Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

20	Глава 1.1. ВРЕМЯ И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

вают Body Coordinate System, а в формулах час то используется аббревиатура BCS.

Ориентация КА характеризуется положе нием осей ССК относительно ФСК. С другой стороны, ССК — базовая СК для определения расположения приборов и элементов конст рукции КА. Обычно ось X обычно направлена от хвостовой части, где расположен двигатель, к носовой вдоль главной оси аппарата. Если панели солнечных батарей (СБ) поворачивают ся, то ось Z обычно направлена вдоль оси по ворота, ось Y дополняет систему координат до правой тройки.

Геодезическая система координат. Геодези4 ческая система координат (ГеоСК) определяет положение объекта двумя угловыми парамет рами (широтой и долготой , а также высо той относительно поверхности Земли, задан ной эллипсоидом вращения.

Геодезическая широта точки — угол меж ду плоскостью экватора и нормалью к поверх ности Земли в этой точке. Диапазон измене ния широт — от 90 (Южный полюс) до 90 (Северный полюс).

Геодезическая долгота точки — угол меж ду плоскостями Гринвичского меридиана и меридиана, на котором находится рассматри ваемая точка. Геодезическая долгота отсчиты вается от Гринвичского меридиана на восток. Диапазон изменения долгот — от 0 (Гринвич ский меридиан) до 360 .

Стартовая система координат. Старто4 вую систему координат (СтСК) используют для описания движения КА на активном участке траектории. Для обозначения СтСК в формулах удобнее использовать англий скую аббревиатуру LCS (Launch Coordinate System).

Начало СтСК расположено в точке стар та ракеты4носителя (РН). Ось X направлена в сторону движения РН по касательной к про екции траектории на плоскость местного го ризонта в точке старта. Ось Y направлена в зе нит, ортогонально плоскости местного гори зонта. Ось Z дополняет систему координат до правой тройки: она ортогональна плоскости, касательной к плоскости орбиты КА в точке старта.

Система координат, связанная с фигурой небесного тела. Систему координат, связанную с фигурой небесного тела (СКНТ), применяют для работы с автоматическими межпланетны ми станциями в непосредственной близости к поверхности планеты, ее естественного спут

ника, астероида или кометы. В формулах для обозначения СКНТ используют английскую аббревиатуру CBCS (Celestial Body Coordinate System).

MAC рекомендовал [7] использовать для определения СКНТ угловые координаты Се верного полюса и положение первого мери диана рассматриваемого небесного тела (НТ). Угловые координаты Северного полюса, пря мое восхождение 0 и склонение 0 отсчитыва ют от осей ФСК J2000, т.е. от среднего эквато ра и точки весеннего равноденствия Земли эпохи JD 2 451 545,0 TDB. Положение перво го меридиана определяют углом W, который отсчитывается вдоль экватора планеты в вос

направлении, от точки пересечения экватора Земли СК J2000 с плоско экватора НТ до точки пересечения пер

меридиана с экватором НТ.

Угловые координаты 0, 0, полюс и угол W изменяются со временем. Увеличение W означает прямое вращение НТ, уменьшение соответствует обратному вращению.

1.1.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ

Порядок выполнения преобразований между описанными выше СК схематически представлен на рис. 1.1.2. Стрелками указаны допустимые переходы от одной СК к другой. Соответствующие алгоритмы описаны ниже. Используя прямые и обратные преобразова ния, можно осуществить переход из любой за

Рис. 1.1.2. Схема порядка выполнения преобразований между системами координат

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ	21

данной СК в любую другую путем последова тельного применения преобразований.

Переход от СК J2000 к ГСК. Если поло жение объекта в СК J2000 определено векто

ром rJ 2000 , то его положение в ГСК в момент времени, соответствующий юлианской дате

JD, выражает формула

r	AGCS	r	,	(1.1.6)
GCS	J 2000	J 2000

где AGCSJ 2000 — матрица перехода из СК J2000 в ГСК, которая вычисляется как произведение

четырех матриц:

AJGCS2000 MSNP,

(1.1.7)

где P — матрица прецессии, определяющая пе реход от среднего экватора и равноденствия фундаментальной эпохи J2000 к среднему эква тору и равноденствию текущей эпохи JD; N — матрица нутации в эпоху JD; S — матрица пово рота системы координат в плоскости истинного экватора на угол s, определяющий Гринвичское звездное время в эпоху JD; M — матрица, учи тывающая смещение положения мгновенного полюса Земли в эпоху t относительно междуна родного условного начала.

