Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

160	Глава 2.4. УПРАВЛЕНИЕ И ПОДДЕРЖАНИЕ ОРБИТ КА

Номинальные затраты характеристической скорости на удержание КА по широте составля ют ежегодно от ~45 до ~55 м/c с периодом ~18 лет — период Сароса (период полного оборота на эклиптике восходящего узла лунной орбиты). Максимумы приходятся на 2006, 2024 г. и т.д.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Чернявский Г.М., Бартенев В.А. Орби ты спутников связи. М.: Связь, 1978. 240 с.

2.Чернявский Г.М., Бартенев В.А., Малы шев В.А. Управление орбитой стационарного спутника. М.: Машиностроение, 1984. 144 с.

3.Chao C. C.G. Applied Orbit Perturbation and Maintenance, AIAA, Inc., Reston, Virginia, USA. 2005. 264 p.

4.Kamel A.A., Wagner C.A. On the Orbital Eccentricity Control of Synchronous Satellites // Journal of the Astronautical Sciences. 1982. V. 30,

№1. Р. 61–73.

5.Славинскас Д., Деббачи Д.Ю. и др. Эф фективный метод коррекции наклонения ор биты геостационарного спутника // Аэрокос мическая техника. 1988. №. 6. С. 188.

2.4.2.ПОДДЕРЖАНИЕ ВЫСОКОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ

Особенности поддержания высокоэллиптических орбит

Долговременное поддержание высокоэл липтических орбит заключается в сохранении отклонений орбитальных элементов и/или трассы КА в заданных пределах относительно их номинальных значений путем периодиче ского проведения корректирующих маневров. В зависимости от требований к КА корректи руемыми могут быть не все орбитальные эле менты, а какие то комбинации. Простейшим случаем является коррекция поддержания трас сы КА. Если КА входит в спутниковую систему и требуется согласование движений смежны спутников, то может возникнуть необходи мость коррекции времени прохождения.

Отличительная особенность поддержа ния — движение КА в окрестности номи нальной орбиты и использование малых корректирующих импульсов и/или маневров с малой тягой, например, с использованием электрореактивных двигателей. В отличие от межорбитальных перелетов, где параметры переходной орбиты заранее неизвестны, в этой задаче частные производные орбиталь ных элементов и функции влияния коррек

тирующих воздействий известны большой точностью.

Методы анализа и расчета импульсных маневров поддержания высокоэллиптических орбит представлены в [1–2].

Управление трассой полета на орбите «Молния»

Управление трассой полета означает удер жание долготы восходящего узла (одного из двух суточных витков) в диапазоне географиче ских долгот:

(t) н / ,

(2.4.16)

где н — номинальная долгота узла; — точ ность удержания.

Для любого диапазона долгот можно по строить множество фазовых траекторий для (или отклонение орбитального периода Т) от, в том числе предельный цикл, как для управления долготой геостационарного ИСЗ (разд. 2.4.1) Φ4Γ. При этом корректирующие трансверсальные маневры проводятся на од ной из границ географического диапазона удержания. При проведении маневров в пери гее орбиты суммарные затраты в м/с характе ристической скорости на поддержание трассы составят Φ6Γ:

Vгод 2,75sin(2 н 46 ).

(2.4.17)

Оптимизация поддержания высокоэллиптической орбиты типа «МОЛНИЯ» для КА с малой тягой

Предполагается, что движение КА мож

но представить в виде точечной массы, он имеет двигатель, обеспечивающий реактивное ускорение ограниченной величины 0 5 ap 5

5 ap max, направленное по единичному векто ру е (eт e Λ 1).

Уравнения движения КА:
	dY	(t) f [Y (t),a(t), e(t)],		(2.4.18а)
	dt
где Y т (t) [r т (t)V т (t)];
			V (t)
f [Y (t),a(t), e(t)] a			(t)e(t) .r(t) , (2.4.18б)
		P	r 3
				(t)

где r(t), V(t) — радиус вектор и вектор скорости соответственно; — гравитационный пара метр.

