Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

118	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

Рис. 2.3.1.	полета КА
Пусть перелет	происходит вблизи
некоторых небесных	Bj, движение цен

тров масс которых задается функциями rj(t), Vj(t), описывающими изменение со време нем их радиус векторов и векторов скорости (рис. 2.3.1), где М0, Мf — начальная и конеч ная точки траектории перелета соответствен но.

При полете КА должны выполняться ог раничения на расстояния до данных небесных тел:

2 j (r(t),t) / 2 j min ; j 1, 2, …, N1,

(2.3.16)

где N1 — число тел, при движении около кото рых в данных неравенствах достигаются равен ства

2 j | rj |, rj (t) r(t) rj (t), (2.3.17)

2j, rj — расстояние от КА до центра j го не бесного тела и радиус вектор КА относитель но этого тела соответственно, 2j min — задан ные предельные расстояния подлета к телам, учитывающие их радиусы, толщину атмосфер ного слоя, точность знания движения вблизи тела. Для j2го тела в момент tj в огра ничении:

2j(r(tj), tj) 2j(tj) 2j min, j 1, 2, …

(2.3.18)

В этом случае говорят, что траектория «выхо дит» на это фазовое ограничение (2.3.16).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Аппазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.П.

Баллистика управляемых ракет дальнего дейст вия. М.: Наука, 1966. 308 с.

2.Дмитриевский А.А., Казаковцев В.П., Ус тинов В.Ф. и др. Движение ракет. Введение в

теорию полета ракет / под ред. А.А. Дмитриев ского. М.: Воениздат МО СССР, 1968. 464 с.

3.Эльясберг П.Е. Введение в теорию ис кусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965. 540 с.

4.Эскобал П. Методы определения орбит

/пер. с англ. М.: Мир. 1970. 472 с.

2.3.4.НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРЕЛЕТА

Случай конечной тяги. Необходимые условия оптимальности (НУО) перелета формулируются с помощью дополнительных переменных ( x,

y, z, Vx, Vy, Vz, m, t), сопряженных к со ответствующим координатам фазового вектора

x(x, y, z, Vx, Vy, Vz, m, t) и называемых сопряжен2 ными переменными [1–10]. Они являются функ

циями времени, рассматриваемыми на всей тра

ектории. Векторы yr(t) s ( x, y, z)т ( 1,2, 3)т и yV(t) p ( Vx, Vy, Vz)т ( 4, 5, 6)т

будут сопряженными к радиус вектору r и век тору скорости V соответственно, а вектор y(t)

( x, y, z, Vx, Vy, Vz, m, t) будет сопря женным к фазовому вектору x. Сопряженный к

скорости вектор yV называют базис вектором p (primer vector по [3]) ввиду его важности для оп ределения оптимального управления.

Перечень НУО.

1. Вектор функция V(t) непрерывна и дифференцируема на всей траектории; функ ции r(t) и t непрерывны и дифференцируе мы везде, кроме моментов tj выхода траекто рии на фазовые ограничения, там функцииr(t) и t могут иметь скачки:

dyr

N 1

g r (r, t)т 3V )(t t j )4(t)e2j (t);

dt

j 1

dyV

3r ;

dt

d3t

N

g t (r, t)3V 1 )(t t j )4(t)V2j ;

dt

j 1

d3m

P

| 3

d(m3m )

P

| 3

|

m3m

V

|;

V

,

2

dt

m

dt

c

m

(2.3.19)

где g r (r, t) — матрица частных производных от компонент ускорения g(r, t) (gx, gy, gz)т (g1, g2, g3)т по декартовым координатам точки; N1 —

число небесных тел, при движении около кото рых траектория выходит на ограничение:

4(t j ) / 0; 4(t) 0, если 2 j (r, t) 2 j min ; (2.3.20)

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРЕЛЕТА	119

g t (r, t) — вектор частных производных от компонент ускорения g(r, t) по времени t; e j — единичный вектор, направленный по радиусу rj, противоположно ему происходит скачок вектора yr:

e2j rj / 2 j (e2j1, e2j 2, e2j 3 )т

(2 jx / 2 j , 2 jy / 2 j , 2 jz / 2 j )т ; (2.3.21)

V2j — проекция скорости j й планеты на направление вектора rj:

V2j (V j , e2j );

(2.3.22)

Р — тяга двигателя КА.

