Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	67

начального приближения Ганзена:
Χ		6		5		1	88m	.		(2.2.34)
0	11 11						15 18l
После вычисления Χ фокальный пара
метр p находят из (2.2.29):
		p (ΑΧ / 9)2.								(2.2.35)

Истинные аномалии, эксцентриситет e и большую полуось a ищут следующим образом:

ecos				p
1			r	1
			1			e2, 1; (2.2.36)
e sin 1			ecos 1 cos (p / r2 1)
					sin
					2 1 ,	(2.2.37)
					a p / (1 e2).	(2.2.38)
Аргумент перицентра определяется как
					; u1 1.	(2.2.39)

Необходимые для шестого орбитального элемента эксцентрическую аномалию E1 и среднюю аномалию M1 находят по широко из вестным формулам невозмущенного кеплеров

ского движения:
tg E			1 e2	sin	1	, M		E	e sin E . (2.2.40)
							1
1			cos 1 e					1	1

Таким образом, получены все шесть орби тальных элементов по известным векторам r1 и r2 положения НТ в моменты времени t1 и t2.

Вернемся к выражению (2.2.29). Кроме описанного метода Гаусса определения величи ны Χ существуют и другие методы. Например, не менее эффективен, особенно для вычисли тельных процессов на компьютерах, метод Лам берта–Эйлера, основанный на теореме Ламбер та, устанавливающей следующую зависимость:

9a 3 /2 ( sin ) ( sin ), (2.2.41)

где sin2 r1 r2 s, sin2 r1 r2 s, s — дли 2 4a 2 4a

на хорды между концами r1 и r2.

Это вытекает из представления площади 8 сектора эллипса, образованного векторами r1

и r2, в виде
	a2	1 e2
8			[( sin ) ( sin )].	(2.2.42)
		2

Используя уравнения Ламберта–Эйлера находят большую полуось a и эксцентриситет e, что является более простой вычислительной операцией по сравнению с методом Гаусса.

Для этого вычисляется длина хорды:

s2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2 r12 r22 2(r1, r2).

(2.2.43)

Затем находят большую полуось a мето дом последовательных приближений, где для текущего (или начального) значения aj для j й итерации вычисляют соответствующие значе ния углов j и j :

cos j 1	r1 r2 s	, cos j 1	r1 r2 s	. (2.2.44)
	2aj		2aj
Необходимо		правильно выбрать нужный

квадрант, но в прикладных исследованиях обыч

рассматривают случаи,		когда	0+ + 180 ,
0+ + 180 , и	сравнивается	«регуляризованное
время» 9 с 9 j ,	получаемым по формуле
9 j a3j /2[( j	sin j ) ( j sin j )].		(2.2.45)

После нахождения значения a нужной точности итерационный процесс останавлива ется, и определяются эксцентриситет и экс центрические аномалии:

E	2	E
		1							;
		2				2
					E2				r2 r1					E2 E1
e sin				E1								cosec				;			e2;E ;E		.
					2				2a					2					1	2
ecos				E1	E2			1		r1	r2		sec		E2 E1		.
					2						2a			2
																			(2.2.46)

Остальные элементы орбиты находят ана логично приведенному выше методу Гаусса.

2.2.2. ВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.2.2.1. теории возмущений. Оскулирующие элементы орбиты

Методы решения дифференциальных уравнений движения ИСЗ в большинстве слу чаев имеют в своей основе теорию возмущений. Использование того или иного варианта этой теории предполагает, что орбитальное движе ние спутника как материальной точки слагает ся из двух составляющих — невозмущенного движения и относительно малых приращений

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

68	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

к этому основному движению, которые явля ются результатом действия возмущающих сил [1]. В общем случае, когда компоненты возму щающего ускорения по порядку величины мо гут быть сравнимы с основным ускорением центрального тела (Земли), используются уравнения движения спутника в координатной форме:

dr	V ,	dV		.	r f ,	(2.2.47)
dt		dt		r 3

где r — модуль геоцентрического радиус векто ра спутника r; V — вектор его скорости; t — вре мя; — произведение гравитационной посто янной на массу Земли. В правой части послед него из этих уравнений первое слагаемое — век тор основного ускорения; f — вектор суммарно го возмущающего ускорения. Для произволь ного вектора f решение уравнений возмущенно го движения может быть получено лишь чис ленными методами.

