Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

192				Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
							Окончание табл. 2.5.2
N	Р	S	Угол ,		Наклонение	Сдвиг узлов ,	Фазовый сдвиг	Высота орбиты H,
			град		орбиты i, град	град	*, град	км
25	5	5	42,86		64,97	76,08	71,37	4 020
28	4	7	41,13		56,72	92,65	17,36	3 627
30	5	6	39,27		63,37	74,96	52,07	3 245
33	3	11	38,84		90	61,05	0	3 166
35	5	7	37,03		62,39	74,23	38,48	2 834
36	6	6	36,34		68,46	62,7	4,78	2 717
39	3	13	36,32		90	60,81	0	2 716
40	5	8	35,54		61,74	73,74	28,39	2 587
42	6	7	33,87		67,16	62,04	50,86	2 332
48	6	8	32,22		66,31	61,59	40,56	2 101
49	7	7	31,48		71,18	53,36	7,3	2 004

ного глобального непрерывного обзора. Для СС, включающих две плоскости (отмечены звездочкой), оптимальным является весь диа пазон наклонений от imin до i /2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Баринов К.Н., Бурдаев М.Н., Мамон П.А.

Динамика и принципы построения орбиталь ных систем космических аппаратов. М.: Ма шиностроение, 1975. 232 с.

2.Улыбышев Ю.П. Проектирование спут никовых систем непрерывного обзора: краткий исторический обзор, современное состояние и новые решения // Труды МАИ. 2009. № 34.

3.Adams W.S., Rider L. Circular Polar Con stellations Providing Continuous Single or Multiple Coverage above a Specified Latitude // Journal of

the Astronautical Sciences. 1987. V. 35, № 2.

P.155–192.

4.Gobetz E.W. Satellite Networks for Global Coverage // Advances in Astronautical Sciences. 1961. V. 9. P. 134–156.

5.Rider L. Analytic Design of Satellite Con stellations for Zonal Earth Coverage Using In clined Circular Orbits// Journal of the Astro nautical Sciences. 1986. V. 34, № 1. P. 31–64.

6.Ullock M.H., Shoen A.H. Optimum Polar Satellite Networks for Continuous Earth Coverage

//AIAA Journal. 1963. V. 1. P. 69–72.

7.Ulybyshev Yu. Near Polar Satellite Constel lations for Continuous Global Coverage // Journal

of Spacecraft and Rockets. 1999. V. 36, № 1, P. 92–99.

2.5.2.2. Кинематически правильные спутниковые системы

В отличие от СС, структурно состоящих из базовых цепочек спутников с соответствую щими этим цепочкам полосами непрерывного обзора (п. 2.5.2.1), кинематически правильные СС строятся из единичных спутников как ба зовых элементов по принципу симметричных систем подвижных точек. Кинематически пра вильные СС являются теоретическим обобще нием симметричных систем неподвижных то чек, рассматриваемых в структурной кристал лографии и отличающихся постоянством от носительного положения каждой точки по от ношению к остальным точкам системы. Сущ ность указанного теоретического обобщения состоит в обеспечении для симметричных сис тем подвижных точек аналогичного постоян ства относительных движений всех точек сис темы с точностью, обусловленной фактиче ским положением в пространстве и времени, направлением течения времени и правого направления на левое [1].

Кинематически правильные СС впервые предложены Г.В. Можаевым в [2]. Практически одновременно в англоязычной литературе Дж. Уолкером в [3] введены так называемые дельта системы, которые явля ются частным случаем кинематически пра вильных СС. Разработанная позднее Г.В. Мо жаевым в [1] теория кинематически правиль ных СС, равно как и теоретическая проработ ка в [4–7] вопросов применения дельта сис

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС НЕПРЕРЫВНОГО ЗОНАЛЬНОГО ОБЗОРА НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ	193

тем (часто называемых также «системами Уолкера»), оказалась чрезвычайно продуктив ной для решения задачи непрерывного обзо ра. Существенный вклад в развитие теории кинематически правильных СС внесен Б.П. Бырковым [8, 9].