Обратное преобразование выполняется по формуле

r	(AGCS	)т r	,	(1.1.8)
J 2000	J 2000	GCS

где (AGCSJ 2000 )т — матрица, транспонированная по отношению к AGCSJ 2000 .

Элементы матрицы P вычисляются по

формулам:
p11 cos cos zcos sin sin z;
p12 sin cos zcos cos sin z;
p13	cos z sin ;
p21	cos sin zcos sin cos z;
p22	sin sin zcos cos cos z;				(1.1.9)
p23 sin z sin ;
p31	cos sin ;
p32	sin sin ;
p33 cos ,
где (2306,2181 139656, T			0	0,000139 T 2)T
		2		3	0
					;
(0,30188 0,000344 T0 )T 0,017998 T

00,000139 T02)T(109468, 0,000066 T0 )T 2 0,018203 T 3 ;

(2004,3109 0,85330 T0 0,000217 T02)T( 0,42665 0,000217 T0 )T 2 0,041833 T 3 ,z (2306,2181 139656, T

T0 ,T — интервалы времени, выраженные в юлианских столетиях:

T	0	JDstart J2000		; T JDend		start ,
			36 525		36

здесь JDstart — фиксированная эпоха, соответст вующая начальному времени; J2000 — базовая эпоха; JDend — эпоха, соответствующая текуще му времени.

Если JDstart соответствует базовой эпохе J2000, то выражения для , z, в радианах при обретают вид:

0,011180860TTDB 1,464 10 6TTDB2

8,7 10 8TTDB3 ;

z 0,011180860T	5,308 10 6T 2
TDB	TDB		(1.1.10)

8,9 10 8TTDB3 ;

0,009717173TTDB 2,068 10 6TTDB2

2,02 10 7TTDB3 ,

где TTDB — число юлианских столетий от базо вой эпохи J2000 в системе TDB.

Элементы матрицы N вычисляют по фор мулам:

n11	cos ;
n12	sin cos 0 ;
n13	sin sin 0 ;
n21	sin cos ;
n22	cos cos cos 0 sin sin 0 ;	(1.1.11)
n23 cos cos sin 0 sin cos 0 ;
n31	sin sin ;
n32	cos sin cos 0 cos sin 0 ;

n33 cos sin sin 0 cos cos 0 ,

где — нутация в долготе; 0 — средний на клон эклиптики к экватору, вычисляемый по формуле 0 0,4090928042 0,2269655 10 3TTDB

2,86 10 9TTDB2 8,80 10 9TTDB3 ; — истинный наклон эклиптики к экватору, вычисляемый по

из теории нутации, принятой МАС,

где — нутация в наклоне.

в долготе и наклоне находят из

разложений:

106

(Ai BiTTDB )sin(a1i ML i 1

a2i MS a3iuL a4iDS a5i L); (1.1.12)

106

(Ci DiTTDB )cos(a1i ML i 1

a2i MS a3iuL a4iDS a5i L),

TUT 1

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

22	Глава 1.1. ВРЕМЯ И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

где ML — средняя аномалия Луны, ML

2,355548394 (1325 2 3,470890873)TTDB

1517952, 10 4TTDB2 3103, 10 7TTDB3 ; MS — сред

няя

аномалия

Солнца,

MS 6,24003594

(99 2 6,2666106)T

2,7974 10 6T

2

5,82

10 8T 3

TDB

TDB

— средний аргумент широты Лу

TDB

ны,

uL

1627901934 (1342 2 1,431476084)

T

6

10 5T 2

5,34 10 8T

3

; D

—

TDB

TDB

TDB

S

разность

х долгот

Луны

и

Солнца,

DS 5198469514,

1236 2 5,36010650 TTDB

3,34086 10 5T 2

9,22

10 8T 3 ;

L

— долго

TDB

TDB

та восходящего узла средней Лунной орби ты, L 2,182438624 (5 2 2,341119397)TTDB

3,61429 10 5TTDB2 3,88 10 8TTDB3 .