При f 0 получаются уравнения невозму щенного кеплеровского движения. Невозму щенное движение (его иногда называют про межуточным) характеризуется двумя основны ми свойствами:

1)уравнения невозмущенного движения допускают строгое аналитическое решение;

2)невозмущенное движение отражает глав ные особенности истинного возмущенного движения.

В задачах динамики ИСЗ в качестве не возмущенного движения в основном исполь зуется решение задачи двух тел. Иногда при меняется решение и другой интегрируемой обобщенной задачи двух неподвижных цен

[2, 3]. В задаче двух тел одно из них — которая рассматривается как однород шар или шар со сферически симметрич распределением плотности, а другое

(спутник) — как материальная точка пренеб режимо малой массы. Аналитическое решение задачи двух тел дает зависимости геоцентриче ского радиус вектора r и компонент вектора скорости V от времени t и шести произволь ных постоянных интегрирования. В качестве таких постоянных могут быть выбраны значе ния компонентов векторов r и V в начальный

момент времени t0 или орбитальных элементов кеплеровского движения.

Воздействие возмущающих сил, обу словленных отличием фигуры Земли от ша рообразной, влиянием сопротивления возду ха, притяжением спутника Луной, Солнцем и

планетами, давлением солнечного света и другими факторами, приводит к тому, что в возмущенном движении орбитальные эле менты не сохраняются постоянными. В каж дый момент времени t они соответствуют элементам такого движения, которое реали зовалось бы в случае внезапного гипотетиче ского прекращения действия всех возмущаю щих сил. Такие элементы носят название ос4 кулирующих, а соответствующая им орбита называется оскулирующей. В возмущенном движении истинная орбита в каждый момент времени соприкасается (osculatio — лат. каса ние, букв. поцелуй) с оскулирующей орби той, соответствующей этому моменту. Поэто му истинную орбиту можно рассматривать как непрерывно изменяющуюся оскулирую щую орбиту. Если возмущения достаточно малы, то на небольшом интервале времени истинная орбита близка к оскулирующей, вычисленной на момент t.

Для совокупности возмущающих сил изменение оскулирующих элементов эллип тического движения со временем описыва ется системой из шести нелинейных диффе ренциальных уравнений первого поряд ка, называемых уравнениями Ньютона [4]. В этих уравнениях использованы стандарт ные обозначения кеплеровских элементов невозмущенного эллиптического движения спутника:

de

~

~

S sin

(cos cos E)T ;

dt

da

2ea2 sin ~

2a2 ~

S

T

;

dt

p

r

di

r cosu

~

W ;

dt

p

d;

cos

sin

r

~

~

S

&1

)T

dt

e

e

&

)

%

p (

r

~

(2.2.48)

W sinu ctg i;

p

d

r sinu

~

;

W

dt

p sini

2er ~

dM

1 e2

n

& cos

)S

dt

e

&

p

)

%

(

1 e2

r ~

&1

)T sin ,

e

&

)

%

p (

где е — эксцентриситет оскулирующего эллип са; — истинная аномалия; Е — эксцентриче

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	69

ская аномалия; а — большая полуось оскули рующего эллипса; i — наклонение плоско сти оскулирующей орбиты (как правило, к плоскости земного экватора); r — модуль ради

ус вектора, r	p	; р — параметр эллипса,
	1 e cos

p a(1 e2); u %, u — аргумент широты; —

аргумент широты перицентра; — долгота вос

t

ходящего узла; М М0 & ndt, М — средняя ано

t0

малия; М0 — средняя аномалия в эпоху t0;

	n					,	n —	движение. Величины
		a		a
	~ ~		~
							— нормированные на p / проекции
	S , T , W

вектора суммарного возмущающего ускорения f на подвижные оси: S — на радиус вектор, T — трансверсаль, W — бинормаль к плоскости ос кулирующей орбиты для момента времени t. Та ким образом,

~		p ~			p	~		p
S			S; T			T ; W			W . (2.2.49)

При отсутствии возмущений, т.е. при ST W 0, элементы a, e, i, , сохраняют по стоянные значения, а средняя аномалия изме няется линейно со временем M M0 n(t t0). При S, T, W, достаточно малых по сравнению с основным ускорением g / r 2, для решения уравнений в оскулирующих элементах приме няются различные приближенные аналитиче ские методы теории возмущений. Каждый из таких методов предполагает наличие малого параметра 1, имеющего порядок отноше ния | f | / g. Предполагается также возможность представления решения уравнений в виде ря дов по степеням . В специальных руковод ствах по небесной механике [1, 5, 6] детально описываются методы последовательных при ближений Пикара, малого параметра Пуанка ре, а также методы Делоне, Цейпеля, Ли, Де при, Хори, основанные на использовании ка нонических переменных и канонических пре образований.

