Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ	151

При численном интегрировании учиты ваются влияние нецентральности гравитаци онного поля, атмосферы, светового давления и т.д., моделируется работа двигателей КА. Хотя параметры маневров находятся на каж дой итерации с использованием простейшей модели движения, но в результате итерацион ной процедуры они обеспечивают выход на конечную орбиту с требуемой точностью.

Данная итерационная схема позволяет получать точное решение задачи, когда откло нения начальной и конечной орбит от опор ной круговой достигают нескольких сотен ки лометров, а протяженность каждого из манев ров составляет два три десятка градусов по ар гументу широты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателя ми большой тяги. М.: Наука, 1976. 744 с.

2.Бушуев Е.И., Красовский А.А. О геомет рическом решении задачи импульсного пере хода между близкими почти круговыми орби тами // Космические исследования. 1969. Т. 7, вып. 4. С. 485–489.

3.Edelbaum T.N. Minimum Impulse Trans fer in the Vicinity of a Circular Orbit // Journal of Astronautical Siciences. 1967. V. 14, No. 2. P. 66– 73.

4.Баранов А.А. Численно аналитическое определение параметров маневра многовитко вой встречи КА на близких околокруговых не

компланарных орбита	Космические иссле
дования. 2008. Т. 46,	5. С. 430–439.
5. Баранов А.А.	геометрическом реше
нии задачи встречи	х почти круговых

компланарных орбитах // Космические иссле дования. 1989. Т. 27, вып.6. C. 808–816.

6. Баранов А.А., Терехова Е.О. Оптималь ная четырехимпульсная встреча на компланар ных почти круговых орбитах // Космические исследования. 1995. Т. 33, вып 4. С. 420–495.

7. Бажинов И.К., Гаврилов В.П., Обу хов Е.В. и др. Навигационное обеспечение по лета орбитального комплекса «Салют 6»–«Со юз»–«Прогресс». М.: Наука, 1985. 375 с.

8.Баранов А.А. Алгоритм расчета пара метров многовитковых маневров дальнего на ведения // Космические исследования. 1990.

Т.28, вып. 1. C. 69–76.

9.Marec J. P. Optimal Space Trajectories. Studies in Astronautics. Elsevier Sci. Pub. Co. Amsterdam–Oxford–New York. 1979. V. 1. 329 p.

10.Баранов А.А. Методика расчета пара метров встречи КА с орбитальной станцией: препринт ИПМ РАН им. М.В. Келдыша. 2008.

№6. 32 с.

11.Баранов А.А., Баранов А.А. Алгоритм расчета параметров маневров формирования спутниковых систем // Космические исследова ния. 2009. Т. 47, вып. 3. C. 256–262.

2.3.8.ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ

СКОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ

Существуют различные методы определе ния оптимального перелета с тягой. Это одна из основных задач теории оптималь ного управления ([1–10]; [3, 5, 9] п. 2.3.4; [5, 8]

п.2.3.5).

Вметодах оптимизации перелетов можно выделить три группы:

1) Прямые методы оптимизации. Непо средственно варьируется траектория или управление, чтобы уменьшить минимизируе мый функционал при удовлетворении задан ных ограничений. Это наиболее распростра ненные методы оптимизации. Здесь может быть использована, в частности, конечномер ная аппроксимация управляемого движения КА, тогда общая задача оптимизации переле та сводится к задаче нелинейного программи рования [6].

2) Непрямые методы. Методы определе ния оптимального перелета, основанные на поиске траектории, удовлетворяющей необхо димым условиям оптимальности. Это непря мые методы. Хотя они и сложнее в практиче ском применении, но обладают тем преиму ществом, что позволяют получить точные оп тимальные решения и управление. Система необходимых условий оптимальности полна — вместе с начальными условиями, уравнениями движения и ограничениями она образует пол ную систему для определения неизвестных па раметров управления.

Рассмотрим случай перелета из точки в

точку с N активными участками на интервалах времени ti + t + ti , причем t1 t0 , tN t f , и с N1

точками выхода на ограничения в моменты tj при Α(tj) 6 0. В качестве неизвестных парамет ров, определяющих траекторию, можно взять в качестве примера 6 2N1 следующих пара

метров: r(t0) Λ r0, V(t0) Λ V0, моменты tj вы хода на ограничения и скачки Α(tj) (1 5 j 5 N1).

Им соответствуют 6 2N1 условий — шесть конечных условий r(tf) rf; V(tf) Vf, и 2N1 ус

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

152	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

ловий для точек контакта с	ограничения
ми на расстояния до планет	j (tj) j min,
d j (tj) /dt 0.

В силу полноты системы НУО их можно взять за основу для численного определения оптимального перелета с конечной тягой по строением соответствующей краевой задачи. Практически данную краевую задачу успешно решают при наличии достаточно хорошего на чального приближения. Для этого используют, например, параметры оптимального импульс ного перелета для той же задачи ([4] п. 2.3.6) или некоторой траектории перелета с конеч ной тягой, относительно которой есть предпо ложение или известно, что она близка к опти мальной, или параметры решения в некоторой упрощенной постановке.