Чтобы дать определение кинематически правильной СС, рассмотрим понятие «транзи тивная группа». Пусть Х — произвольное мно жество, тогда некоторая группа h преобразова ний Х называется транзитивной, если для лю бых двух элементов x1, x2 Ε X существует пре образование h* Εh, переводящее x1 в x2:

h*(x1) x2.

СС называется кинематически правиль4 ной, если в некоторый (значит, и в любой дру гой) момент ее состояние, характеризуемое орбитальной структурой ON , инвариантно от носительно транзитивной группы нетождест венных преобразований

h Τ {W ,U,V },

(2.5.28)

где W — полная группа ортогональных преоб разований, т.е. множество всех движений пространства, оставляющих на месте некото рую точку (центр Земли); U — группа дина мических преобразований, связанных с дви жением спутника по круговой орбите; V — группа замены знака времени (замена на правления движения всех спутников на про тивоположное) [1].

Таким образом, структура ON кинемати чески правильных СС определяется любым одним своим элементом (порождающим эле ментом) s и группой преобразований h, кото рая в этом случае называется группой симмет рии системы (ей соответствует и конкретный шифр симметрии):

ON h(s).

(2.5.29)

Рассмотрим случай однократного не прерывного обзора поверхности единичной сферы с помощью N спутниковой системы с начальным фазовым состоянием ON . Обо значим через D j (SN ,t) область Дирихле j го спутника системы в момент t как множество точек единичной сферы, отстоящих от j го

спутника в момент	далее, чем от осталь
ных спутников. Все	области D j (SN ,t),
j 1, N являются	сферическими
многоугольниками,	покрывающими полно

стью единичную сферу и не имеющими об

щих внутренних точек. Сторонами много угольников служат дуги больших кругов, точки которых равноудалены от ближайших спутников.

СС обеспечивает непрерывный одно кратный обзор повер единичной сфе ры тогда и только тогда, когда каждый спут ник в любой момент «видит» все точки своей области Дирихле. Обозначив через j (ON ) минимальный угловой радиус зоны обзора j го спутника, обеспечивающий непрерыв ную видимость с этого спутника его области Дирихле, критериальная функция, исполь зуемая в формулировке классической задачи непрерывного обзора (см. п. 2.5.1), будет иметь вид:

min (ON ) max{ 1(ON ), 2(ON ),..., N (ON )}. (2.5.30)

Функция (2.5.30) отличается тем, что ее значение для любого фазового состояния ON системы из N спутников можно представить как наибольшее из значений некоторых функций j (ON ), j 1, N, соответствующих спутникам системы. Изменение положения некоторого произвольного j го спутника приводит к изменению формы и размеров как его области Дирихле D j , так и погранич ных областей Дирихле других спутников. При этом области, не граничащие с D j , не деформируются, пока величина сдвига j го спутника не превысит некоторого критиче ского значения. Назовем изменение пара метров движения j го спутника малым, если оно не деформирует области Дирихле, не граничащие с D j , ни в один из моментов времени.

Втеории кинематически правильных СС доказывается, что если спутники кинематиче ски правильной системы никогда не лежат в одной плоскости, то никакое малое изменение параметров движения одного спутника не мо жет улучшить строение системы в целом (уменьшить критериальную функцию (2.5.30)) [1, 9]. Данное утверждение является необходи мым условием локальной оптимальности ки нематически правильных СС c транзитивной группой симметрии h в задаче непрерывного обзора.

Вцелях расширения класса рассматри ваемых СС в ряде случаев оказывается полез ным отказаться от транзитивного характера группы симметрии. Получаемые таким обра зом СС состоят из k непересекающихся кине

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

194	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

матически правильных СС с общей группой симметрии h:

k
ON h(s j ),	(2.5.31)
j 1

где s j , j 1, k — порождающие элементы кине матически правильных подсистем.