время

шать

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПОДДЕРЖАНИЕ ВЫСОКОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ	161

Условия по поддержанию орбиты на ин тервале времени Φ0, tfΓ могут быть представле ны в виде [7]:

F [X (t f 1), X (t f 2),..., X (t f )] Pf , (2.4.19)

где F — некоторая векторная функция, опре деляющая зависимость орбитальных элемен тов от векторов состояния во внутренних точ ках и/или в конечной точке интервала; Pf — вектор целевых значений орбитальных эле ментов и/или функций от них, имеющих раз мерность m.

Предполагается, что интервал времени Φ0, tfΓ разбит на n малых, в общем случае, неодинаковых n подынтервалов ti ti 1 ti, и известны приближенные значения функ ции F(ti) в опорные моменты времени ti. На каждом подынтервале времени вектор управления ai постоянен, тогда для краевых условий (2.4.19) имеется приближенное со отношение:

Pf (t f ) P*f (t f )	F (ti )	ai ti ,	(2.4.20)
i 1	0a

где P*f (t f ) — значение краевых условий на не возмущенной (т.е. пассивной) траектории КА в момент tf; 0F / 0a — матрица частных производ ных функции влияния.

Считается, что вектор управления (век тор тяги) ориентирован в плоскости мест ного горизонта произвольным образом, и

работы двигателя не должно превы длительности этого подынтервала

ti max. Приобретаемый на этом подынтерва ле импульс скорости будет не более Vi max

ap max ti max.

Возможные направления вектора тяги представляются в виде некоторого дискрет ного набора ориентаций, образованного деле нием диапазона Φ0, 2Γ на малые углы

2 /k (см. рис. 2.4.6, а).

На каждом подынтервале искусственно вводится k псевдоимпульсов, однако их сумма по модулю не должна превышатьVi max. Тогда в оптимальном по затратам характеристической скорости решении не может быть более двух смежных псевдоим пульсов, поскольку сумму двух несмежных или трех или более векторов псевдоимпуль сов всегда можно заменить двумя смежны ми псевдоимпульсами, имеющими наимень шую сумму [7].

Пусть Vi opt — оптимальное решение для i го подынтервала (рис. 2.4.6, б). Наилуч шим приближением к оптимальному реше нию из имеющегося набора псевдоимпульсов с дискретными ориентациями в общем случае будет решение для двух смежных псевдоим пульсов между которыми располагается опти мальный импульс Vi opt. В частном случае это может быть один псевдоимпульс, бли жайший по направлению к Vi opt, т.е. опти мальное решение заменяется приближенным значением.

Рис. 2.4.6. Псевдоимпульсы в плоскости:

а — возможные направления вектора тяги; б — оптимальное решение для i го подынтервала

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

162	Глава 2.4. УПРАВЛЕНИЕ И ПОДДЕРЖАНИЕ	КА

Подобным образом может быть рассмот рена пространственная ориентация вектора тя ги [5, 7].

Вводится вектор неизвестных перемен ных Х, включающий все псевдоимпульсы на всех подынтервалах размерностью (n k):

X т [ V1(1), V1( 2),..., V1( k ), V2(1), V2( 2),...

..., V2( k ),..., Vn( k )]. (2.4.21)

Компоненты этого вектора могут быть только неотрицательными. Тогда для этого век тора имеется линейное неравенство:

AX 5 b,

(2.4.22)

где А — матрица размером [n (n k)], имеющая следующую структуру (показаны только нену левые элементы):

	111...1
		k
	A			111...1
						n. (2.4.23)
				111...1
					111...1
				n k

Вектор bт [ V1 max , V2 max ,..., Vn max ] име ет размерность равную числу подынтервалов.

Для вектора Х краевые условия (2.4.19) примут вид:

Pf Pf P*f Ae X ,

(2.4.24а)

где Ае — матрица размером [m (n k)]:

0F1

0V1(1)

Ae ........

