Формула прямоугольников

Вычисление интеграла методом прямоугольников заключается в определении суммы площадей элементарных прямоугольников, на которые делится площадь под кривой при делении интервала интегрирования научастков. При этом точность вычисления будет тем больше, чем больше, однако при этом требуемое время вычисления также увеличится.

Если за высоту прямоугольника принимается левая ордината участка, то метод вычисления называется методом левых прямоугольников, а если правая – методом правых прямоугольников.

Метод прямоугольников можно пояснить наглядно.

Формула вычисления интеграла методом левых прямоугольников имеют вид:

, где

Аналогично для правых прямоугольников:

Начальные значения равны:

	- для метода левых прямоугольников;
	- для метода правых прямоугольников.

Формула трапеций

В методе трапеций выполняется линейное интерполирование функции . На каждом интервале разбиения участок кривойзаменяется хордой, стягивающей концевые точки, а интеграл функции на участке разбиения – площадью трапеции:.

Тогда:

Контрольные вопросы к теме №9

1. Понятия интегральной суммы и определенного интеграла.

2. Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их сходимость.

3. Понятие равномерной сходимости функции.

4. Приложения определенного интеграла.

5. Методы приближенного вычисления определенных интегралов.

Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла

Основные понятия:

двумерная интегральная сумма; двойной интеграл; повторное интегрирование; стандартная область интегрирования; кратный интеграл.

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции вводится понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл. Определенный интеграл существует для трех типов функций: непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных. Задача интегрирования может быть также сформулирована и для функции переменных, заданной в ограниченной областис измеримым объемом. В этом случае не удается ввести простого понятия первообразной и неопределенного интеграла. Кратный интеграл вводится аналогично определенному интегралу как суммирование бесконечного числа бесконечно малых величин, т.е. через понятиемерной интегральной суммы, пределом которой являетсямерный интеграл.

Интегрирование функций многих переменных

Понятие двумерной интегральной суммы, пределом которой является двойной интеграл, можно ввести на основе задачи об объеме тела.

Задача:Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу – конечной замкнутой областьюплоскостии с боков – прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объектаи имеющей образующие, перпендикулярные плоскости.

Для этого разобьем основание на конечное число элементарных ячееки в каждой из этих ячеек выберем точку. Объем такого элемента равен. Объем всей фигуры можно приближенно найти как суммус любой степенью точности в зависимости от числа ячееки, соответственно, их размера. Если предположить, что число элементарных ячеекбесконечно возрастает, а их диаметр при этом является величиной бесконечно малой, то можно получить точное выражение для объема всей фигуры:

Таким образом, двойной интеграл имеет простой геометрический смысл, он выражает объем криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного сверху непрерывной поверхностью, снизу – конечной замкнутой областьюплоскостии с боков – прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объектаи имеющей образующие, перпендикулярные плоскости.

Двумерной интегральной суммой от данной функции , определенной на областиназывается сумма парных произведений площадей элементарных ячеекобластина значения функциив точке.

Двойным интегралом от функции определенной на областиназывается предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числаэлементарных ячееки стремлении к нулю их наибольшего диаметрапри условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения областина элементарные ячейкии выбора точекв них.

Теорема. Если область с кусочно-непрерывной границейограничена и замкнута, а функциянепрерывна в области, то двойной интегралт.е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения областина элементарные ячейкии выбора точекв них.

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем целесообразно пользоваться наиболее удобным для декартовой системы координат разбиением на прямоугольную сетку, образованную пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям и. В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники, со сторонамии. Таким образом, в обозначении интеграла можно учесть что. Тогда:

.

Для вычисления двойного интеграла применяется процедура повторного интегрирования.

Предположим для определенности, что область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию:

, ,

где и– однозначные непрерывные функции на отрезке. Важно отметить, что вертикаль, проходящая через любую точкуна отрезкеоси, пересекает границу области интегрированиятолько в двух точках: в точке входаи в точке выхода. Такая область называетсястандартнойотносительно оси.

Теорема. Если для функции определенной в области (стандартной относительно оси ), существует двойной интеграл и существует интеграл, то

При этом, интеграл называетсяповторным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух интегралов: вначале находится внутренний интеграл по переменной(при этом переменнаярассматривается как постоянная величина); после этого полученное выражение повторно интегрируется по переменной.

Задача вычисления кратного интеграла может быть обобщена на мерный случай и аналогично решена путем сведения кратного интеграла к повторному. Пусть функцияопределена и ограничена в замкнутой области. Областьразбивается наэлементарных частей, таких что, пересечением любой пары элементарных частей будет множество точек, размерность которого не превышает.

В каждой элементарной части выбирается точка и составляется интегральная сумма:

, ,

где объемная мера области;

объемная мера области.

Для того чтобы вычислить интегральную сумму, необходимо, чтобы элементарные части допускали исчисление объемной меры в достаточно простой и редуктируемой форме.

кратным интегралом функции по областиназывается предел интегральной суммыприи, соответственно,.– наибольшая протяженность элементарной областидля данного разбиения.

Этот предел не должен зависеть от способов разбиения на части и от выбора точекв каждой из них. Указанный интеграл можно представить в следующим образом:

По форме этот интеграл сходен с определенным интегралом , который также является пределом интегральной суммы:

,

где ,,,,.

Очевидно, что в кратном интеграле, как и в случае определенного интеграла, интегральные суммы ограничены снизу и сверху значениями сумм Дарбуи:

,

где ,.

Свойствами одномерных сумм Дарбу обладают и мерные суммы. При этом для любой ограниченной функции:

и ,_.

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции является условие , что эквивалентно выражению:

при _.

Величина называетсяколебанием функции в элементарной областии является величиной положительной при любом.

В результате можно установить, что к числу интегрируемых функций будут относиться функции, непрерывные на замкнутой области . При вычислениикратный интеграл сводится к повторному интегралу, т.е. вычислению обычного интеграла от внутреннего интеграла кратности.