Системы, получаемые в соответствии с выражением (2.5.31), в терминологии Г.В. Мо жаева [1, 2] называются кинематически сим4 метричными.

В терминологии Б.П. Быркова [9] прини мается во внимание, что выражение (2.5.31) представимо в виде

	k
ON h&&	s j )) h(B),		(2.5.32)
% j 1		(

где В — некоторый базисный элемент (базис), представляющий собой один или несколько спутников, не связанных друг с другом преоб разованиями группы h.

В зависимости от того, сколько спутни ков содержится в базисе B (один или не сколько), системы разделяются на моно структуры (в базисе один спутник) и поли4 структуры (в базисе более одного спутника). Основываясь на таком обобщенном понима нии порождающих элементов в виде произ вольного базиса B, часто говорят, что все СС, определяемые (2.5.32), где h — группа сим метрии, являются кинематически правильными

моноструктурами или полиструктурами, включая в число кинематически правильных систем и множество полиструктур, чьи фазо

вые состояния не	транзитивной
группой симметрии.
Сформулированное	необходимое

условие локальной оптимальности монострук тур для случая полиструктур обобщается сле дующим образом: если полиструктура содер жит моноструктуру, спутники которой нико гда не являются вершинами одной грани вы пуклой оболочки спутников, то никакое малое изменение параметров одного спутника моно структуры не может улучшить строение поли структуры в целом [1, 9]. Здесь под выпуклой оболочкой спутников понимается выпуклый многогранник, вершинами которого служат спутники.

Следствием этого утверждения является то, что никакое малое изменение параметров у одного из спутников системы не может улуч

шить строение системы в целом (т.е. улучшить критериальную функцию (2.5.30)), если в со ставе полиструктуры спутники любой моно структуры никогда не лежат в общей грани выпуклой оболочки [1, 9].

Указанные необходимые условия локаль ной оптимальности кинематически правиль ных СС (моноструктур и полиструктур), сфор мулированные выше для случая однократного непрерывного обзора, обобщаются на случай многократного непрерывного обзора путем сведения многократного непрерывного обзора к однократному. С этой целью доказывается следующее утверждение: для того, чтобы сис тема из N спутников обеспечивала многократ ный (p4кратный) непрерывный обзор, необхо4 димо и достаточно, чтобы любая ее подсисте ма из N (p 1) спутников обеспечивала не прерывный однократный обзор [1, 9].

Таким образом, сформулированное необ ходимое условие локальной оптимальности полиструктур сохраняет силу и в случае много кратного непрерывного обзора, если потребо вать, чтобы после «удаления» из системы лю бых p 1 спутников оставшиеся спутники лю бой подсистемы, являющейся монострукту рой, никогда не лежали бы в одной грани вы пуклой оболочки.

На основе изложенных базовых теорети ческих положений Б.П. Бырковым и Г.В. Мо жаевым были разработаны практические мето ды расчета однократного и многократного не прерывного зонального обзора с помощью ки нематически правильных СС — моноструктур, а также простейших полиструктур [1, 9].

Введенные Дж. Уолкером в [3] дель та системы — одна из разновидностей кине матически правильных моноструктур, а имен но моноструктуры первого типа [1, 9]. Вслед ствие относительной простоты их расчета они получили широкое распространение в практи ке балистического проектирования СС непре рывного обзора.

Фазовая структура дельта систем опреде ляется следующими выражениями для долгот восходящих узлов j и аргументов широты u j спутников системы:

j		1	( j 1)		2 K		;	(2.5.33)
					N
u	j	u ( j 1)		2 F		,		(2.5.34)
		1			N

где N — число спутников в системе; j 1, N; K, F — целые числа.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС НЕПРЕРЫВНОГО ЗОНАЛЬНОГО ОБЗОРА НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ	195

При фиксированном числе N спутников структура дельта системы определяется парой чисел K и F. В качестве величины K выбира ются те из значений 1,2,..., N / 2 , для которых отношение N / K — целое число. При таком выборе величины K отношение N / K характе ризует число плоскостей в системе, а сама ве личина K — число спутников в одной плоско сти. Число F принимает значения 1,2,..., N / K и определяет различные варианты расположе ния спутников в плоскостях орбит системы.

Втабл. 2.5.3 для примера приведены оп тимальные варианты орбитальных структур, рассчитанных в классе кинематически пра вильных систем — моноструктур первого типа (дельта систем) для глобального непрерывного однократного обзора Земли при числе спутни ков в системе 5…25 и 45…50. Приводимые в табл. 2.5.3, как и в табл. 2.5.4 и 2.5.5, числовые данные в основном заимствованы из [10] или рассчитаны с использованием приведенных в этой работе методик. Одновременно учитыва лись результаты исследований, приведенные в [11, 12]. Приводимые в таблицах варианты

систем характеризуются значениями геоцен трической угловой ширины зоны обзора спутников, наклонения i и высоты H орбит,

рассчитанными для минимального угла места, равного 10 .

Вследствие узости рассматриваемого в табл. 2.5.3 класса дельта систем нет никакой гарантии, что приведенные здесь варианты СС имеют высокие характеристики в задаче гло бального непрерывного однократного обзора Земли. Из этой же таблицы следует, что в от

дельных случаях, а именно при числе спутни ков в системе N 12, 15, 21, 24, 50 не происхо дит улучшения орбитальной структуры даже при увеличении числа спутников в системе по

сравнению с соответствующими значениями N 11, 14, 20, 23, 49 (табл. 2.5.3). Более того, характеристика в указанных случаях даже ухудшается. Все это свидетельствует об огра ниченности возможностей оптимизации в классе дельта систем.

Втабл. 2.5.4 и 2.5.5 приведены варианты кинематически правильных систем — моно структур второго порядка и простейших поли структур соответственно, улучшающих харак теристики дельта систем, приведенных в табл. 2.5.3 [1, 10]. Отсюда видно, что дополне ние дельта систем моноструктурами второго порядка позволяет уменьшить характеристику

для системы из 20, 22, 24, 48, 50 спутников

2.5.3.Оптимальные кинематически правильные

СС— моноструктуры первого типа (дельта системы) глобального однократного

обзора Земли

N	, град	i, град	H, км
5	69,16	43,6	26 991
6	66,42	53,1	20 350
7	60,26	55,7	12 205
8	56,52	61,9	9 376
9	54,81	70,3	8 370
10		47,9	6 803
11		53,8	5 342
12	47,90	50,7	5 436
13	43,77	58,4	4 245
14	41,96	54,0	3 810
15	42,14	53,5	3 852
16	40,11	56,5	4 212
17	38,91	55,5	3 175
18	38,36	56,6	3 072
19	37,12	57,4	2 849
20	36,62	56,8	2 764
21	36,68	61,1	2 774
22	35,24	58,4	2 539
23	34,68	58,7	2 453
24	35,64	58,4	2 603
25	34,28	61,2	2 393
45	26,02	73,0	1 386
46	25,15	67,4	1 302
47	24,95	66,6	1 284
48	24,78	68,7	1 268
49	24,41	67,7	1 234
50	24,78	72,7	1 268

(табл. 2.5.4), а рассмотрение также и поли структур — улучшить варианты систем для числа спутников N 6, 9, 10, 12, 15, 21, 45, 48 (табл. 2.5.5).

Заметим, что рассматриваемые поли

структуры численного состава	N2 мо
гут иметь в своем составе	подсистемы:

подсистему из N1 спутников на орбитах с при

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

196	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

2.5.4. Кинематически правильные СС — моно структуры второго типа, улучшающие дельта системы (глобальный однократный обзор Земли)

N	, град	i, град	H, км
20	36,48	64,5	2 740
22	34,01	62,3	2 353
24	32,81	64,2	2 181
48	23,57	68,7	1 168
50	24,30	67,5	1 226

2.5.5. Кинематически правильные СС — полиструктуры, улучшающие дельта системы (глобальный однократный обзор Земли)

