Точки разрыва

Непрерывность функции в точке, т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних пределаисуществуют и равны, т.е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции. Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

1. и существуют;

2. и конечны;

3. ;

4. .

Если 1. не выполнено, то называютточкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называютточкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называютточкой конечного скачка. Величинаназывается скачком функциив точке_.

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называютточкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точкии не определена в самой точке, тотакже называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Контрольные вопросы к теме №4

1. Понятие функции, графика функции, области определения и множества значений функции.

2. Понятие четности, нечетности и периодичности функции.

3. Понятие возрастающей и убывающей функции.

4. Понятие сложной и обратной функции.

5. Элементарные функции и их свойства.

6. Понятие предела функции в точке и на бесконечности.

7. Бесконечно большая и бесконечно малая функции и их свойства.

8. Первый и второй замечательные пределы.

9. Правила раскрытия неопределенностей.

10. Понятие непрерывности функций.

11. Свойства непрерывных функций.

12. Классификация точек разрыва.

Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Основные понятия:

производная функции; дифференцирование функции; приращение; эластичность функции; дифференцируемость функции; дифференциал; производная сложной функции; производная обратной функции; теорема Ролля; теорема Лагранжа; теорема Коши; теорема Ферма; правила Лопиталя; производные высших порядков.

Определение и смысл производной

Понятие производной является одним из основных понятий дифференциального исчисления, производная используется при исследовании процессов, в том числе и экономических, описываемых функциями. При исследовании приращения зависимой величины , обусловленного приращением независимой переменной, часто возникает необходимость определения предела отношения этих величин. Этот предел называетсяпроизводной, а операция его вычисления –дифференцированиемфункции.

Некоторые задачи, приводящие к понятию производной.

Построение касательной к графику функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежуткесо значениями. Графиком функциив системе координатявляется непрерывная кривая. Пусть‑ внутренняя точка промежутка,‑ значение функциив точке. Возьмем на кривойнекоторую фиксированную точку. Если точкатоже принадлежит кривой, то прямаяназывается секущей. Если перемещатьвдоль кривойтак, чтобыстремилась к совпадению с, то секущая также будет менять свое положение в зависимости от положения. Предельное положение секущей (если оно существует) приназываетсякасательной к кривойв точке.

Угловой коэффициент секущей равен:

.

Величину называютприращениемаргумента. Величинуназываютприращениемфункции в точке, которое вызвано приращением аргумента. Поскольку точкафиксирована, тоявляется функцией от, следовательно, изависит только от.

Так как , равносильно, то угловой коэффициент касательной можно получить предельным переходом при(если этот предел существует), т.е.:

, .

Предел относительного приращения называется производной функции. Производную функции в точкеобозначают одним из символов:и др.

Значение производной непрерывной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке.