Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПОНЯТИЕ КОСМИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА	111

4. Vallado D.A. Fundamentals	Astrodyna
mics and Applications. 2 nd Ed.	Press

&Kluwer Academik Publ., 2001. 958

5.Чернов А.А., Чернявский Г.М. Орбиты спутников дистанционного зондирования Зем ли. М.: Радио и связь, 2004. 199 с.

6.Chao C. C.G. Applied Orbit Perturbation and Maintenance, Reston, Virginia. AIAA, Inc., 2005. 264 p.

Глава 2.3

МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

2.3.1. ПОНЯТИЕ КОСМИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА. ПЕРЕЛЕТ С КОНЕЧНОЙ ТЯГОЙ, ИМПУЛЬСНЫЙ ПЕРЕЛЕТ

Космическим перелетом между орбита ми или маневром КА называют целенаправ ленное, управляемое изменение парамет ров движения КА, в результате которого КА перемещается с начальной траектории сво бодного движения в космическом простран стве (с начальной орбиты) на некоторую другую конечную траекторию (конечную орбиту).

Начальную и конечную орбиты КА назы вают исходными или заданными орбитами. Тра екторию, связывающую исходные орбиты, на зывают траекторией перелета.

Маневр космического перелета обычно осуществляется с помощью ракетной ДУ,

при включении которой	дополни
тельная сила — сила тяги	п. 2.3.2), ме

няющая в соответствии с уравнением Ме щерского скорость и КА по отно шению к свободному пассивному движению. Участок полета с работающим двигателем, с наличием силы тяги называют активным участком.

Число включений двигателя, моменты этих включений, направление вектора тяги и продолжительность работы двигателя при ка ждом активном участке определяют управле ние при перелете. Тяга двигателя ограничена, поэтому перелет с таким управлением назы вают перелетом с конечной или ограничен ной тягой.

В случае использования жидкостного ра4 кетного двигателя (ЖРД) или ракетного двига4 теля твердого топлива (РДТТ) продолжитель ность работы двигателя при космических ма

неврах, изменение радиус вектора КА и длина дуги траектории, где работает двигатель, обычно очень малы. При этом основное дей ствие двигателя при его работе сказывается на изменении вектора скорости и массы КА. По этому часто для анализа перелета используют идеализированную модель управления, в кото рой тяга неограниченно велика при ограниче нии сообщаемой характеристической скорости (см. п. 2.3.2).

Вданном предельном случае работа дви гателя на одном активном участке происходит

внеизменной точке пространства, радиус век тор КА постоянен, а мгновенное изменение вектора скорости и массы КА происходит в соответствии с формулой Циолковского (см. п. 2.3.2). При этом активный участок модели руется точкой. Такое мгновенное изменение вектора скорости КА называют импульсом скорости. При перелете космическому аппара ту обычно сообщается несколько импульсов скорости, а весь перелет в таком случае назы вают импульсным. Управление при импульс ном перелете — число сообщаемых импульсов скорости, моменты их приложений, векторы импульсов скорости (или их величины и еди ничные векторы, определяющие их ориента цию).

При использовании для космического перелета электрореактивного двигателя обыч но сообщаемое тягой ускорение очень мало. Поэтому такие перелеты часто называют пере летами с малой тягой.

Всовременных космических перелетах, особенно в межпланетных перелетах, кроме включений двигателя часто используются так называемые гравитационные маневры, впервые предложенные и исследованные советским ученым Ф.А. Цандером в 20 х го дах XX века [1]. В этом случае некоторое из менение параметров движения КА осущест вляется с помощью специально организо ванного близкого пролета около внешнего небесного тела и вызываемого этим пассив ного гравитационного возмущения. В этом случае управление — момент и параметры пролета КА у небесного тела, например, ко ординаты точки пролета в картинной плос кости, проходящей через центр масс этого тела перпендикулярно относительной ско рости КА при подлете к телу, обычно «на бесконечности» от него или на некотором большом расстоянии, например, на границе его сферы действия.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

112	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

Возможны и некоторые другие воздей ствия для организации перелета КА. Напри мер, при движении КА вблизи планеты с ат мосферой для управления могут быть ис пользованы аэродинамические силы, возни кающие при движении в атмосфере. Сейчас прорабатываются проекты полетов с исполь зованием солнечного давления для управле ния движением КА.

Обычно перелет между заданными ор

битами может	осуществлен различны
ми способами	этом случае рассматривает
ся задача	оптимальной траектории
перелета, т.	оптимального выбора управ

ляющих параметров перелета. Чаще всего при этом решается задача максимизации ко нечной массы КА при выполнении гранич ных условий на параметры исходных орбит, а также ограничений на траекторию переле та, определяемых конкретным проектом КА. Так, общим ограничением для перелетов вблизи планеты является ограничение на расстояние до ее центра, чтобы траектория КА прошла выше ее поверхности. Возможны и другие критерии оптимизации. В анализе проблемы предотвращения столкновения опасного астероида с Землей ударно кинети ческим воздействием КА при оптимизации перелета может определяться траектория КА, использование которой обеспечивает максимум отклонения астероида от Земли после воздействия КА.

Примеры перелетов КА

1. Перелет (переход) между орбитами в

сфере действия планеты. Часто под этим по нимается общий, произвольный способ зада ния начальных и конечных условий на пара метры движения КА. Иногда под перелетом между орбитами понимается случай задания первых пяти элементов орбит (определяющих размер, форму и пространственную ориента цию орбит, например, а, е, , i, ;, см. п. 2.2.1) без ограничения положения КА на орбитах. Если в начале или в конце перелета задаются точки радиус вектором и вектором скорости, то перелет называют перелетом из точки (или перелетом в точку). Аналогично, если и в на чале, и в конце перелета задаются точки — ра диус векторами и векторами скорости, то ино гда такой перелет называют перелетом из точ ки в точку.

2. Разгон КА для полета к другой планете, т.е. перелет с круговой или эллиптической ор

биты спутника планеты на гиперболическую орбиту с заданным вектором скорости «на бес конечности», т.е. предельную скорость на бес конечно большом расстоянии от планеты.

3.Захват КА при прилете с другой пла неты, т.е. перелет с гиперболической орбиты на орбиту спутника планеты или на орбиту с заданным значением высоты условного пери центра для входа в атмосферу планеты.

4.Встреча одного КА с другим, напри мер, с космической станцией.

5.Облет планеты, т.е. перелет между ги перболическими орбитами подлета к планете и отлета от нее.

6.Межпланетные перелеты.

7. Лунно4Земные перелеты, в частности,

–перелет с орбиты ожидания у Земли на орбиту спутника или поверхность Луны;

–перелет с орбиты спутника или поверх ности Луны к Земле;

–перелет с орбиты ожидания у Земли к Луне для ее облета и возвращения к Земле;

–перелет с орбиты ожидания у Земли к Луне для ее облета и дальнейшего полета к другой планете.

8. Коррекционные маневры. В этом случае исправляются ошибки работы двигателя выве дения КА на траекторию космического полета, ошибки предыдущих коррекций и определе ния орбиты по результатам траекторных изме рений.

9. Маневры «Поддержание орбиты». Они возникают при управлении движением долго функционирующих КА. Это имеет место, на пример, при обеспечении рабочих парамет ров долговременных околоземных орбиталь ных станций (Салют, Мир, МКС), КА связи

«Молния», КА на геостационарной ор ГСО, в СС связи и навигации, в совре

хсистемах связки нескольких близких спутников, называемых в иностранной лите ратуре «Formation flying». Для поддержания орбит часто применяют обычные методы ма невров, например, двухимпульсные маневры Гомана–Цандера [1, 2], см. п. 2.3.3–2.3.8. Для данной задачи применяют и некоторые спе циальные методы маневрирования [3–5].

Внастоящее время космические маневры выполняются, в основном, с помощью ракет ных двигателей, создающих реактивную тягу. Поэтому сначала рассмотрим вопрос опреде ления реактивной тяги и формулу Циолков ского, определяющую расход массы при дей ствии тяги.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

РЕАКТИВНАЯ СИЛА. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО	113

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Цандер Ф.А. Перелеты на другие плане ты (Теория межпланетных путешествий) // Пионеры ракетной техники: Кибальчич. Циол ковский. Цандер. Кондратюк. Избранные тру ды. М.: Наука, 1964. С. 277–359.