N(N1 N2)		, град	град	H, км
6	(4 2)	64,00	69,2	16 391
9	(7 2)	52,96	66,4	7 430
10(7 2)		49,45	60,3	5 973
12(9 3)		45,42	56,5	4 837
15(10 5)		42,07	54,8	3 836
21	(14 7)	36,30	62,9	2 710
45	(45 0)	24,45	68,0	1 245
48	(48 0)	23,47	68,8	1 150

веденными в табл. 2.5.5 наклонениями и под систему из N2 спутников на экваториальных орбитах (с наклонением 0 или 180 ).

Как следует из табл. 2.5.3–2.5.5, расшире ние класса дельта систем (моноструктур пер вого типа) за счет дополнительного рассмотре ния моноструктур второго типа и полиструк тур позволяет улучшить характеристики от дельных СС. При этом наилучшие известные орбитальные структуры для непрерывного гло бального однократного обзора при числе спут ников в системе N 5, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 23, 25, 46, 47, 49 остаются в классе дельта систем (моноструктур первого типа). Для других значений числа спутников в систе ме такие наилучшие орбитальные структуры находятся в классе моноструктур второго типа (N 20, 22, 24, 50) или простейших полиструк тур (N 10, 12, 15, 21, 45, 48). Следова тельно, известные варианты СС не прерывного обзора находятся либо в классе моноструктур (первого и второго типов), либо в классе относительно простых полиструктур.

Следует заметить, что класс кинематиче ски правильных (симметричных) систем — по листруктур существенно более широк. Под оп ределение полиструктуры подпадает и произ вольная орбитальная структура из N спутни ков, какой является полиструктура, состоящая из N односпутниковых моноструктур (их шифр симметрии 1ЕЕ [1, 9]). В данных усло виях оптимизация в классе кинематически правильных систем — полиструктур по сути сводится к оптимизации в произвольном клас се орбитальных построений. Вместе с тем тео рия кинематически правильных систем не дает практического методического аппарата опти мизации не только в таком произвольном классе орбитальных структур, но и в классах относительно сложных полиструктур.

В результате не случайным является то, что указанное ранее улучшение дельта систе мы из 15 спутников за счет рассмотрения про стейшей полиструктуры не привело к превос ходству полученной 15 спутниковой поли структуры над наилучшей известной дель та системой из 14 спутников ( для N 14, 15 в табл. 2.5.3 и N 15 в табл. 2.5.5). Таким об разом, по прежнему сохраняется ситуация, при которой переход от 14 спутников к 15 не сопровождается улучшением качества полу ченной орбитальной структуры, и можно кон статировать, что оптимальная СС с N 15 гло бального непрерывного однократного обзора к настоящему времени не известна.

Данное обстоятельство, свидетельствую щее о несовершенстве теории кинематически правильных СС, послужило поводом в [13] для проведения исследований в области улучше ния известных вариантов кинематически пра вильных СС — моноструктур первого типа (дельта систем) путем применения традицион ных методов дифференциального исчисления. Практическое использование разработанного на этой основе способа оптимизации орби тальных структур для глобального однократно го непрерывного обзора Земли не привело к получению качественно новых теоретических выводов в отношении путей развития методов оптимизации СС непрерывного обзора.

Несмотря на указанные недостатки, тео рия кинематически правильных СС зареко мендовала себя для практики баллистического проектирования СС непрерывного обзора как эффективный инструмент, позволяющий оп ределять варианты СС непрерывного обзора с высокими характеристиками [1, 9, 10]. Это

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС НЕПРЕРЫВНОГО ЗОНАЛЬНОГО ОБЗОРА НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ	197

связано, в частности, с более общим характе ром основанного на применении кинематиче ски правильных СС (в случае учета полиструк тур) методического подхода, по сравнению с оптимизацией в классе спутниковых цепочек, где правила выбора чисел орбитальных плос костей и спутников в каждой из этих орби тальных плоскостей фиксированы (см. п. 2.5.2.1). Также в силу специфики задачи не прерывного обзора уже в рамках наиболее простого класса дельта систем имеются не плохие варианты систем непрерывного обзора, которые в ряде случаев могут быть улучшены путем рассмотрения ограниченного множества моноструктур второго типа и простейших по листруктур.