Канонические переменные в небесной механике — специальные элементы орбиты, часто употребляемые вместо кеплеровских. Их применение особенно эффективно в тех случаях, когда возмущающая сила потенци альна, а уравнения движения имеют гамиль тонову форму. Примером канонических пере менных служат элементы Делоне, связанные

с кеплеровскими элементами орбиты соотно шениями:

L a; G L1 e2 ; H G cosi;

l M ; g %, h .

(2.2.50)

Преобразование одной системы канони ческих переменных в другую, при котором уравнения движения сохраняют форму Га мильтона, называется каноническим преобразо2 ванием.

Примером метода, основанного на кано нических преобразованиях, служит метод Цейпеля — один из распространенных в тео рии возмущений гамильтоновых систем, при меняемый для исследования движения НТ. В его основе лежат канонические преобразо вания [6], целью которых является получение возможно более простого выражения для га мильтониана, а в некоторых случаях и сведе ние задачи к интегрируемой. Основные осо бенности метода Цейпеля могут быть описаны с использованием канонических переменных Делоне L, G, H, l, g, h (2.2.50). Изменение этих переменных определяется канонической сис темой дифференциальных уравнений:

dL

F ;

dG

F ;

dH

F ;

dt

l

dt

g

dt

h

dl

F ;

dg

F ;

dh

F

,

(2.2.51)

dt

L

dt

G

dt

H

где гамильтониан задачи F состоит из суммы невозмущенного гамильтониана F0 и возму щающей функции F1:

F F0 F1(L, l, G, g, H, h, t). (2.2.52)

В качестве невозмущенного принимается

эллиптическое	кеплеровское движение, для
		2
которого F			. В практических задачах
		2
		L
отношение		| /F0 является малой величи

ной. Явная зависимость F1 от времени t бывает обусловлена действием возмущений различ ной природы, например, притяжением третье го тела или влиянием тессеральных гармоник гравитационного поля основного притягиваю щего тела. В результате применения метода Цейпеля находятся реальные зависимости от времени оскулирующих элементов орбиты НТ, т.е. осуществляется прогнозирование его дви жения.

Для исследования движения спутников на длительных интервалах времени широкое

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

70	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

распространение получили методы осредне ния. В возмущенном движении все элементы спутниковой орбиты подвержены возмущени ям различных типов. Если короткопериодиче ские возмущения, связанные с орбитальным движением спутника, обычно имеют незначи тельную амплитуду, то долгопериодические, особенно вековые, вносят существенные по величине, а иногда и качественные изменения в движение спутника и в эволюцию (медленное изменение элементов) его орбиты.

В основе метода осреднения лежит про цедура, позволяющая исключить из рассмот рения короткопериодические возмущения. При наличии малого параметра и потенци альности возмущающих сил она выполняет ся как первый шаг или необходимый эле мент теории возмущений и сводится к заме не полной возмущающей функции (или по тенциала) некоторым осредненным выраже нием. В небесной механике существует не сколько способов или схем осреднения [7], которые применяются, исходя из специфи ческих особенностей конкретной задачи. В результате проведения той или иной про цедуры осреднения возмущающая функция более не содержит короткопериодических (или быстро осциллирующих) функций вре мени.

Уравнения движения спутника, в кото рых полная возмущающая функция заменена ее осредненным выражением, оказываются су щественно более простыми и обладающими двумя принципиальными преимуществами по сравнению с исходными. Первое заключается в том, что такие осредненные или эволюцион ные уравнения могут быть проинтегрированы численным способом с гораздо большей эф фективностью в силу отсутствия в правых час тях быстро осциллирующих (короткопериоди ческих) функций, обычно тормозящих про цесс малостью шага интегрирования. Для чис ленного решения осредненных уравнений в зависимости от схемы осреднения этот шаг может быть выбран равным одному или даже многим орбитальным периодам обращения спутника.

Данное обстоятельство часто использует ся в комбинированных численно аналитиче ских (полуаналитических) методах расчета возмущенного движения. Подобные методы предусматривают аналитическое построение осредненного возмущающего гамильтониана и нахождение короткопериодических возмуще

ний вместе с численным интегрированием ос редненных уравнений.