2.Hohman W. Die Erreichbarkeit der Him melsk rper. M nchen, 1925 // Пионеры ракет ной техники: Гансвинд. Годдард. Эсно Пельт ри. Оберт. Гоман. Избранные труды. М.: Нау ка, 1977. С. 526–607.

3.Чернявский Г.М., Бартенев В.А., Малы шев В.А. Управление орбитой стационарного спутника. М.: Машиностроение, 1984. 144 с.

4.Penin L.F., Bastante J.C., Cano J.L.

Formation Flying Mission Analysis for Proba 3 // 58th International Astronautical Congress, Hydera bad, India, 24–28 September 2007. Paper IAC 07 C1.7.02. 7 p.

5.Ивашкин В.В., Стихно К.А. О примене нии гравитационного воздействия на астероид Apophis для коррекции его орбиты // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 5. С. 621–626.

2.3.2. РЕАКТИВНАЯ СИЛА. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО

В природе распространено проявление реактивной силы как силы реакции (отдачи) при отделении с некоторой скоростью вещест ва от основного тела (отдача при стрельбе, ре акция вытекающей струи, в частности — при движении ракеты, эффект реакции при исте чении струй, «джетов» из ядра кометы и т.д.). Это реактивное действие происходит в на правлении, противоположном скорости отде ления вещества относительно тела. Аналогич но, силовой эффект возникает при присоеди нении к телу вещества, приближающегося к

нему с некоторой скоростью.	случае
это воздействие оказывается	направлении
относительной скорости	присоеди
няемого вещества.

Общая теория движения точки перемен ной массы дана впервые И.В. Мещерским (1897 г.), затем развита в работах T. Levi Civita, А.А. Космодемьянского и др.

Рассмотрим воздействие реактивной си лы применительно к движению ракеты, имеющей ракетный двигатель (РД) и рабочее тело. В современной космонавтике применя ют разные типы двигателей. Химические РД (ЖРД, РДТТ, гибридные РД) используют ка меру, где топливо превращается в высокотем

пературный газ, разгоняемый затем путем термодинамического расширения и вытекаю щий через сопло РД. В газовых РД рабочим телом является газ. Возможны различные

электрореактивные ДУ (ЭРДУ), например, с превращением рабочего тела в ионы или плазму, с дальнейшим разгоном в электро статическом или электромагнитном поле и истечением струи.

Масса m такого тела, ракеты, меняется со временем t вследствие непрерывного истече ния частиц («рабочего вещества», «рабочего тела») со скоростью с относительно основного тела. В процессе такого истечения из тела час тиц возникает дополнительная (к внешним силам Fi) реактивная сила, действующая на данную ракету. Эта реактивная сила Pr равна произведению относительной скорости с исте чения частиц на секундное изменение массы тела dm/dt:

Pr сdm/dt.

Данная формула справедлива и в случае присоединения частиц к телу, тогда с — от носительная скорость присоединяемых час тиц, масса тела m(t) возрастает, dm / dt 6 0, реактивная сила направлена по скорости с частиц.

При работе обычного РД, на «актив ном» участке движения ракеты ее масса m(t) убывает за счет расхода рабочего тела и исте чения струи из сопла, например, как в хими ческих ракетных двигателях РД, за счет сго рания топлива в камере двигателя и истече ния газов — продуктов сгорания. При этом dm / dt ms + 0, ms (ms 6 0) — секундный рас ход топлива, рабочего тела. В данном случае реактивная сила будет направлена противо положно скорости истечения из сопла двига теля с. При определении полной силы, дей ствующей на ракету за счет работы РД, кро ме реактивной тяги Pr обычно учитывается и давление вытекающих продуктов сгорания на срезе сопла, а также для случая движения в атмосфере статическое атмосферное давле ние на внешнюю поверхность ракеты. Тогда полная сила тяги ракетного двигателя запи шется в виде

P с dm /dt Sa(pa ph)ex,

здесь Sa — площадь выходного сечения со пла РД; pa — давление вытекающих из со пла газов; ph — внешнее статическое атмо

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

114	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

сферное давление на текущей высоте h; exeс c /| c | — единичный вектор по внут ренней нормали к плоскости выходного се чения сопла РД.