Втабл. 1.1.3 приведены значения коэф

фициентов Ai , Bi , Ci , Di , a1i , a2i , a3i , a4i , a5i для первых 15 членов разложения (1.1.12).

Полный набор коэффициентов содержится в [8].

Матрица поворота S имеет вид

	cos Sa		sin Sa	0
S			cos Sa
	sin Sa			0 ,	(1.1.13а)
		0	0	1

где Sa — значение Гринвичского истинного звездного времени в эпоху, определенную юли анской датой JD, Sa Smean cos .

Гринвичское среднее звездное время Smean вычисляется по формуле

Smean 1,7533685592 628,3319706889TUT 16,7707139 10 6TUT2 1 4,50876 10 10TUT3 1

1,002737909350795 2 (JDUT1 JD0),

где JDUT 1 JD (32,184 UTC UT1) / 86 400;UTC — разница между шкалами време

ни UTC и TDB; UT1 — поправка за переход от всемирного координированного време ни UTC к универсальному времени UT1;

JDUT 1 2 451545,0. 36525

Матрица M имеет вид
		cos x p	0	sin x p
M			cos y p
	sin x p sin y p			cos x p sin y p ,
	sin x p cos y p		sin y p	cos x p cos y p

(1.1.13б)

где x p и y p — координаты Северного полюса Земли, зависящие от времени и вычисляемые с использованием таблиц.

Переход от ГСК к МТСК. Преобразова ние радиус вектора объекта r, заданного в ГСК в МТСК 1, связанную с заданным пунк

1.1.3. Коэффициенты нутации в теории МАС 1980, эпоха J2000

i	a	a	2i	a	3i	a	a	5i	A (10 4)	B (10 4)	C	(10 4)	D
	1i					4 i			i	i	i		i
1	0	0		0		0	1		171 996	174,2	92 025
2	0	0		2		2	2		13 187	1,6		5 736	3,1
3	0	0		2		0	2		2 274	0,2		977	0,5
4	0	0		0		0	2		2 062	0,2		895	0,5
5	0	1		0		0	0		1 426	3,4		54	0,1
6	1	0		0		0	0		712	0,1		7	0
7	0	1		2		2	2		517	1,2		224	0,6
8	0	0		2		0	1		386	0,4		200	0
9	1	0		2		0	2		301	0		129	0,1
10	0	1		2		2	2		217	0,5		95	0,3
11	1	0		0		2	0		158	0		1	0
12	0	0		2		2	1		129	0,1		70	0
13	1	0		2		0	2		123	0		53	0
14	1	0		0		0	1		63	0,1		33	0
15	0	0		0		2	0		63	0		2	0

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ	23

Рис. 1.1.3. Переход от Гринвичской системы координат к местной топоцентрической системе координат МТСК 1

том, расположенным на поверхности Земли, определяется формулой

r	ANEZ (r r	p	),	(1.1.14)
NEZ	GCS

где rp {x p , y p , zp } — радиус вектор наземного пункта в ГСК; rNEZ — вектор, определяющий положение объекта в МТСК 1.

На рис. 1.1.3 представлен переход от ГСК к МТСК 1. На рисунке схематически изображена Земля, поверхность которой представлена эллипсоидом вращения. Буква ми X, Y, Z обозначены оси базовой ГСК. Оси МТСК 1 определяются единичными векто

рами ex , ey , ez .

Матрицу ANEZGCS вычисляют с использова нием следующего алгоритма:

1. Рассчитывают вспомогательные вели чины

	c		1	;			(1.1.15)
			1
rp x p2 y p2 c4 zp2 ;							(1.1.16)
f			x p2 y p2 ,				(1.1.17)

где 0,0033528037 — геометрическое сжатие Земли.

