- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Интерполяция и аппроксимация функций
При табличной форме задания функции часто возникает ситуация, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае приходится прибегнуть к интерполяции (или интерполированию) – приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.
Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение лежит между приведенными в таблице значениямии, которым соответствуют значения функциии, то считают, что:
.
Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то такая операция называется обратным интерполированием.
В общем виде интерполяционная задачасостоит в построении обобщенного многочлена, принимающего значения исследуемой функциина конечном множестве(область задания функции). Указанный многочлен должен удовлетворять условиям. Точкиназываютсяузлами интерполирования.
В частности, если , а множество, искомый многочлен имеет линейную структуру и может быть представлен в виде, где – коэффициенты разложения, а– линейно независимые нафункции.
Условия интерполирования можно представить в виде системы уравнений:
К системе можно применить векторно-матричную форму записи , если ввести обозначения:
, ,
Если семейство функций составляет базис на, то условия интерполированияоднозначно удовлетворяются с помощью выбора коэффициентов. Если число узлов интерполирования не соответствует размерности базиса, то решение задачи интерполирования неоднозначно. Возникающую при этом неопределенность можно устранить путем введения дополнительных условий, налагаемых на значения коэффициентов. В частности, в узлах интерполяции можно задать не только значения функции, но и значения ее производной. В противном случае, задача интерполирования не имеет решения в общем виде, т.к. система условий может оказаться несовместной. В этом случае задача интерполирования заменяется задачей общей аппроксимации, которая заключается в построении многочлена низшей степени, наименее отклоняющегося от заданной функции.
Интерполяционный полином Лагранжа
Примером наипростейшей базисной системы функций можно считать систему ,,…,,..
Утверждение 1.Если два многочлена степени принимают одинаковые значения при различных значениях переменной, то эти многочлены равны.
Пусть многочлены истепени‑ такие попарно различные числа, что. Рассмотрим многочлен. Очевидно, что степеньне превосходитлибо‑ нулевой многочлен, причем, т.е. многочленимеетразличных корней, что невозможно. Следовательно,и.
Это утверждение позволяет доказать следующую теорему.
Теорема.Для каждого натурального числа существует один и только один многочлен степени, который принимает любые наперед заданные значения призначениях неизвестной.
Пусть ‑ различные числа‑ произвольные числа. Построим многочленстепенитакой, что. По утверждению 1, он определен однозначно:
.
Степень , и, очевидно,. Многочлен (1) называетсяинтерполяционным многочленом Лагранжа.
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по заданной таблице значений:
.