В моменты tj выхода на ограничения по расстоянию функции yr(t) и t(t) раз рывны:

yr (t j 0) yr (t j 0) 5yr yr (t j 0) 4(t j )e2j (t j );

3t (t j 0) 3t (t j 0) 4(t j )V2j .

(2.3.22а)

Для перехода к скалярной записи уравне ний (2.3.19) для сопряженных переменных

обозначим r

. (x, y,

z)т (x

,

x ,

x )т. Тогда

1

2

3

уравнения запишутся в виде:

d3k

3

gl

N 1

3l 3 )(t t j )4(t)e2jk(t);

dt

l 1

xk

j 1

k 1, 2, 3;

d3

k 3

3k ; k 1, 2, 3;

dt

d3

3

g

N 1

t

l 3l 3 )(t t j )4(t)V2j (t).

dt

l 1

t

j 1

(2.3.22б)

Здесь l — индекс суммирования по координатам векторов g и V, он меняется от 1 до 3.

Функции m, m m /c — неубывающие. Их конечные значения в силу максимизации конечной массы КА положительны. Прини мается

m(tf) m (tf)/c w(tf) 1;

(2.3.23)

здесь m(tf) — значение массы КА в конечный момент времени tf; w — переменная, сопря женная к характеристической скорости w, ко нечное значение которой минимизируется вме сте с максимизацией массы.

Для оптимальной траектории имеет место

H0(t) H1(t)Popt /m 0, t0 # t # tf; (2.3.24)

H1 . 7yV(t)7 m(t) m(t)/c;

H0 . 6(P 0)

(yr(t), V(t)) (yV (t), g(r(t), t)) t(t)

H(t) t(t);

H . (yr, V) (yV, g).

Это определяет сопряженную ко времени переменную t через Гамильтониан H(t) и функцию переключения H1:

t (t) H(t) H1(t)Popt /m. (2.3.25)

2. Оптимальная величина силы тяги оп ределяется функцией переключения H1:

(t) Pmax, если H1(t) 0;

Popt (t) 0, если H1(t) 0; (2.3.26) 0 # Popt (t) # Pmax, если H1(t) 0.

Моменты включения и выключения тяги определяются условием H1(t) 0.

Величина силы тяги определяется одно значно лишь при H1(t) 0 0. Теория оптималь ного управления для общего случая перелета с ограниченной тягой допускает существование на оптимальной траектории трех типов управ ления:

пассивные участки нулевой тяги, где

H1(t) 0;

активные участки максимальной тяги, где

H1(t) 0;

активные участки промежуточной тяги,

где H1(t) . 0.

В последнем случае для определения тяги последовательно дифференцируется уравнение H1( , x) 0, пока в выражение d nH1/dt n 0 не войдет тяга P (n 4). Такие особые дуги проме жуточной тяги построены, например, для слу чая кеплеровского поля [3]. Обычно для косми ческого полета они неоптимальны. Здесь будем рассматривать обычный случай перелета, когда на оптимальной траектории имеется несколько активных участков максимальной тяги, разде ленных дугами пассивного полета.

3. Вектор тяги двигателя направлен вдоль базис вектора:

P(t)		yV (t)	.	(2.3.27)
P(t) | yV (t)|

4. В точке выхода на ограничение, при

2j(r(tj), tj) 2j min, траектория касается гранич ной сферы:

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

120	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

	d j(tj) /dt 0, t0 + t j + t f .	(2.3.28)
	замене фазовых переменных сопря
	переменные меняются как ковариант
ный	. Так если от обычных фазовых пе

ременных (r, V, t) делается переход к некото

		~ ~	~	~	~
рым переменным (x1, x2,..., x6 ,t);				xi	xi (r,V ,t);
i 1,2,...,6,
~ ~	~	~	~	~	,t), (2.3.29)
r r(x1, x2,..., x6		,t), V V (x1, x2,..., x6

то сопряженные переменные (yr , yV , t ) из менятся на переменные ( 1, 2,..., 6 , t ), так что

~

~

, t)

~

, t)

0r(x j

0V (x j

i

&

,y

)

&

,y

);

i, j 1,2,...,6;

~

~

&

r )

&

V

)

%

0xi

(

%

0xi

(

~

~

~

0r(x j ,t)

0V (x j ,t)

t

t

&

,

r

)

&

,

).