Оптимальный перелет определяется по строением семейства оптимальных перелетов, если известна хотя бы одна траектория этого семейства, например, при специальных пара метрах задачи. Так, можно за начальную тра екторию семейства взять оптимальную им пульсную траекторию перелета и построить семейство оптимальных перелетов, парамет ром которого является величина, обратная максимальной тяге 1 /Pmax и равная нулю для импульсного перелета ([8] п. 2.3.4, [8] п. 2.3.5).

Условия оптимальности можно также ис пользовать для выполнения аналитического исследования задачи оптимального перелета. Иногда такой анализ позволяет решить анали тически часть задачи, выявить ее качественные особенности, упростить ее, свести к задаче с несколькими параметрами, чтобы далее ре шать ее численно.

Применяются также методы, основанные на достаточных условиях оптимальности.

На основе этих подходов получены ре зультаты исследования оптимальных переле тов с конечной тягой, например, в задачах вы ведения КА ИСЗ ([2]; [2] п. 2.3.5), ухода с круговой орбиты ([8] п. 2.3.4), перелета между компланарными и некомпланарными круговыми орбитами ([7] п. 2.3.6; [8] п. 2.3.5), перелета между близкими околокруговыми ор битами в линейной постановке ([8, 9] п. 2.3.4, [8, 9] п. 2.3.7).

3. Методы аппроксимации импульсного решения управлением с конечной тягой с воз можной последующей оптимизацией на осно ве первых двух групп методов. Эту задачу ино гда называют обратной задачей импульсной аппроксимации.

Важнейшим элементом здесь является ап проксимация одного импульса активной дугой траектории с конечной тягой ([3]; [5, 8] п. 2.3.5; [8] п. 2.3.4; [6] п. 2.3.6). Построены приближен ные методы оптимальной аппроксимации ([8] п. 2.3.4). Здесь возможны два случая:

1. Каждый импульс — внутренний по времени, тогда аппроксимирующий его актив ный участок строится таким образом:

расход массы mi i го активного участка и i го импульса один и тот же;

ориентация вектора тяги на активном участке совпадает с ориентацией импульса скорости;

для небольшого импульса ( mi + 0,6mi ) се редина i го активного участка совпадает с точ

кой приложения i го импульса ti. В общем слу

чае для этой точки m(ti ) mi / ln(1 mi / mi ). Здесь mi — масса в начале сообщения i го им

пульса и активного участка.

В этом случае построенная траектория с конечной тягой имеет ту же характеристиче скую скорость, что и импульсная, но она не

точно удовлетворяет краевым условиям: ошиб

ка составит ~8( ti /Ti)2, где Ti 2 ri3 /2/ .1g/2 — период обращения для круговой орбиты, про

ходящей через точку приложения данного им

пульса; ti — продолжительность i го активно го участка, ti − (mi / ms c) Vi (mi / P) Vi , где

P — тяга двигателя.

2. Хотя бы один из концевых импульсовV1, VN сообщается в фиксированной точке пространства с возможной односторонней ва риацией. Это, например, начальный импульс скорости, сообщаемый в точке M0 на внутрен ней границе r rmin, для перехода типа II I ([7] п. 2.3.4; [2, 4, 5] п. 2.3.5). В этом случае актив ный участок, аппроксимирующий импульс скорости, строится по тем же правилам, что и в первом случае, кроме последнего пункта — теперь активный участок примыкает к соот ветствующей концевой точке траектории. Краевые условия будут выполняться с точно

стью ~( t1 /T1 tN /TN).

Варьируя затем параметры активного уча стка, можно точно выполнить краевые усло вия и далее оптимизировать перелет. В частно сти, постоянную ориентацию тяги можно улучшить, используя линейный закон. Харак теристическая скорость при конечной тяге бу дет, как правило, больше, чем для импульсно го случая, ибо на протяженном активном уча стке обычно не удается реализовать абсолютно оптимальные параметры управления, свойст

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ	153

венные импульсам. Это увеличение характери стической скорости w называют гравитацион ными потерями.

В первом случае (внутреннего по времени импульса) оно приближенно оценивается ве личиной ([3, 8]; [5] п. 2.3.5; [6] п. 2.3.6)

wi / Vi − ( 2/6)( ti /Ti)2(1 3 cos2 i)

O( t	/T )3,	(2.3.117)
i	i

где i — угол наклона импульса к радиус век тору.

Во втором случае (концевого импульса) увеличение характеристической скорости оце нивается приближенно величиной ([6] п. 2.3.6; [4] в п. 2.3.5; [8] п. 2.3.4):

wi / Vi − ki ti /Ti, i 1, N,

(2.3.118)

где коэффициент ki зависит от характеристик траектории в данной точке.

Из (2.3.117) следует, что для внутреннего импульса гравитационные потери примерно пропорциональны кубу величины импульса скорости ([8] п. 2.3.5):

w	i	− k	V	3 ; k	g2	/ (24a2 V 2),	(2.3.119)
		1i	i	1i	i	0i i

где gi, Vi — соответственно гравитационное ускорение и скорость на круговой орбите, проходящей через точку приложения данного импульса; a0i — начальное реактивное уско рение. Поэтому эти потери резко убывают с уменьшением величины каждого импульса скорости.

