Последовательности в. Сходимость

Аналогично последовательности чисел, можно определить последовательность точек . Рассмотрим последовательность точек пространства:

Говорят, что эта последовательность сходится к точке , если величина расстояния между точкамииесть величина бесконечно малая и с ростомстремится к нулю:

Можно дать и другое определение сходящейся последовательности.

Пусть:– последовательность точек в. Эта последовательность сходится к точке, если последовательностьсходится к, т.е.; последовательностьсходится к, т.е.и т.д.

Так же, как и в случае числовой последовательности, любая окрестность точки сгущения последовательности точеквсодержит бесконечное число элементов последовательности.

Понятие последовательности точек впредполагает наличие биективного отображения между элементами множестваи множеством натуральных чисел. Если выделить последовательностьиз множества, то соответствующие элементыобразуют подпоследовательность последовательности. Другими словами, подпоследовательность – это любая бесконечная часть последовательности.

Всякая ограниченная последовательность точек в пространстве содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из.Таким образом, если последовательность точекограничена, т.е. заключена внутри некоторого шара, то ввиду бесконечности этой последовательности, внутри этого шара обязательно должны найтись места сгущения этой последовательности (должны существовать подпоследовательности, сходящиеся к некоторым внутренним или граничным точкам этого шара).

Функции в. Предел. Теорема Гейне

Если из областипо определенному правилу или закону ставится в соответствие единственное значение величины, то говорят, что на областиопределена функция. Координатыточкиназываются независимыми переменными или аргументами функции, переменнаязависимой переменной, а символобозначает закон соответствия.

Описание законов соответствия в многомерном случае имеют намного более ограниченные возможности, нежели в одномерном случае. К основным способам задания функции нескольких переменных можно отнести:

• Формульный или аналитический;

• Структурно-логический;

• Геометрический.

Геометрический способ задания функции затруднен уже при , поскольку, в этом случае, график функциональной зависимости совпадает с поверхностью вида, построенной в трехмерном пространстве.

Для того чтобы лучше представить себе характер изменения графика при различных значениях аргументов ив пространстве, задают плоские сечения поверхности плоскостями, соответствующими фиксированным значениям функции. Получающиеся в каждом сечении кривые называютлиниями уровня.

Уже при наглядность в задании функциональной зависимости исчезает, и все представления такого рода относятся к рассмотрению гиперповерхностных форм.

Определение предела функции по Коши:

Пусть дана функция , определенная на области. Числоназывается пределомв точке сгущенияеслитакое, что.

Символически обозначение предела выглядит следующим образом:

Определение предела функции по Гейне:

При любом выборе последовательности точек , сходящейся к точке сгущениясоответствующие числовые последовательности значений функциисходятся, причем у всех последовательностейдолжен быть единый предел.