(2.3.30)

&

0t

)

&

0t

V )

%

(

%

(

6. В

начале

и

конце перелета

могут

быть заданы не точки, а некоторые многооб разия, например, элементы орбит. Тем самым будет задана сувокупность равных нулю функ ций:

i(r0, V0, t0, rf, Vf, tf) 0, i 1, 2, …, N2. (2.3.31)

Здесь N2 — число независимых функций i от начальных и конечных переменных, задающих условия в виде равенств в начале и конце пе релета.

Кроме того, могут быть заданы также не которые ограничения в виде неравенств:

i(r0, V0, t0, rf, Vf, tf) 5 0,

i N2 1, N2 2, …, N2 N3. (2.3.32)

Здесь N3 — число таких условий в виде нера венств.

Тогда должны будут выполняться усло вия трансверсальности, связывающие через множители Лагранжа значения сопряженных переменных и фазовых координат на концах перелета:

y	N 2 N 3		0Μ	т			N 2 N 3		0Μ	т	,
		b &	i	) ; y	f			b &	i	)
0		i &	0x0	)				i &	0x f	)
	i 1	%		(			i 1	%		(

(2.3.33)

причем

bi 5 0; bi i 0; i N2 1, N2 2, …, N2 N3. (2.3.34)

Если условия j не зависят от некоторой переменной, то соответствующая сопряженная переменная равна нулю.

7. Наиболее частым случаем анализа движения КА является движение в централь ном ньютоновском гравитационном поле. В п. 2.3.5 приведены особенности задачи для этого случая.

Импульсный случай. На оптимальной тра ектории в импульсном случае существует три типа управления:

пассивные участки нулевой тяги; точки приложения импульсов скорости; участки промежуточной тяги.

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда траектория состоит из несколь ких дуг пассивного полета и нескольких им пульсов скорости. НУО импульсного переле та [3–10] близки к НУО случая с конечной тягой. Особенности импульсного случая сле дующие:

1. Переменная m m теперь на всей траек тории постоянна:

m m	(t) w 1.	(2.3.35a)
c

т.е. переменная, сопряженная к характеристиче ской скорости w, w 1.

Для оптимальной траектории теперь име ет место связь:

H0(t) Λ (yr(t), V(t)) (yV (t), g(r(t), t)) t (t) 0,

t0 + t + tf,

(2.3.35б)

т.е. сопряженная ко времени переменная t оп ределяется Гамильтонианом H(t):

t (t) H(t) (yr, V) (yV, g).		(2.3.35в)
2. Модуль	базис вектора p(t) | yV (t)|
| p(t) | ограничен единицей:
p(t)	5 max | yV (t)| 1.	(2.3.36)
	t0 5t 5tf

В точках приложения импульсов достига ется абсолютный максимум базис вектора для всей траектории — принцип максимума для импульсных перелетов:

p(ti (ti )| max | yV (t)| 1; i 1,2,..., N.

t0 5t 5tf	(2.3.37а)
Для точек приложения импульсов выпол
няются соотношения:
p(t1) p(t2) ... p(tN ) max p(t) 1. (2.3.37б)
	t

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРЕЛЕТА	121

Данное условие, вместе с условиями (2.3.13), (2.3.13a), (2.3.19) последовательно связывает фазовые и сопряженные перемен ные в точках сообщения импульсов. Годограф базис вектора называют p траекторией. Со

гласно (2.3.37а), (2.3.	она лежит в пределах
единичной сферы,	точки приложения
импульсов скорости	соответствуют точкам

p траектории на этой сфере, а пассивные дуги соответствуют ее внутренним дугам.