На поверхности Земли, на уровне моря ph p0, P P0; а при движении в пустоте ph 0,

P P1:

P0 с dm/dt Sa (pa p0)ex;

P1 с dm/dt Sa pa ex.

Следовательно, тяга в вакууме больше, чем на поверхности Земли:

P1 P0 Sa p0 ex.

Для ЖРД давление на срезе сопла pa, зависящее от степени расширения потока га зов РД, достигает значения pa − 4…6 Н/см2 для первых ступеней ракеты, pa − 0,1… 0,5 Н/см2 для вторых третьих и орбитальных ступеней.

Важнейшей характеристикой эффектив ности РД является его удельная тяга — отно

шение тяги к весовому секундному расходу то плива Gs g0 ms (g0 9,81 м/с2):

P	P		c		Sa (pa ph )	,
уд	Gs		g0		g0 ms

где размерность [Pуд] c. Аналогично тяге вводятся «пустотная» удельная тяга (в вакуу ме) Pуд 1 и «земная» удельная тяга (на уровне моря) Pуд 0:

P

1 P1

c

Sa pa ,

уд

Gs

g0

g0 ms

P

P0

c

Sa (pa p0 )

P

1

Sa p0

.

уд 0

Gs

g0

g0 ms

уд

g0 ms

Для РДТТ обычно используется среднее значение удельной тяги Pуд (за полное время работы двигателя ta), называемое в этом случае удельным импульсом Iуд:

ta

						: P(t)dt
	I				Λ	0	.
		уд		P
				уд

ta

g0 : ms dt

0

Эффективной скоростью истечения про дуктов сгорания топлива ракеты называют от ношение тяги P и секундного изменения мас сы ракеты:

сe	P	с	Sa (pa ph )	ec.
	dm / dt
			ms

Данная скорость совпадает по направле нию с реальной скоростью истечения и близка к ней по величине, имеет размерность м/с оп ределяет удельную тягу Pуд сe /g0.

ГОСТ 17655–72 определяет отношение величины тяги P ЖРД к секундному расходу массы ms как удельный импульс тяги.

Удельная тяга, как и скорость истече ния, определяется, в основном, теплотворной способностью топлива, а также техническим совершенством двигателя. Для современных ЖРД удельная тяга в вакууме Pуд 1 − 300… 460 нижнее значение соответствует то пливу «кислород керосин», верхнее — «ки

водород».

Для современных РДТТ удельная тяга в

вакууме Pуд 1 − 250…300 с.

Существенно более высокую скорость истечения и удельную тягу могут обеспечить ЭРДУ. В них скорость истечения достигает 50 000…250 000 м/c. Правда, создаваемая ими тяга невелика, и эти двигатели могут быть ис пользованы лишь для межорбитальных косми ческих перелетов.

С помощью эффективной скорости исте чения сила тяги РД выражается в более про стой форме P сe dm/dt, аналогичной выраже нию для реактивной силы.

Для описания движения ракеты надо учесть кроме силы тяги двигателя внешние си лы Fi (гравитационные, аэродинамические и т.д.), не включая в них давление газа струи на выходное сечение сопла и статическое ат мосферное давление на РД:

m dV P Fi сedm / dt Fi ,
dt	i	i

где V — вектор скорости центра масс ракеты, КА (уравнение И.В. Мещерского для случая отделения частиц [1–8]).

Формула Циолковского [8] определяет изменение скорости ракеты (КА или, вооб ще, точки переменной массы) в зависимости от ее массы m(t) в текущий момент времени t при движении в идеальной среде — в пустоте и без учета гравитации, под действием толь ко реактивной тяги двигателя P сedm/dt. Далее для краткости эту эффективную ско рость истечения будем обозначать через с, опуская нижний индекс «e», тяга будет равна P сdm/dt.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

РЕАКТИВНАЯ СИЛА. ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО	115

Пусть m0, m — начальная и текущая массы ракеты, V0, V — начальная и текущая скорости ракеты в инерциальной системе координат. Тогда формула Циолковского в векторной форме определяет, что прираще ние вектора скорости ракеты антиколлине арно скорости истечения и пропорциональ но величине этой скорости истечения c, а также логарифму отношения начальной и текущей масс:

V V0 с ln (m0 /m).