Сравнение возможностей теории кинема тически правильных СС и методов, основан ных на применении спутниковых цепочек (см. п. 2.5.2.1), позволяет говорить о том, что в по давляющем большинстве исследованных слу чаев для глобального однократного непрерыв ного обзора (при числе спутников до 60), а также для глобального многократного непре рывного обзора (при числе спутников до 100), применение кинематически правильных СС оказывался более эффективным. Так, в рас сматриваемых (табл. 2.5.3–2.5.5) условиях по лученные варианты кинематически правиль ных систем (моноструктур и полиструктур) лишь при числе спутников N 45, 50 уступают

известным вариантам спутниковых

—фазированным полярным системам

Ф.имеющим для указанных двух зна

чений числа N значения характеристики

24,18; 23,05 соответственно.

Сувеличением числа спутников в систе ме, особенно при обеспечении не глобального,

азонального обзора узких широтных поясов, спутниковые цепочки начинают играть суще ственно б льшую роль, превалируя по своим характеристикам над известными вариантами кинематически правильных систем (соответст вующих, как было отмечено выше, монострук турам и простейшим полиструктурам). Данное сравнение имеет относительный характер, по скольку в целом ряде случаев спутниковые це почки являются одновременно и кинематиче ски правильными системами — монострукту рами.

Рассмотрение полиструктур позволяет в еще большей мере повторять варианты СС, полученые в классе спутниковых цепочек, поскольку под определение кинематически

правильной системы — полиструктуры, как было отмечено выше, подпадает любая орби тальная структура, в том числе спутниковая цепочка. Поэтому в ряде случаев к одним и тем же рациональным вариантам орбиталь ных структур можно прийти, оптимизируя как в классе спутниковых цепочек, так и в классе кинематически правильных СС. Так, значение характеристики 36,30 соответ ствует лучшей полиструктуре из 21 спутника в условиях табл. 2.5.5, равно как и лучшей системе, полученной в классе спутниковых цепочек, с таким же числом спутников (фа зированная полярная система Ф. Гобетса, см. п. 2.5.2.1) [10].

Отсутствие к настоящему времени тео ретических положений в отношении опти мальности известных методов выбора орби

тальных	структур	непрерывного обзора
привело к тому,		практике баллистиче
ского проектирования		непрерывного об
зора на круговых		х поиск предпочти
тельных	вариантов орбитальных структур

осуществляется с использованием одновре менно двух методических подходов — путем оптимизации в классах спутниковых цепочек и кинематически правильных СС. На этой основе разрабатываются различные практиче ские приложения, являющиеся производны ми по отношению к рассмотренной классиче ской задаче непрерывного обзора, например, решение задачи непрерывного обзора боль ших географических областей произвольной формы [14].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Можаев Г.В. Синтез орбитальных струк тур спутниковых систем: Теоретико групповой подход. М.: Машиностроение, 1989. 303 с.

2.Можаев Г.В. Задача о непрерывном об зоре Земли и кинематически правильные спут никовые системы // Космич. исслед. 1972.

Т.10. Вып. 6. С. 833–839; 1973. Том 11. Вып. 1. С. 59–69.

3.Walker J.G. Some Circular Orbit Patterns Providing Continuous Whole Earth Coverage // Journal of the British Interplanetary Society. 1971. V. 24. P. 369–384.

4.Lang T.J. Symmetric Circular Orbit Satel lite Constellations for Continuous Global Cover age // Advances in the Astronautical Sciences. 1987. V. 65. Part II. P. 1111–1132.

5.Walker J.G. Continuous Whole Earth Cov erage by Circular Orbit Sattellite Patterns // Royal