0Fm

0V1(1)

0F1	...	0F1		0F1	...	0F1
0V ( 2		0V ( k)		0V (1)		0V ( k )
1		1	2		...	n
........		........ ........				........ .
0Fm		0Fm		0Fm	...	0Fm
0V ( 2		0V ( k)		0V (1)		0Vn( k )
1		1	2
					(2.4.24б)

Вектор P*f рассчитывается по невозму щенной траектории. Определим вектор коэф фициентов qт Φ1 1…1 1Γ из (n k) элементов для равномерных подынтервалов. В случае не равномерных подынтервалов этот вектор пред

ставим в виде qт [ t1max ... tnmax ].

В итоге проблема оптимальной много витковой коррекции поддержания формулиру ется как задача классического линейного про

граммирования: найти вектор Х, минимизи рующий линейный функционал

J min (qт X )

(2.4.25)

при линейных ограничениях в виде равенства (2.4.24), неравенства (2.4.22) и неотрицатель ных значениях всех элементов вектора Х:

0 5 V ( j ) 5 V	i max	.	(2.4.26)
i

Вподобной формулировке задача имеет весьма высокую размерность (тысячи десятки тысяч переменных). Современные методы ли нейного программирования высокого порядка, использующие алгоритмы внутренней точки [3], позволяют эффективно решать подобные задачи.

Впостановке с дискретизацией по време ни каждый подынтервал рассматривается не зависимо от других как в части времени рабо ты двигателя, так и в части ориентации векто ра тяги. Поэтому полученное решение требует специальной обработки, заключающейся в объединении последовательности смежных интервалов с максимальными продолжитель ностями в один непрерывный маневр [5, 7]. Критерием включения в обработку является наличие ненулевых компонент вектора Х. Да лее для выбранных компонент вектора Х, от носящихся к одному подынтервалу, уточняет ся ориентация вектора тяги. В непрерывной последовательности смежных подынтервалов, кроме первого и последнего, все внутренние подынтервалы должны иметь максимальную продолжительность, а первый и последний по дынтервалы при неполной продолжительности сдвигаются соответственно вправо и влево. Та ким образом может быть получен конечный набор непрерывных маневров.

Целью управления для высокоэллипти ческой орбиты типа «МОЛНИЯ» [7] являет ся сохранение трассы полета КА относитель но Земли и близких к номинальным значе ниям орбитальных элементов наклонения

орбиты iN, аргумента перигея N и эксцен триситета eN. Коррекция орбитального пе риода Т (или большой полуоси орбиты а) в явном виде не требуется, поскольку он ста билизируется при коррекции трассы. КА имеет двигательную установку с малой тягой

ивозможностью ориентации вектора тяги в произвольном направлении плоскости мест ного горизонта (рис. 2.4.7).

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПОДДЕРЖАНИЕ ВЫСОКОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ	163

Курсовой угол отсчитывается от про екции вектора скорости на эту плоскость. Поскольку при длительном интервале под держания обеспечение требуемой долготы восходящего узла на конец интервала может не обеспечивать выполнение требований по отклонению долготы внутри этого интерва ла, вектор прицельных параметров должен быть расширен путем введения в него до полнительных условий по долготе восходя щего узла во внутренних точках этого ин тервала.

Рис. 2.4.7. Ориентация вектора тяги

условий (2.4.19) Pfт

N 30 ], где IN — на

— аргумент перигея; орбиты; N — номиналь долготы восхо Частные производные ор определяются на основе движения (2.2.50).

вид:

i ;

(2.4.27)

j

ri sinui cos IN

a

t

;

sin IN

p

i

(2.4.28)

0e

1

[(p r )cosu

i

r e]cos a

t

,

(2.4.29)

0V ( j )

h

i

i

j p

i

i

где h .p, p aN (1 eN2 ) — соответственно ин теграл энергии и параметр орбиты, соответст вующие номинальной орбите; аN — номиналь ное значение большой полуоси; ti — длитель ность i го подынтервала; ui — аргумент широ ты, ui ; N i ; i — истинная аномалия; ri — модуль радиус вектора.

