- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Непрерывность функции в
Рассмотрим функцию , определенную в области. Предположим, что лишь одна переменнаяполучила приращение, а остальные переменные остались неизменными. Тогда разность:
называется частным приращением функции по переменной.
Функция называетсянепрерывной по переменной, если функция определена как в точке, так и в точке, и эти точки являются точками сгущения этой функции. При этом должно выполняться условие, т.е. бесконечно малым приращениям переменнойдолжны соответствовать бесконечно малые частные приращения функции.
Если приращение получают все переменные, то соответствующее приращение функции:
называется полным приращением функции (или просто приращением функции).
Естественно, что во всех точках, соответствующих как частным приращениям, так и полному приращению функции, сама функция должна быть определена.
Также следует отметить, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений:
.
Функция многих переменных, определенная в , называется непрерывной в точке сгущения, если:
;
;
.
Из данного определения следует, что:
функция должна быть определена в точке и эта точка должна быть предельной в области существования функции;
приращение для любой непрерывной функции является величиной бесконечно малой:причем это условие должно выполняться и для всех частных приращений функции.
Таким образом, для выполнения требования непрерывности функции нескольких переменных в точке необходимо, чтобы функция была непрерывна как в самой точке, так и в некоторой окрестности этой точки, причем при достаточно малых по абсолютной величине приращениях переменных .
Непрерывность на множестве
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.
Непрерывные функции многих переменных обладают следующими свойствами:
Композиции функцийивида:
;
;
;
при являются непрерывными в точке, еслиинепрерывными в точке.
По аналогии с понятием сложной функции одной переменной для функций нескольких переменных можно ввести понятие суперпозиции функций.
Если функция определена в области, а семейство функцийопределено ви области изменения функций этого семействасодержатся во множестве, то взадана сложная зависимость. Если функцияопределена в областии непрерывна в, а функции определены ви непрерывны в, то при условии, что, функция является непрерывной в точке, то есть.
Теоремы о непрерывности
Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса о непрерывности могут быть сформулированы и для функций многих переменных, однако в этом случае они имеют свою специфику, обусловленную более сложной природой множеств, на которых заданы функции, а также природой самих функциональных объектов.
Предварительно желательно ввести следующие геометрические истолкования функциональных объектов в :
определенная на области может рассматриваться как гиперповерхность вмерном пространстве переменных;
гиперкривая, которая задается как суперпозиция функции и параметрических зависимостей.
Если области изменения функций семейства содержатся во множестве, то график гиперкривой целиком располагается на гиперповерхности.
Первая теорема Больцано-Коши.Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой и связной области. Если в двух точках областиивыполняется условие, то на гиперкривой, соединяющейисуществует точкатакая, что.
Вторая теорема Больцано-Коши.Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой и связной области . Если в двух точках областиивыполняется условие, то, удовлетворяющего условию, существует точка такая, что. Т.е. на каждом отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.
Теоремы Больцано-Коши требуют соблюдения условий связности области . При этом сама область может быть неограниченной, в то время как теоремы Вейерштрасса требуют, чтобы область была ограниченной, но не требуют обязательности выполнения условия связности.
Первая теорема Вейерштрасса.Если функция определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области, то она ограничена в этой области.
Вторая теорема Вейерштрасса.Если функция определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области, то она имеет минимум и максимум в этой области.
Таким образом, математический инструментарий, отработанный на элементарном и наглядном объекте – функциях одной переменной, легко переносится на объекты более сложной природы – функции многих переменных.