(2.3.1)

Отметим, что здесь скорость ракеты не зависит от закона изменения ее массы по вре мени, а определяется лишь значением массы ракеты. Изменение положения ракеты для ли нейного закона изменения ее массы описыва ется уравнением:

r(t) r0 V0 t [(1 t)ln(1 t) t]с/ ,

здесь r — радиус вектор КА в инерциальной системе координат, коэффициент определя ется законом изменения массы m(t) m0 ms t

m0(1 t); ms /m0.

Если на активном участке, где P(t) 6 0, вектор ускорения силы тяжести постоянен g(t) const, то

V(t) V0 с ln[m0 /m(t)] gt;

r(t) r0 V0 t [(1 t)ln (1 t) t]с / gt2/2.

Если тяга направлена вдоль скорости и имеет место прямолинейное движение, то формула Циолковского в скалярной форме определит изменение алгебраической величи ны скорости ракеты V от ее начального значе ния V0:

V V0 /с ln(m0 /m) /с ln(1/.), (2.3.2)

где m /m0 — относительная текущая мас са ракеты. Знак « » соответствует случаю, когда скорость истечения c направлена про тивоположно скорости ракеты, т.е. P/Pс /с V0 /V0, и имеет место разгон ракеты, V 6 V0 6 0 или начальная скорость V0 0. В последнем случае

V с ln (m0 /m) с ln (1/.).

(2.3.3)

Знак « » соответствует торможению, ко гда скорость истечения с направлена по векто ру скорости ракеты, P/P с /с V0 /V0, при чем V + V0. В данном случае при некотором

значении массы	m m1 Λ m0exp( V0 /с)
получим нулевую скорость, т.е. V 0. При
меньшей массе	+ m1) скорость будет на

правлена противоположно начальной скоро сти, тогда получим V + 0.

Условия применения этих формул для определения приращения скорости ракеты хорошо выполняются при движении и ма неврах КА далеко от планет, где нет атмо сферы и слаба гравитация, например, при коррекционных маневрах. При движении КА вблизи планет они выполняются при ближенно, в этом случае необходимо учи тывать поправки за счет влияния гравита ции и атмосферы, если она есть, а также за счет непрямолинейности движения. В об щем случае движения и управления форму ла (2.3.3) (или скалярная формула (2.3.2) при знаке « ») определяет характеристиче4 скую скорость w, сообщаемую ракете при работе двигателя:

	t	P
	w :		dt c ln(m0 / m).	(2.3.4)
	0	m

Формулы Циолковского (2.3.1)–(2.3.4)

дают возможность оценить максимально воз можное приращение скорости ракеты за счет работы одной ее ступени. При разгоне ракеты в конце работы ДУ, после сгорания всего то плива ступени mт0, ракета приобретает прира

щение скорости Vк V0 wк c ln (m0 /mк)c ln (1 mт0 /mк) c ln к. Здесь mк — ко нечная масса ракеты, к mк /m0 — относи

тельная конечная масса ракеты, mт0 /mк — число Циолковского, определяющее совер шенство ракеты.

Для многоступенчатой ракеты суммарная скорость (характеристическая скорость) опре делится сложением приращений скорости, со общаемых каждой ступенью, Vк V0 wк8ci ln кi, где i — номер ступени, суммирова ние проводится по всем ступеням. Перед включением последующей ступени отбрасыва ется некоторая ненужная для дальнейшего движения масса ракеты, например, пустые то пливные баки, поэтому использование много ступенчатой ракеты позволяет существенно повысить скорость ракеты и ее возможности в космическом полете по сравнению с односту пенчатым вариантом. Существует оптималь ное число ступеней.