2. Определяют единичные векторы осей МТСК 1:

!

y p

c

2

zp

;

e

{ex

,

ey

,

ez }

x p

,

,

(1.1.18)

z

z

z

z

r

r

r

p

p

p

#

!

y

p

x

p

{eyx , eyy ,

eyz };

ey

,

, 0

(1.1.19)

#

f

f

ex

{ez ey } {exx ,

exy ,

exz }.

(1.1.20)

3.Формируется матрица перехода из ГСК

вМТСК 1:

			x	y	z
		ex		ex	ex
ANEZ				ey	ez		(1.1.21)
		ex				.
GCS			y	y	y
			x	y	z
		ez		ez	ez

Преобразование радиус вектора объекта r, заданного ГСК в системе координат МТСК 2, осуществляют аналогично:

r	ANZE (r r	p	).	(1.1.22)
NZE	GCS

Однако при формировании матрицы вто рую и третью строки меняют местами:

			x	y	z
		ex		ex	ex
ANZE				ey	ez		(1.1.23)
		ex				.
GCS			z	z	z
			x	y	z
		ey		ey	ey

Обратное преобразование производят по формулам:

r r	(ANEZ )т r		;	(1.1.24)
p	GCS	NEZ
r r	(ANZE )т r .			(1.1.25)
p	GCS	NZE

Переход от ГСК к ГеоСК (рис. 1.1.4). По заданному в ГСК радиус вектору объекта r{x, y, z} определение широты , долготы и высоты h объекта относительно поверхности представленной эллипсоидом враще осуществляется с использованием сле

алгоритма:

1. Рассчитывают модуль вектора r и мо дуль его проекции на плоскость XY :

r x 2		y 2 , r x 2 y 2 z2 .				(1.1.26)
xy

Рис. 1.1.4. Переход от Гринвичской системы координат к геодезической системе координат

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

24	Глава 1.1. ВРЕМЯ И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

2. Вычисляют высоту объекта над поверх ностью элипсоида:

		z	2
&				)	(1.1.27)
h r Re &1		r	2	),
%				(

гдеRe 6 378,1363 км — экваториальный радиус Земли; 0,0033528037 — геометрическое сжа тие Земли.

3. Определяют сферическую широту объ

екта:

			z
	arctg	&		)	(1.1.28а)
	0	& r		)
		%	xy	(

4. Вычисляют геодезическую широту объ

екта:

			h zrxy
2 &1				)		,	(1.1.28б)
0	%		r (		r 2

где размерность углов , 0 — радианы. 5. Определяют долготу объекта:

с использованием стандартной функции ATAN2, которая определяет угол по значениям его sin и cos в диапазоне от до :

					y			x
0		ATAN2	&			,			)	(1.1.29)
			& r				r		)
			%		xy			xy	(
если 0 0, то 0 ,
если 0 + 0, то 0 2 ,										(1.1.30)

где размерность углов , 0 — радианы.

Обратное преобразование, определение координат объекта в ГСК по его широте, дол готе и высоте над поверхностью Земли, вы полняют следующим образом:

1. Вычисляют модуль проекции Rxy коор динат объекта на плоскость XY:

rxy		Re cos	,
		cos2 (1 )2 sin2	(1.1.31)

Rxy rxy hcos .

2. Рассчитывают координаты объекта в СК GSC:

x Rxy cos , y Rxy sin ,
		R (1 )2		(1.1.32)
z		e	h sin .
		cos2 (1 )2 sin2

Переход от ИСК J2000 и ГСК к ОСК. На правление осей ОСК связано с радиус векто ром и вектором скорости КА. Компоненты вектора скорости КА имеют различные значе ния в инерциальной СК J2000 и во вращаю щейся ГСК, но переход в ОСК производится по одним и тем же формулам. Ниже приведе ны формулы для преобразования координат объекта из базовой СК (ИСК J2000 или ГСК) в орбитальную.

Пусть r{x, y, z} — координаты, v{vx , vy , vz } — компоненты вектора скорости КА в базовой СК, r obj — координаты како го либо объекта в базовой СК, rOCSobj — коорди наты этого же объекта в ОСК. Перевод коорди нат объекта в ОСК осуществляют следующим образом.

