Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

НЕВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	59

Текущие параметры движения получают ся при решении навигационной задачи, при котором могут применяться инерциальная на вигация и навигация, использующая сигналы от внешних источников измерения.

Недостаток наведения по «жесткой» тра ектории — низкая точность ввиду невозмож ности парирования одновременно всех воз мущений, необходимость введения в контур управления ракетой возможность регулирова ния величины тяги ДУ, необходимость повы шенных гарантийных запасов топлива, кото рый влечет за собой снижение массы выводи мого полезного груза. В перспективных СУ данный метод наведения обычно зуется.

Более «гибким» является терминальное наведение ракет. Терминальное наведение предполагает периодическое на протяжении всего полета решение краевой задачи опти мального выведения РН максимального полез ного груза на заданную целевую орбиту. При этом в качестве начальных условий модели движения используются текущие навигацион ные измерения.

При построении алгоритмов терми нального наведения время полета разбива ется на интервалы постоянной или пере менной длительности так, чтобы все расче ты по выбору управления для оставшейся траектории укладывались в пределах одного интервала. Решение о выборе управления для предстоящего интервала принимается в конце текущего интервала на основе распо лагаемой априорной измерительной инфор мации, полученной к началу текущего ин тервала, и прогноза движения на оставшей ся части траектории.

Кроме действующих на ракету возмуще ний имеются методические погрешности ал горитма и инструментальные ошибки. По этому найденное управление используется только в пределах одного интервала, а затем на последующем интервале управление сно ва уточняется. Чем ближе к концу траекто рии полета, тем меньше влияют возмущения на правильность выбора параметров управ ления.

Начальное приближение для решения краевой задачи во время первого интервала на ведения размещается в полетном задании. На чальным приближением для последующего ин тервала служит решение, полученное на преды дущем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.ГОСТ 4401–81. Атмосфера стандартная. Параметры. М.: Изд во стандартов, 1982. 181 с.

2.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вы числительной математики. М.: Физматгиз, 1960. 659 с.

3.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гам крелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 392 с.

4.Аппазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.А.

Баллистика управляемых ракет дальнего дейст вия. М.: Наука, 1966. 308 с.

5.Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г. Методы про ектирования траекторий носителей и спутни ков Земли. М.: Наука, 1987. 440 с.

6.Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском ис кусственного спутника Земли // Успехи физиче ских наук. 1957. Т. 63, вып. 1а. С. 5–32.

Глава 2.2

ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.2.1. НЕВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.2.1.1. Задача двух тел

Рассмотрим изолированную систему двух материальных точек P1 и P2 с массами m1 и m2, которые притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения Ньютона. Задача изуче ния движения одной точки относительно дру гой в такой постановке называется задачей двух тел, а само движение — невозмущенным кеплеровским движением.

В произвольной неподвижной прямо угольной системе координат дифференциаль ные уравнения движения двух точек в вектор ной форме имеют вид:

	d2r				r	r
m	1		fm m		2	1	;
1	dt 2	1		2	3
	d2r				r	r
m				m	1	2		,
	dt
2				2		3

где ri — радиус векторы точек в некоторый мо мент времени, i 1, 2; f — постоянная тяготе ния; — расстояние между точками P1 и P2.

На практике движение изучается не в аб солютной системе координат, а в относитель

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

60	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ной, начало которой совпадает с одной из то чек, а оси, параллельные абсолютным осям, перемещаются в пространстве поступательно. Примем за начало точку P1. Тогда движение точки P2 относительно точки P1 описывается дифференциальными уравнения ми задачи двух тел:

dr	V ;	dV	.r	,	(2.2.1)
dt		dt	r 3

где r r2 r1; r , f(m1 m2); r, V — ради ус вектор и вектор скорости точки P2 относи

тельно точки P1 соответственно, r — модуль вектора r.

Уравнения (2.2.1) можно также предста вить в других формах — в канонических пере менных, переменных Клеро–Лапласа, сфериче ских, цилиндрических координатах и т.д. В ря де задач такие формы записи уравнений оказы ваются предпочтительными. Необходимые со отношения можно найти в [1].

Уравнения (2.2.1) оказываются точными не только для двух тел точек, но и для любых двух тел, если они притягиваются друг к дру гу как материальные точки, например, для тел, имеющих сферическую форму со сфери ческим распределением плотностей. Уравне ния задачи двух тел с большой степенью точ ности описывают движения и в других важ ных случаях, например, если размеры тел ма лы по сравнению с их взаимными расстоя ниями, или когда в системе нескольких тел одно из них намного превосходит по массе все остальные. В этих случаях в первом при

ближении можно считать, что	малое
тело притягивается только	главным те
лом, не испытывая воздействия	стороны
других тел.

