Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательностьбыла ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называютпризнаками сравнения.Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда:

	(4)
	(5)

1. Пусть существует номер такой, что.

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример.Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом. Так как, то рядрасходится.

Пример.Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом. Поскольку, то рядсходится.

2. Пусть существует конечный или бесконечный предел .

• Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

• Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример.Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Посколькупри, то рядрасходится.

Пример.Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом. Так какпри, то рядсходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его-го члена.

• Признак Даламбера.Пусть существует предел.

• Если , то рядсходится;

• Если , то рядрасходится.

Пример.Рассмотрим ряд . Для этого рядапри. По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример.Рассмотрим ряд . Для этого рядапри. По признаку Даламбера ряд расходится.

• Признак Коши.Пусть существует предел.

• Если , то рядсходится;

• Если , то рядрасходится.

Пример.Рассмотрим ряд . Для этого ряда:. По признаку Коши ряд сходится.

Пример.Рассмотрим ряд . Для этого ряда:. Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или. В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

• Интегральный признак.Пусть‑ положительная неубывающая функция, такая что. Если последовательность,сходится, то сходится и ряд. Если последовательностьрасходится, то расходится и исходный ряд.

Пример.Рассмотрим ряд(этот ряд называютобобщенным гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и,,.

Если , то. Так какпри, то последовательностьрасходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, приисследуемый ряд – гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если , то.

При ,; при. Таким образом, последовательностьсходится прии расходится при.

Вывод.Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при.

Пример.Рассмотрим ряд .

Функция ;

при .

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемыйстепенной признак сходимостиположительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

• Степенной признак.Пустьпри, где. Тогда приряд расходится. Приряд сходится (условиеравносильно тому, чтопри. Говорят, чтоэквивалентенпри).

Пример.Рассмотрим ряд .Для этого ряда, значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен, так какпри. Значит, в этом случаеи, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример.Ряд имеет-й член, который эквивалентен. Значит, ряд расходится.