Формулы Циолковского (2.3.1)–(2.3.4) применяются также для решения обратной

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

116	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

задачи: определить необходимый расход топ лива и конечную массу ракеты при сообще нии ей заданной скорости. Текущая масса m при начальной массе m0 и скорости истече ния с определится сообщаемой характеристи ческой скоростью w:

m m0 exp( w/c).	(2.3.5)
Данная характеристическая	скорость w

включает необходимое приращение скорости (V V0), а также, возможно, добавочную ско рость, учитывающую влияние гравитации, ат мосферы и т.д.

В случае полетов со скоростями, сравни мыми со скоростью света Vl (− 299 792 км/с), например, при полетах к звездам, необходимо учесть эффекты теории относительности. В этом случае формула (2.3.5), определяющая массу КА в зависиммости от его скорости, перейдет в формулу Аккерета [9]:

!	(1 v)(1		v		)		V l
				0			2c
m m0						.
		v)(1	v
#(1				0 )

Здесь m, m0 — текущая и начальная мас сы «покоя» КА соответственно; v V/Vl, v0V0 /Vl — текущая и начальная скорости КА соответственно относительно скорости света Vl для «внешнего» наблюдателя. Видна недос тижимость скорости света.

Формулы Циолковского (2.3.1), (2.3.2), определяющие скорость КА в зависимости от его массы, также изменятся. Скалярное выра жение (2.3.2) для случая ускорения примет форму

	~	~					2c
			~		m	V l
v	v0 (1 .) 1	.
			, где . &			)		.
	~	~
				&		)
	v0 (1 .) 1	.		% m0		(

Всегда v + 1, т.е. скорость ракеты остается меньше скорости света.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Мещерский И.В. Динамика точки пе ременной массы // Работы по механике тел переменной массы. 2 е изд. М.: ГИТТЛ. 1952.

С.37–188.

2.Космодемьянский А.А. Механика тела переменной массы // Курс теоретической меха ники. Ч. 2. М.: Просвещение, 1966. С. 14–120.

3.Феодосьев В.И., Синярев Г.Б. Введение

вракетную технику. М.: Оборонгиз. 1956. 375 с.

4.Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Двор ников А.Л. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1966. 624 с.

5.Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенни

ков Е.А. и др. Справочное	по не
бесной механике и астродинамике	под ред.
Г.Н. Дубошина. 2 е. изд. М.: Наука,	. 864 с.

6.Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летатель ных аппаратов. М.: Наука, 1982. 352 с.

7.Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Ос новы механики космического полета: учеб. по собие. М.: Наука, 1990. 448 с.

8.Циолковский К.Э. Исследование миро вых пространств реактивными приборами // Пионеры Ракетной техники. Кибальчич Н.И.,

Циолковский К.Э., Цандер Ф.А., Кондра тюк Ю.В. Избр. тр.. М.: Наука, 1964. С. 23–258.

9. Закиров У.Н. Механика релятивистских космических полетов. М.: Наука, 1984. 152 с.

2.3.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ПЕРЕЛЕТА КА

КА с РД фактически является управляе мой ракетой, и его движение — весьма слож ный процесс [1, 2] (а также [3, 6] п. 2.3.2). Ниже приводится упрощенная модель кос мического движения КА с РД ограниченной тяги, которая позволяет выявить основные особенности и характеристики межорбиталь ных космических перелетов КА. Уравнения управляемого движения КА в космическом пространстве в случае произвольного грави тационного поля запишутся в следующем виде.

Пусть OXYZ — невращающаяся система координат в данном физическом пространст ве, например, геоцентрическая геоэкватори

альная. В ней движение КА изображается век тор функцией r(t), V(t), m(t), где r (x, y, z)т — радиус вектор КА, V (Vx, Vy, Vz)т — вектор

скорости	m — его масса и t — время.
Для	введем	время	t в	фазовый
вектор	x (x,	y, z, Vx,	Vy,	Vz, m, t).

В начальный момент t t0, r(t0) r0; V(t0)
V0; m(t0)	m0. В конечный момент t tf,
r(tf) rf, V(tf)	Vf. В качестве основного вари

анта ниже рассматривается перелет из задан ной начальной точки x0 (r0, V0, m0, t0) в ко нечную точку xf (rf, Vf, mf, tf), где конечная масса mf не задана.