1. Вычисляют единичные векторы осей

ОСК

	ey {eyx ,			eyy ,	eyz }		r	;			(1.1.33)
							r
	ez {ezx , ezy , ezz }					r v				;	(1.1.34)
						| r v |
	ex {exx , exy , exz } ez ey ,										(1.1.35)
где r	x 2 y 2 z2 — модуль вектора r.
2. Формируется матрица перехода в ОСК:
				x	y		z
			ex		ex	ex
	AOCS				ey	ez					(1.1.36)
		ex							.
	Base			y	y		y
				x	y		z
			ez		ez	ez
3. Осуществляют переход в ОСК:
	robj	AOCS			(r obj r).						(1.1.37)
	OCS			Base
Обратное преобразование производят по
формуле
	robj r (AOCS )т robj .										(1.1.38)
				Base		OCS
Переход от ИСК J2000 и ГСК к СкСК.
Пусть	r {x, y, z}		—		радиус вектор, а v

{vx , vy , vz } — вектор скорости КА в базовой системе координат (ИСК J2000 или ГСК),

rBaseobj — координаты какого либо объекта в ба зовой системе координат, rVCSobj — координаты

этого же объекта в СкСК. Перевод координат объекта в СкСК осуществляют следующим об разом:

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЖДУ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ

25

1. Вычисляют

единичные векторы осей

cos

0

sin

cos

sin

0

СкСК:

где A 0

1

0

; A

sin

cos 0 ;

sin

0

cos

0

0

1

v

2

2

2

(1.1.39)

vx

vy vz ;

1

0

0

v

ex {exx , exy , exz }

;

(1.1.40)

A, 0

cos ,

sin , .

v

ez {ezx , ezy , ezz }

r v

;

(1.1.41)

0

sin ,

cos ,

Непосредственно матрицу AOCSBCS

| r v |

записы

ey {eyx , eyy , eyz } ez ex .

(1.1.42)

вают в форме

cos cos

sin

sin cos

ABCS

sin cos , cos sin sin ,

cos cos ,

sin

sin cos sin , .

OCS

sin sin , cos cos , sin

sin , cos

sin

sin , cos , cos

2. Формируют матрицу перехода в СкСК:

	x	y	z
ex		ex	ex
		eyy	eyz
AVCSBase eyx				.	(1.1.43)
	x	y	z
ez		ez	ez

3. Осуществляют переход в ОСК:

robj	AVCS	(robj	r).	(1.1.44)
VCS	Base	Base

Обратное преобразование производят по формуле

r obj	r (AVCS )т r obj .	(1.1.45)
Base	Base VCS

Обратное преобразование производят по формуле

r	(ABCS )т r		.	(1.1.48)
OCS	OCS	BCS

Переход от МТСК к СтСК. Начала МТСК и СтСК совпадают между собой и рас положены в точке старта. Преобразование ко ординат между этими системами определяются матрицей поворота, зависящей от азимута за пуска .

Если rNZE — координаты какого либо

объекта в МТСК 2. Координаты		SCS этого
объекта в СтСК SCS (Start		System)
определяют по формуле
r	ASCS r .	(1.1.49)
SCS	NZE NZE

Переход от ОСК к ССК. Начала ОСК и ССК совпадают между собой и расположены в центре масс КА, поэтому преобразование координат между этими системами определя ют только матрицей поворота, которую ха рактеризуют три угловых параметра: — угол курса, угол между проекцией оси Х ССК на плоскость XZ ОСК; — угол тангажа, угол между осью Х ССК и плоскостью XZ ОСК; , — угол крена, угол между осью Y ССК и проекции оси Y ОСК на плоскость YZ ОСК.