3. Вектор импульса скорости, т.е. вектор силы тяги двигателя, направлен вдоль базис

вектора:
Vi	yV (ti )	y (t		) p(t	); i 1,2,..., N.
Vi	| yV (ti )|	V	i	i

(2.3.38)

Во внутренних по времени точках прило жения импульсов скорости, при t0 + ti + tf, мак симум модуля базис вектора — гладкий, т.е. d ΟyV (ti)Ο /dt 0. Годограф базис вектора в этих точках касается единичной сферы, поэтому в этих точках:

(yV (ti), yr(ti)) 0, t0 + ti + tf, (2.3.39)

причем

d 2ΟyV(ti)Ο /dt2 5 0;

y2r (ti ) (yV (ti ), gr (r, ti )т yV (ti )) 5 0. (2.3.40)

Если импульс скорости сообщается в начальный t t0 или в конечный t tf мо мент, то

(yV(t0), yr(t0)) 0, (yV(tf), yr(tf)) 5 0. (2.3.41)

Условия (2.3.38), (2.3.39) справедливы и при сообщении импульса на фазовой границе (2.3.18) [7].

4. Траектория и импульс скорости во внутренних по времени точках на границе ка саются сферы 7 j (r, t) 7 j min :

(e j, V(tj)) 0 при Α(tj) 6 0, t0 + tj + tf;	(2.3.42)
причем
d j(tj)/dt 0.	(2.3.43)

О применении НУО для определения и анализа оптимальных импульсных перелетов

Совокупность начальных условий, урав нений движения и НУО образует полную сис тему для определения неизвестных параметров

управления. В силу этого НУО могут взять за основу численного определения оптимального перелета путем построения и решения соот ветствующей краевой задачи.

Рассмотрим для примера случай перелета из точки в точку с N импульсами скорости Vi

в моменты ti, причем t1 t0, tN tf, с N1 точка ми выхода на ограничения в моменты tj при

Α(tj) 6 0. В качестве неизвестных параметров, определяющих траекторию, можно взять (4N2N1 6) параметров: шесть начальных со

пряженных переменных yr(t0) Λ yr0, yV(t0) Λ Λ yV0, 3N компонент импульсов скорости Vi

(1 5 i 5 N) и N моментов ti их сообщения, N1 моментов tj выхода на ограничения и N1 скач ков Α(tj) (1 5 j 5 N1 ). Им соответствуют (4N2N1 6) условий в виде равенств: шесть ко

нечных условий r(tf ) rf; V(tf ) Vf, N условий ΟyV (ti)Ο 1, 2N условий ориентации импульсов

вдоль базис векторов Vi / Vi yV(ti), два ус ловия для начального и конечного импульсов t1 t0, tN tf, N 2 условий для внутренних

импульсов (yV(ti), yr(ti )) 0, 1 + i + N, 2N1 ус ловий для точек контакта с ограничениями на

расстояния до планет d j(tj)/dt 0, j (tj) j min. Практически данная краевая задача ус

пешно решается при наличии достаточно хо рошего начального приближения.

НУО используют также для улучшения заданной неоптимальной импульсной траекто рии и численного определения оптимального перелета. Это делают варьированием парамет ров перехода и сопряженных функций с уменьшением невязок условий оптимальности как в рамках данной схемы перелета, введением новых импульсов скорости ках, где модуль базис вектора достигает симума, превышающего единицу [4, 8].

НУО используют также для построения семейства оптимальных перелетов, если из вестна хотя бы одна траектория семейства, на пример при специальных параметрах исход ных данных [7].

Применение НУО для анализа перелета с конечной тягой рассмотрено в п 2.3.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Breakwell L.V. Minimum impulse transfer // AIAA Progress in Astronautical series. 1964. V. 14.

Р.583–589.

2.Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журнал вычислительной математики и матема тической физики, 1965. Т. 5, № 3. С. 395–453.