Производная для географической долго ты узла имеет вид:

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

164	Глава 2.4. УПРАВЛЕНИЕ И ПОДДЕРЖАНИЕ ОРБИТ КА

0 N

0 N (ti ) 0T

0a

,

(2.4.30)

0V ( j )

0T

0a 0V

( j )

i

i

где

0 N ;

(t

f

t

) /T ;

(2.4.31)

0T

з

i

0T

3.

;

(2.4.32)

0a

aN4

. / aN3

0a

2a2 P

N

cos

j

a

t

;

(2.4.33)

0Vi( j )

hri

p

i

з — угловая скорость вращения Земли. Поскольку орбита является эллиптиче

ской, то для дискретизации по времени пред

почтительней использовать неодинаковые по времени подынтервалы — меньшие в окрест ности перицентра и б льшие в окрестности апоцентра. Каждый виток разделяется на оди наковые по изменению на подынтервале зна чения истинной аномалии, а соответствующие границам подынтервалов времена рассчитыва ются по параметрам номинальной орбиты на основе уравнения Кеплера.

В качестве примера приводятся результа ты для орбиты с критическим наклонением IN 63,4 , суточным орбитальным периодом tN 86 164s, эксцентриситетом eN 0,27 и аргу ментом перигея N 90 . Точность удержа ния трассы в восходящем узле орбиты равна

Рис. 2.4.8. Изменение	элементов на годовом интервале:
а — долготы восходящего узла N; б —	орбиты I; в — аргумента перицентра ; г — экс
	центриситета е

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПОДДЕРЖАНИЕ ВЫСОКОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ	165

Рис. 2.4.9. Характеристики распределения маневров по виткам для месячного периода с максимальными затратами топлива:

1, 2, 3 — углы курса 44…50; 155…209; 312…320 град. соответственно

/1 , интервал поддержания составляет 30 сут. Внутренние точки для условий по долготе вос ходящих узлов рассчитывались через 10 и 20 суток. Реактивное ускорение принималось равным ар 1 10 8 км/с2.

При расчете отклонений для невозму щенной траектории учитывались нецентраль ность гравитационного поля Земли (гармони ки до 12 го порядка включительно для модели гравитационного поля Земли), гравитацион ные возмущения от Луны и Солнца и давление солнечного света. Результаты моделирования на годовом интервале (последовательное ре шение 12 задач поддержания, каждая с 30 дневным интервалом) показаны на рис. 2.4.8, где представлены изменения долго ты восходящего узла N (рис. 2.4.8, а), накло нения орбиты I (рис. 2.4.8, б), аргумента пери центра (рис. 2.4.8, в) и эксцентриситета е (рис. 2.4.8, г) при наличии коррекций орбиты (сплошные толстые линии) и пассивном полете (тонкие линии). В целом лунно сол нечные возмущения существенно зависят от эпохи и положения орбиты в инерциальном пространстве, это приводит к существенному различию характера орбитальных маневров в течение года. Месячные затраты на поддержа

ние орбиты составляют VX 2,9…7,9 м/с, а суммарные за год — VX год 58 м/с.

Характеристики распределения маневров по виткам для месячного периода с макси мальными затратами топлива показаны на рис. 2.4.9 в виде закрашенных прямоугольни ков с высотой, соответствующей их длитель ности. Интенсивность фона закраски соответ ствует значению курсового угла по верти кальной шкале, находящейся справа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Назаренко А.И., Скребушевский Б.С. Эво люция и устойчивость спутниковых систем. М.: Машиностроение, 1981. 284 с.

2.Попович П.Р., Скребушевский Б.С. Бал листическое проектирование космических сис тем. М.: Машиностроение, 1987. 240 с.

3.Схрейвер А. Теория линейного и цело численного программирования. М.: Мир, 1991.

Т.1. 360 с.

4.Чернявский Г.М., Бартенев В.А. Орби ты спутников связи. М.: Связь, 1978. 240 с.

5.Улыбышев Ю.П. Концепция множеств псевдоимпульсов для оптимизации траекторий космических аппаратов // Полет. 2008. № 2. С. 52–60.