Пусть rOCS — радиус вектор какого либо объекта в ОСК. Радиус вектор rBCS этого объ екта в ССК определяются по формуле:

r	ABCS r	.	(1.1.46)
BCS	OCS OCS

Матрицу ABCSOCS вычисляют как произведе ние трех матриц

AOCSBCS A, A A ,

(1.1.47)

Элементы матрицы ASCSNZE записывают в

форме
	cos		0	sin
ASCS		0	1	0 .
NZE
	sin		0	cos

Обратное преобразование		производят по
формуле
r	(ASCS )т r	.	(1.1.50)
NZE	NZE SCS

Переход от J2000 к СКНТ. Пусть rJ 2000 —

радиус вектор объекта в геоэкваториальной геоцентрической СК J2000, тогда его положе ние rCBCS в СКНТ, связанной с экватором и нулевым меридианом НТ определяют форму лой

r	B(r	rBC	),	(1.1.51)
CBCS	J 2000	J 2000

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

26	Глава 1.1. ВРЕМЯ И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

где rJBC2000 — положение центра масс НТ относи тельно центра масс Земли в СК J2000; B — мат

рица перехода от СК J2000 к СКНТ.

Если в момент времени t известны коорди

Северного полюса 0 0 (t), 0 0 (t) иW (t), определяющий положение перво

го меридиана НТ, то матрицу перехода B можно представить как произведение двух матриц:

B RQ,

(1.1.52)

3.Fliegel H.F., Van Flandern T.C. A Machine Algorithm for Processing Calendar Dates // Com munications of the ACM. 1968. V. II. P. 657.

4.Kovalevsky J., Lindegren L., Perryman M.A.C., et al. The HIPPARCOS Catalogue as a Realisation of the Extragalactic Reference Sys tem // Astronomy and Astrophysics. 1997. V. 323. P. 620–633.

5.Ma C., et al. The International Celestial Ref erence Frame as Realized by Very Long Baseline In

		cos(90 0 )	sin(90 0 )		0		cosW		sinW	0
где Q			cos(90 0 ) cos(90 0 )
	sin(90 0 ) cos(90 0 )				sin(90 0 ) ; R		sinW		cosW	0 .
	sin(90 0 ) sin(90 0 )		cos(90 0 ) sin(90 0 )		cos(90 0 )			0	0	1

В работе [7] содержатся рекомендован ные параметры, определяющие изменение во времени величин 0 , 0 и W для различных НТ. В табл. 1.1.4 приведены данные значения для некоторых НТ, интересных с точки зрения баллистического проектирования полетов КА. T обозначает интервал времени, выраженный в юлианских столетиях (36 525 сут) от стан дартной эпохи JD 2 451 545,0; d — интервал, выраженный в сутках от той же эпохи.

terferometry // Astronomical Journal. 1998. V. 116.

P.516–546.

6.Arias E.F., Charlot P., Feissel М., et al.

The Extragalactic Reference System of the International Earth Rotation Service //

Astronomy and Astrophysics. 1995. V. 303.

P.604–608.

7.Seidelmann P.K., Abalakin V.K., et al.

Report of the IAU / IAG Working Group on Cartographic Coordinates and Rotational Ele

1.1.4. Величины a0, d0 и W для некоторых небесных тел

Небесное тело	0, град	0, град			W , град
Солнце	286,13	63,87		84,10	14,1844000d
Меркурий	281,01 0,033T	61,45 0,005 T		329,548 6,1385025d
Венера	272,76	67,16		160,20 1,4813688d
Марс	317,6814 0,1061T	52,8865	0,0609T	176,753	350,89198226d
Юпитер	268,05 0,009T	64,49	T	284,95	870,5366420d
Сатурн	40,589 0,036T	83,537	T	38,90 810,7939024d
Уран	257,311	15,175		203,81	501,1600928d
Нептун	299,36 0,70 sin N	43,46 0,51 cos T		253,18 536,3128492d 0,48 sin N
Плутон	313,02	9,09		236,77 56,3623195d

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Seidelmann P.K., Guinot B., Dogget L.E.

Time // Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. 1992. U.S. Naval Observatory, University Science Books, Mill Valley, CA. Ch. 2. P. 39–93.

2.Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. С. 149–174.

ments of the Planets and Satellites: 2000 // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2002. № 82(1). P. 83–111.

8. Kaplan G.H. (ed.) The IAU Resolutions on Astronomical Constants, Time Scales, and the Fundamental Reference Frame: USNO Circular No. 163. U.S. Naval Observatory, Washington DC. 1981. P. 20–27.