Таким образом, уравнения задачи двух тел применимы для описания невозмущенного движения планеты относительно Солнца, спутника относительно планеты, ИСЗ относи тельно Земли и т.д. Этим определяется особое место задачи двух тел в небесной механике и динамике космического полета.

2.2.1.2. Интегралы и уравнение Кеплера

нако они не могут составить общего интеграла системы, во первых, потому, что ни один из них не содержит времени явно, а во вторых, потому, что они связаны между собой двумя тождественными соотношениями, так что не зависимых первых интегралов остается только пять. Недостающий интеграл находится про стой квадратурой, и таким образом задача ре шается до конца в аналитическом виде. При ведем выражения для первых интегралов.

Интеграл энергии:

V 2	2.	h,	(2.2.2)
	r

где V — модуль вектора скорости; h — константа энергии.

Интегралы площадей (три компоненты векторного соотношения):

r V c [с	, с , с ]т сonst, (2.2.3)
1	2	3

где с — вектор интеграла площадей; т — знак транспонирования; с1, с2, с3 — постоянные пло щадей.

Такие термины закрепились, потому что длина вектора c численно равна площади па раллелограмма, построенного на векторах r, V. С другой стороны, вектор с коллинеарен век тору момента количества движения точки, по этому интегралы площадей называются также интегралами момента количества движения.

Интегралы Лапласа (три компоненты век торного соотношения):

[V c]	. r f [ f		f	2	f	3	]т const, (2.2.4)
	r	1

где f — вектор Лапласа; f1, f2, f3 — постоянные Лапласа.

Определенные таким образом семь про извольных постоянных h, c1, c2, c3, f1, f2, f3, со ответствующих найденным семи интегралам, на самом деле не являются независимыми, так как между этими постоянными существуют

два тождественных соотношения:
c1 f1 c2 f2 c3 f3 0,	(2.2.5)
f 2 .2 hc2,	(2.2.6)

Уравнения (2.2.1) представляют собой систему шестого порядка, а потому общий ин теграл этой системы есть совокупность шести независимых между собой первых интегралов, к нахождению которых и сводится задача ин тегрирования. Можно показать, что уравнения (2.2.1) допускают семь первых интегралов. Од

где f и c — модули векторов f и c. Из этих соотно шений любые две из семи постоянных можно выразить как функции пяти остальных, кото рые останутся произвольными. Поиск недос тающего шестого интеграла простой квадрату рой изложен в [2].

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

НЕВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	61

Постоянные h, c1, c2, c3, f1, f2, f3, входя щие в выражения для первых интегралов

(2.2.2), (2.2.3) и (2.2.4), можно однозначно определить путем подстановки в эти выраже ния вместо r и V их начальных значений r0r(t0), V0 V(t0), где t0 — выбранный началь ный момент времени.

Можно показать, что постоянные ин тегрирования полностью определяют распо ложение орбиты в пространстве, ее форму и размеры: движение происходит в неизмен ной плоскости, нормальной вектору с, по кривой второго порядка. Орбита может быть эллипсом, параболой, гиперболой или в вы рожденном случае парой прямых совпадаю щих.

Наиболее просто уравнение орбиты запи сывается в орбитальной системе координат, которая является неподвижной прямоугольной системой координат , , , где плоскостьО — плоскость орбиты, ось О направлена по вектору Лапласа, так как из (2.2.4) следует, что вектор Лапласа лежит в плоскости орбиты. Ось O направлена по нормали к плоскости орбиты, а ось О в плоскости орбиты допол

няет систему до правой. Связь между коорди натами r (x, y, z)т и ( , , )т выражается

формулой

r Mr

(2.2.7)

где M — матрица перехода,

	f						c		2	f	3	c	3	f		2			c
					1															1
				f								cf							c
M				f	2		c		3	f		c		f	3				c	2			.
											1	1
				f								cf							c
	f				3			c		f	2	c	2	f					c	3
									1						1
	f											cf							c

Дополнительно вводятся полярные орби тальные координаты r, :

r cos ; r sin ,

(2.2.8)

где — угол, образуемый радиус вектором точ ки с положительным направлением оси О? и называемый истинной аномалией.

Тогда уравнение орбиты примет вид:

		r	p
				,		(2.2.9)
			1 ecos
где p	c2	— параметр орбиты, e			f	— ее экс
.					.