Критерием оптимальности является мак

симум конечной массы m(tf) КА:
J m(tf) min.	(2.3.6)

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА	117

Управление движением осуществляется с помощью создаваемой РД реактивной силы тяги:

P(t) PeP ; P cdm/dt cms ;	(2.3.7)
| eP | 1,	(2.3.8)

где P — модуль вектора силы тяги; eP — единич ный вектор вдоль тяги; c — эффективная посто янная скорость истечения продуктов сгорания топлива в двигателе; ms — массовый секундный расход топлива в двигателе. Расход ms, а с ним и сила тяги P, может меняться в некоторых преде лах, задающих область управления по тяге, кото рая зависит от возможностей двигательной ус тановки. Область управления по тяге задается в виде отрезка

	0 5 P(t) 5 Pmax + 1.	(2.3.9)
Область изменения вектора eP, опреде
ляющего	тяги, зависит от возмож
ностей	ориентации. Предположим,

что допустимы любые направления тяги. До пустимыми управляющими функциями P(t), eP(t) считаем кусочно непрерывные функции.

Изменения фазовых координат r, V, m

описываются системой						дифференциальных
уравнений:
	dr		V ;
	dt
	dV					P
			g(r,t)					(2.3.10)
							eP ,
	dt					m
	dm			P	,
	dt			c

где g(r, t) — ускорение со стороны внешнего си лового поля, обычно гравитационное. На пас сивном участке полета тяга P 0. Вектор управ ления обозначается через u(t) (P(t), eP(t)). Те кущая масса КА определится уравнениями

	t		t
	m m0 exp( w / c); w :	P	dt :ardt,	(2.3.11)
		m
			t0
	t0
	где w — текущая характеристическая
	ar — реактивное ускорение; ar Р/m.
	Соответственно, конечная масса
			tf
	m f m0 exp( w f / c); w f		:ardt,	(2.3.12)
			t0

здесь wf — конечная характеристическая ско рость. Поэтому максимизация конечной массы

сводится к минимизации характеристической скорости wf.

Случай неограниченной тяги Pmax 1 на зывают случаем импульсного управления, при этом на траектории перелета сообщается неко

торое число N импульсов скорости Vi ( Vix,
V	, V )т	в моменты времени t	i	(i 1, 2, …
iy	iz
…, N), t0 5		ti 5 tf. В каждой точке приложе

ния импульса при t ti радиус вектор r(t) не прерывен, вектор скорости V(t) меняется на импульс скорости Vi, а масса m(t) скачком уменьшается в соответствии с формулой Циол4 ковского. Получаем импульсную систему:

r(ti ) r(ti ); V (ti ) V (ti ) Vi ;

(2.3.13) m(ti ) m(ti )exp( Vi / c); i 1,2,..., N.

Движение КА с приложением импульсов скорости в моменты ti можно описать одной

системой уравнений:
	dr		V ;
	dt
					(2.3.13a)
	dV		N
			g(r, t) (t ti ) Vi ,
	dt		i 1

где (t ti) — функция Дирака, поэтому если t 3 ti, то в этой системе последнее слагаемое равно нулю, Vi 0. Если же t ti, то эта сис тема переходит в предыдущую импульсную систему (2.3.13). Параметрами управления, определяющими сообщение импульса скоро сти, являются момент его приложения ti и три его компоненты Vix, Viy, Viz или его вели чина Vi Ο ViΟ и два угла, задающие его на правление, или единичный вектор вдоль этого

импульса ei Vi / Vi.

Пусть отделение массы КА происходит только при сообщении импульсов скорости. Тогда конечная масса mf определится суммар ной характеристической скоростью перелета, равной в импульсном случае сумме величин импульсов скорости:

N

m f Λ m(t f ) m0 exp( w f /c); w f Vi . (2.3.14)

i 1

В этом случае максимизация конечной массы эквивалентна минимизации суммы ве личин импульсов скорости. В этом случае массу КА можно не рассматривать:

	N	m0
	w f Vi c ln		min. (2.3.15)
	i 1	m f