Непрерывность функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежуткеПусть. Функцияназывается непрерывной в точке, если

Функция называетсянепрерывной слева (справа)в точке, если. Естественно, при этом функциядолжна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки. Непрерывность функции в точкеозначает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция , определенная на интерваленазываетсянепрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точкеэтого интервала.

Функция , определенная на отрезке() называетсянепрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точкеинтервала , непрерывна справа в точкеи непрерывна слева в точке.

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано–Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано–Коши).Пусть функция определена и непрерывна на отрезке, и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка, в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано–Коши).Пусть функция определена и непрерывна на отрезке. Тогда, еслито функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку, где,, т.е..

Теорема (первая теорема Вейерштрасса).Пусть функция определена и непрерывна на отрезке, тогда функцияявляется ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса).Пусть функция определена и непрерывна на отрезке, тогда функцияимеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Отметим, прежде всего, что основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены. К основным элементарным функциям относятся:

1. Постоянная функция . Область определения;

2. Идентичная функция . Область определения;

3. Одночлен ,;

4. Многочлен ,;

5. Рациональная функция , гдеи‑ многочлены. Функция определена при всех, кроме корней многочлена;

6. Степенная функция . Если, то функция определена, по крайней мере, на. Приопределена, по крайней мере, на. (При некоторыхстепенная функция может быть определена на более широком множестве. Например, функцияимеет область определения. Функцияопределена на);

7. Показательная функция ,,. Определена на;

8. Логарифмическая функция ,,. Определена на;

9. Синус , косинусопределены на. Эти функции являются периодическими с периодом, т.е., для любогоиз;

10. Арксинус и арккосинусопределены на.

Если и‑ непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функцийбудет непрерывно всюду, где оно определено. Таким образом, можно утверждать, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.

Непрерывность композиции

Пусть задана функция ,со значениями в, и на множествеопределена функциясо значениями в. Тогда для любогоможно вычислить, наможно определить функциюсо значениями впо правилу:. Говорят, что функцияесть композиция функцийии обозначают. (Функциюназывают также сложной функцией).

Если функция непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке, то композициянепрерывна в точке. Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример 14. Функциянепрерывна на_,как композиция непрерывных функцийи, поскольку такая композиция определена для.