центриситет. Это полярное уравнение кривой

второго порядка с полюсом в фокусе кривой и полярной осью, направленной по фокальной оси, которая называется в астрономии линией апсид. Точки пересечения фокальной оси с кривой называются апсидами, а также — пери центром и апоцентром. Из (2.2.8) и (2.2.9) сле

дует, что фокальная ось совпадает с	и,
следовательно, с вектором Лапласа.
Как известно из аналитической

рии, параметр p для эллипса и гиперболы опре деляется формулами p a1(1 e2) a(e2 1), где а1 и а2 — большая полуось эллипса и действи тельная полуось гиперболы соответственно.

Из выражений для p и e следует, что при c 3 0 тип движения полностью характеризует ся величиной f вектора Лапласа: при f 0 ор бита — окружность, при f + — эллипс, при f — парабола, при f 6 — гипербола. Если же с 0, то орбита вырождается в прямую ли нию при e 1.

Тип движения удобно также связать с по стоянной величиной h. Действительно, из со

отношений f e и (2.2.6) имеем 2(e2		1)
hc2, откуда следует, что при с 3 0:
если h+ 0, то e + 1 и	орбита — эллипс:
если h 0, то e 1 и
	орбита — парабола:
если h6 0, то e 61 и	орбита — гипербола.

Если с 0, то орбита вырождается в прямую ли нию с е 1.

От постоянной h зависит также пара метр а. Из соотношений с2 а 1 е2 и (2.2.6) следует

а1 .; а2 .. h h

Таким образом, в невозмущенном дви жении положения плоскости орбит и орбиты в ее плоскости определяются постоянными площадей и направлением вектора Лапласа соответственно. Тип орбиты зависит от зна чения его модуля или от знака постоянной h, а размеры — от значения постоянной h.

Получение общего решения уравнений невозмущенного движения из найденных пер вых интегралов принципиально возможно, но представляет собой очень сложную алгебраи ческую задачу, не разрешимую в буквенном виде. Между тем соотношения (2.2.7), (2.2.8), (2.2.9) говорят о том, что решение задачи сво дится, в сущности, к нахождению истинной аномалии как функции времени. Данная

найденного уравнения также получено только численным спо

(2.2.10)

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

62	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ключевая частная задача решается путем вве дения вспомогательной переменной. Для раз ных типов движений она определяется по раз ному, поэтому каждый из них рассматривается в отдельности.

	Если начальные условия										f 3 0, c 3
3 0,	то			0 +			е +		1,	а орбита	эллипс, то
tg
			1	e		tg	E	,	где	Е — эксцентрическая
2	1			e			2

аномалия. Можно показать, что она удовле творяет уравнению Кеплера:

E e sin E M n(t 9),

где M — средняя аномалия; n			.		— среднее
	a	3	/2

движение; 9 — момент прохождения перицен тра. Уравнение (2.2.10) трансцендентно относи тельно E и в конечном виде решено быть не мо жет. Способы численного решения можно най ти в [3].

Если начальные условия h 6 0, f 3 0, с 3 3 0, то e 6 1, а орбита — гипербола, то анало

гично		эллиптическому случаю, подставляя
tg
		e 1		tg	F	, вводится вспомогательная
2		e 1 2

переменная F, которая дает возможность по лучить аналог уравнения Кеплера для гипер болической орбиты:

				F
		e tgF ln tg&						)	n(t 9),
		% 2					4	(
где n		.

может

собом.

Если начальные условия таковы, что h 0, f 3 0, c 3 0, то e 1 и орбита есть пара бола. В этом случае, не вводя никакой вспо могательной переменной, можно получить уравнение:

Α3 3Α 3n(t ),

где Α tg , n	.		1	, q	p	.
2	2 q3 /2			2

Полученное кубическое уравнение проще соответствующих уравнений двух предыдущих случаев, оно всегда имеет единственный веще ственный корень, который может быть найден численным способом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребени ков Е.А. и др. Справочное руководство по не бесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.

2.Дубошин Г.Н. Небесная механика. Ос новные задачи и методы. М.: Наука, 1963.

3.Смарт У.М. Небесная механика. М.: Мир, 1965.

2.2.1.3. Орбитальные элементы

Движение небесного тела (НТ) будет оп ределено в пространстве, если известны разме ры и форма его орбиты, ее ориентация в про странстве и момент времени, в который тело находится в определенной точке орбиты. Ор битальные элементы характеризуют орбиту НТ и его положение на орбите.

Согласно интегралам невозмущенного орбитального движения (см. п. 2.1.2) в задаче двух тел, орбита НТ представляет собой кони ческое сечение, в одном из фокусов которого находится центр масс двух тел (притягиваю щий центр). Эта кривая второго порядка мо жет быть эллипсом (окружность является его частным случаем), параболой, гиперболой или парой прямых (в вырожденном случае). Инте грал площадей показывает, что траектория НТ — плоская кривая, поскольку постоянный вектор c интеграла площадей перпендикулярен орбитальной плоскости:

(r,с) 0.

