, необходимым условием существования локального экстремума функцииявляется условиеили

.

Точки, в которых первые частные производные функции равны нулю или не существуют, называютсякритическими для данной функции. Критические точки, в которых первые частные производные функциисуществуют, называютсястационарными. Функция многих переменных может достигать своего локального экстремума только в своей критической точке.

При обосновании достаточного условия существования экстремума введем дополнительное требование к функции : эта функция должна иметь непрерывные производные второго порядка в ненулевой– окрестности точки. Тогда условием наличия локального экстремума в критической точкеили условием знакопостоянства абсолютного приращенияв этой точке будет требование знакопостоянства второго слагаемого в разложении, т.е.. Влияние третьего и последующих членов разложения в этом случае будет пренебрежимо малым. Если формулу для вычислениясгруппировать и представить в виде квадратичной формы:

,

то требование знакопостоянства сводится к требованию знакоопределенности матрицы квадратичной формыв критической точке. В этом случае, если матрица квадратичной формы является положительно определенной, то в точкефункция имеет локальный минимум, а если матрицаотрицательно определена – то локальный максимум.

Условие знакопостоянства полного относительного приращения выполняется в точкахлокальной выпуклости, определение которых можно дать по аналогии с функциями одной переменной.

Точка называется точкой локальной выпуклости функции, непрерывной и дифференцируемой в области, если она является внутренней точкой этой области и в некоторой ненулевой–окрестности точкивыполняется условие:полное относительное приращениезнакопостоянно.

Если , точканазывается точкойвыпуклости вниз.

Если , точканазывается точкойвыпуклости вверх.

Если условие локальной выпуклости вверх или вниз выполняется во всех точках области , то функция называется однообразно выпуклой на области.

Достаточным условием существования локальной выпуклости функции нескольких переменных в точкеявляется знакопостоянство полного дифференциала второго порядка этой функции. Это несложно показать, воспользовавшись формулой разложения:

и проведя рассуждения аналогичные доказательству достаточного условия существования локального экстремума. Таким образом, знакопостоянство полного относительного приращения функции в некоторой ненулевой–окрестности точкиопределяется знакопостоянством полного второго дифференциала функциив точке.

Если , то функция имеет в точкелокальную выпуклость вниз. Если, то функция имеет в точкелокальную выпуклость вверх. Достаточное условие существования локального экстремума в критической точкекроме необходимого признакавключает в свой состав требование наличия локальной выпуклости в этой точке.