Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида:

,

(2)

где инепрерывные функции отназываетсялинейным, в частности, уравнениеназывается линейным без правой части илилинейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются:, и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства:.

Для того чтобы решить уравнение (2) при будем искать неизвестную функциюв виде произведения двух пока неизвестных функцийот, т.е. положим, тогда.

Подставить значения ив уравнение (2):

.

После группировки получим:

(2')

Выберем так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т.е.. Для этого достаточно, чтобыбыло частным решением уравнения с разделяющимися переменными:

или .

Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению . Находим. Подставив в уравнение (2') значение, получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

, или ,

общее решение которого . Следовательно, общим решением уравнения (2) будет.

В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно , а относительно, т.е. может быть приведено к виду:. Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменныеименяют свои роли:считается аргументом, а‑ неизвестной функцией.

Пример.Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Положим , тогда.

Подставим ив данное уравнение:

;

(3)

Положим , или.

Проинтегрировав, получим частное решение при :

или .

При равенство (3) обратится в уравнение:

;

,

откуда и общим решением данного уравнения будет .

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений.

Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений

Для нахождения точного решения дифференциального уравнения первого порядка универсального метода не существует, поэтому большое значение приобретают приближенные методы решений дифференциальных уравнений.

Пусть на заданном отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядкас непрерывной правой частью, удовлетворяющее начальному условию.

Геометрически это значит, что для дифференциального уравнения нужно построить интегральную кривую, проходящую через точку. Из геометрического смысла производной следует, что в каждой точкеинтегральной кривой ее наклон (т.е. тангенс угла наклона касательной) удовлетворяет условию.

Поскольку правая часть дифференциального уравнения по предположению непрерывна, то можно считать, что на небольшом участке интегральной кривой ее наклон постоянен, т.е. эту кривую можно заменить ломаной линией.

Практически это делается следующим образом:

Отрезок разбивается надостаточно мелких частей,, …,. Длинаго отрезка() для простоты предполагается одинаковой для всех отрезков, т.е..

Величина называетсяшагомпроцесса.

Кривая с вершинами заменяется ломаной линией с вершинами, где, и последовательными наклонами, которая называется полигоном Эйлера:

Расчетные формулы выглядят следующим образом:

Суть метода Эйлера– замена непрерывного процесса, описываемого дифференциальным уравнениемна дискретный процесс, скорость протекания которого постоянна в пределах элементарного интервала разбиенияи скачкообразно изменяется при переходе от одного интервала разбиения к другому.

Недостатки метода:

• Малая точность при значительном шаге , большой объем работы при малом шаге;

• Систематическое накопление ошибок.

Пример.Методом Эйлера на промежутке найти решение дифференциального уравнения,.

Выберем шаг . Результаты вычисления с точностью до 0,001 приведены в таблице:

0	1,000	1,000	0,100
0,1	1,100	1,200	0,120
0,2	1,220	1,420	0,142
0,3	1,362	1,662	0,166
0,4	1,528	1,928	0,193
0,5	1,721

Таким образом, . Поскольку уравнение линейное, несложно найти точное решение:; отсюда.