(2.2.11)

Из интегралов Лапласа (с вектором Лапла са f ) можно вывести соотношение, которое представляет собой уравнение поверхности вра щения:

.r (r, [с V ]) (r, f ) c2 (r, f ),

(2.2.12)

Таким образом, НТ остается в процессе движения на кривой второго порядка, являю щейся линией пересечения плоскости (2.2.11) и поверхности (2.2.12) второго порядка. Раз мер и форму орбиты характеризуют фокаль ный параметр p и эксцентриситет e. Их связь с интегралами невозмущенного движения и с абсолютными величинами векторов с и f выра жается в виде (2.2.9).

Геометрическое представление этих эле ментов можно рассмотреть универсально для всех видов получаемых конических сечений (рис. 2.2.1).

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

НЕВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	63

Рис. 2.2.1. Конические сечения эксцентриситетами e 1 (эллипс), e 1 (гипербола) и e 1 (парабола)

Эксцентриситетом e орбиты называют отношение расстояния между фокусами | F1F2 | 2l этой орбиты к расстоянию между ее вершинами | AA | 2a. Величина a называется

большой полуосью орбиты. Величина эксцен триситета e l /a определяет вид конического сечения: для параболы e 1, для гиперболы e 1, для эллипса e 1. Движение по круговой орбите является частным случаем движения по эллипсу (e 0).

Фокальный параметр p представляет со бой половину фокальной хорды | DD | орбиты, перпендикулярной к ее оси (линии апсид). Обозначим угол истинной аномалии как угол между вектором Лапласа f и вектором r, отсчи тываемый против часовой стрелки. Тогда урав нение (2.2.12) может принять вид:

r c2 rf cos .

(2.2.13)

Представление радиус вектора r и эле ментов p и e получаем, как в (2.2.9).

Точка орбиты тела, ближайшая к притя
гивающему центру, называется	перицентром
(для него истинная аномалия	0), а наиболее

удаленная — апоцентром (здесь ! 180 ). Если притягивающим центром является Земля, то названия этих точек — перигей и апогей, со ответственно, для Солнца — перигелий и афе2 лий, для Луны — периселений и апоселений, для произвольной звезды — периастр и апоастр. Направление вектора Лапласа f совпадает с на правлением из притягивающего центра к пе рицентру орбиты. Прямая, соединяющая апо центр и перицентр, называется линией апсид.

Положение НТ на орбите в некоторый момент времени t определяется его угловым расстоянием от линии апсид, т.е. истинной аномалией . Часто в качестве подобного эле мента орбиты выбирают другие параметры, например среднюю аномалию M , аргумент широты u и др.

Элементы, характеризующие положение плоскости орбиты и ориентацию орбиты в

этой плоскости, вводятся следующим образом. Рассматривается базовая система координат, начало которой совпадает с фокусом орбиты F , где находится притягивающий центр. За ос новную координатную плоскость Fxy в разных задачах выбирают различные плоскости: в тео рии движения ИСЗ — плоскость земного эква тора, в звездной астрономии — плоскость Га лактики. Ось Fz направлена на Cеверный по люс, а ось Fx — в основную точку, за которую часто принимают точку весеннего равноденст вия (точку пересечения экватора с эклипти кой весной).

Угол i между плоскостью экватора Fxy и плоскостью орбиты называют наклонением (наклоном) орбиты. Он принимает значения от 0 до 180 . Если 0# i 90 , то движение НТ называется прямым, если же 90 i # 180 — об ратным (ретроградным). При обратном движе нии ИСЗ спутник обращается в противопо ложном направлении вращению Земли.

Пересечение плоскости орбиты с плоско стью Fxy называется линией узлов, а точки пе ресечения орбитой с Fxy — узлами орбиты. Восходящий узел — узел орбиты, который проходит НТ, двигаясь из области отрицатель ных аппликат (z 0) в область положительных

(z 0),		«с юга на север». Противоположный
узел		называется нисходящим.
	Долгота восходящего узла — угол меж
ду осью Fx и направлением			узлов из
центра координат в восходящий			Угол от
считывается против часовой			может

иметь значения от 0 до 360 . Если траектория НТ лежит в плоскости экватора Fxy, то поня тие восходящего узла считается неопределен ным.

Угол между направлениями на восходя щий узел и на перицентр называют аргумен том перицентра % (или угловым расстоянием перицентра от узла). Он отсчитывается в на правлении движения тела от 0 до 360 . Часто рассматривают сумму двух углов — аргумента