Пусть маневр осуществляется в кепле ровском поле, причем перелета не ог раничено, а оскулирующие орбиты, соответ ствующие сообщению импульса скоростиVi , эллиптические и допустимые, т.е. не на

рушают ограничений. Этот случай представ лен на рис. 2.3.24, где T (wi(1)), T (w ), T (wi( 2)) —

оскулирующие орбиты в начале, внутри и в конце процесса приложения импульса. Та кой вариант имеет место, например, для им пульсов двухимпульсного перехода Гома на–Цандера или трехимпульсного перехода Штернфельда типа I I между круговыми ор битами, удовлетворяющими заданным огра ничениям на расстояние до планеты. В дан ном случае импульс скорости Vi можно реа лизовать в виде последовательности не скольких (например, двух) меньших импуль сов («субимпульсов»), прикладываемых друг за другом в одном направлении, в той же

Рис. 2.3.24. Схема дробления импульса и введе ния промежуточного пассивного витка в траек торию перелета между орбитами

точке траектории через виток соответствую щей, разделяющей соседние «субимпульсы», оскулирующей орбиты T (w ), и с той же сум мой величин импульсов, что и величина ис ходного импульса. Это означает, в частно сти, что в качестве аргумента процесса мож но вместо времени взять массу точки или ее характеристическую скорость w, а перемен ных — элементы орбиты ([1, 7, 9] в п. 2.3.4). Если такую многоимпульсную схему аппрок симировать конечной тягой, то гравитацион ные потери будут существенно уменьшены по сравнению с исходной схемой (~ в 4 раза при разбиении одного импульса на два «суб импульса»).

Для перелета c низкой околоземной кру говой орбиты высотой 400 км на геостацио нарную орбиту на рис. 2.3.25 дана зависимость характеристической скорости от начального реактивного ускорения и числа включений двигателя в перигее [10] ([8] в п. 2.3.5). У каж дой кривой в соответствующих точках указано также время перелета в часах.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

154	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

Рис. 2.3.25. Зависимость характеристической скоро сти перелета на геостационарную орбиту от началь ного реактивного ускорения и числа включений

Такое разбиение импульса применяется сейчас при разгоне КА с низкой орбиты. Для примера на рис. 2.3.26 приведена схема разго на к Луне с Земли для индийского КА Сhan drayaan 1 [11], осуществленного в октябре–но ябре 2008 г. Сначала КА выводится на первую промежуточную орбиту Т1 с высотами в пери гее и апогее H 255 км и H 22 860 км, пе риодом Р1 − 6,7 ч (по этой орбите делается че тыре оборота).

В течение примерно двух недель с помо щью пяти включений двигателя КА с тягой 440 Н (при начальной массе КА 1 380 кг) и дви жении по четырем промежуточным орбитам Т2, Т3, Т4, Т5 осуществлен перелет с орбиты Т1 на конечную орбиту перелета к Луне Тf T6.

Для орбиты T2:

H 305 км и H 37900 км, орбиталь ный период Р2 − 11 ч, по ней делается два обо рота.

Для орбиты T3:

H 336 км и H 74 715 км, Р3 − − 25,5 ч.

Для орбиты T4:
H 348 км и H 164600 км, Р4 − 73 ч.
Для орбиты T5:
H 465 км	и H 267000 км, Р5 −
− 6 сут.
По орбитам	, T4, T5 совершается по
одному	обороту.
Для орбиты	:

H380 тыс. км, по ней КА движется

кЛуне ~4,5 сут.

После торможения у Луны КА пере веден с этой орбиты на орбиту ИСЛ с вы сотами в переселении и апоселении H 504 км и H 7502 км.

Может быть ситуация, когда при со общении лишь части импульса скорости допустимы оскулирующие орбиты. На рис. 2.3.27 представлен этот случай. Здесь на начальной части импульса при

wi(1) + w + wi* оскулирующая орбита пересекает внутреннюю границу, для нее перицентриче ское расстояние r (w) + rmin. В этом случае нельзя дробить импульс. На заключительной части импульса при wi* 5 w 5 wi( 2), оскулирую

щая орбита допустима, для нее r (w) rmin, можно дробить импульс и реализовать перелет

с несколькими активными участками.

Такой вариант имеет место, например, в двухимпульсном перелете типа II I с орбиты T0 типа II, пересекающей внутреннюю грани цу, на орбиту Tf типа I, не пересекающую

границ, при rmin 5 r 0 + r f, r 0 + rmin + r f, с со общением первого импульса в начальной точ

ке M0 на внутренней границе , (r rmin) и второго импульса в апоцентре f конечной

орбиты ([7] п. 2.3.4, [4] п. 2.3.5). Первый им пульс нельзя дробить, для него r (w) + rmin, он аппоксимируется одним активным участ

Рис. 2.3.26. Схема разгона к Луне индийского КА Сhandrayaan 1