Второе преимущество заключается в возможности проведения приближенного анализа осредненных уравнений в целях вы явления основных качественных закономер ностей эволюции орбиты, поскольку анали тическое выражение для осредненной возму щающей функции оказывается существенно более простым, чем исходное. В некоторых случаях это выражение упрощается настоль ко, что система эволюционных уравнений до пускает интегрирование в квадратурах, а ино гда — и в известных специальных функциях. При этом говорят, что соответствующая ос

редненная задача (или с	интегрируема.
В частности, интегрируемой	так на

зываемая двукратно осредненная задача Хил ла, в которой возмущающее тело находится на расстоянии, много большем расстояния спутник–планета [8].

Фактическое осреднение возмущающей функции проводится с учетом специфики за дачи. Так как кроме основного орбитального периода обращения спутника в возмущающей функции присутствуют также периоды движе ния возмущающих тел, то при осреднении обязательно принимаются во внимание соот ношения между всеми периодами. В зависи мости от этих соотношений, среди которых могут быть и резонансные (при соизмеримых периодах), выбирается та или иная схема ос реднения.

В ряде задач возмущающие силы не явля ются потенциальными. В таких случаях осред нению подлежат непосредственно правые час ти уравнений возмущенного движения. При этом вместо одной возмущающей функции, приходится осреднять шесть функций правых частей дифференциальных уравнений. В слу чае потенциальных сил обе эти процедуры эквивалентны. В математическом аспекте про цедура осреднения сводится к вычислению оп ределенных интегралов по средней аномалии спутника, причем остальные элементы орбиты считаются постоянными в течение периода обращения.

2.2.2.2. Влияние сжатия и атмосферы Земли на движение ИСЗ

Реальное движение ИСЗ происходит в нецентральном поле притяжения Земли. Кро ме того, на высотах примерно до 1000 км над поверхностью Земли спутник испытывает за

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ВОЗМУЩЕННОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ	71

метное сопротивление воздуха. Эти два основ ных возмущающих фактора обязательно учи тываются при прогнозировании движения ИСЗ и при анализе эволюции его орбиты. В силу достаточной малости возмущающих ус корений, обусловленных сжатием Земли и со противлением воздуха, по отношению к ос новному притяжению шарообразной Земли два эти указанных возмущающих фактора в первом приближении рассматриваются неза висимо, а их совокупное влияние находится простым суммированием возмущений.

1. Влияние сжатия Земли на движение ИСЗ. Главное отличие фигуры Земли от шаро образной — ее полярное сжатие. Численное значение земного сжатия относительно невели

ко	и			определяется		отношением
	r0 r1	−	1	, где r	и r — экваториальный и
	r0		298	0	1

полярный радиусы Земли соответственно. Но на длительных интервалах времени сжатие Зем ли вызывает заметные возмущения в движении ИСЗ и главным образом вековые изменения трех элементов спутниковой орбиты — аргу мента широты перигея, долготы восходящего узла и средней аномалии в эпоху.

Физическая природа притяжения несфе ричной Земли такова, что возмущающая сила и основная сила притяжения Земли как мате риальной точки потенциальны, т.е. вектор воз мущающего ускорения может быть представ

лен в виде
f grad R.	(2.2.53)

В этом выражении R называется возму щающей функцией, которая зависит от гео центрических координат спутника. Используе мое на практике выражение функции R пред ставляется рядом по степеням отношения r0 /r с коэффициентами, зависящими от географи ческих координат спутника.

Первое и наиболее существенное слагае мое этого ряда выражается формулой

		.r 2c	20
	R	0		(3sin2 1),	(2.2.54)
		2r 3

где постоянный безразмерный коэффициент с20 − 0,001082 имеет порядок земного сжа тия; — географическая широта спутника, sin sini sinu.

Проектированием вектора f на подвиж ные оси радиус вектора спутника, трансвер

саль и бинормаль к плоскости его получаются компоненты, входящие в вые части уравнений в оскулирующих эле ментах [9]:

	3.r 2c			20
S		0			(1 3sin2 i sin2 u),					(2.2.55)
	2r 4
		3.r 2c				20
T				0					sin2 i sin2u,	(2.2.56)
			2r 4
			3.r 2c				20
W				0					sin2i sin2 u.	(2.2.57)
			2r 4

Полученные таким образом уравнения ис пользуют для выявления качественных особен ностей влияния отдельно рассматриваемого возмущающего фактора (в данном случае — сжатия Земли) на эволюцию орбиты ИСЗ, а также для приближенных количественных оце нок изменения элементов. Короткопериодиче ские возмущения элементов орбиты ИСЗ, обу словленные сжатием Земли, имеют порядок от ношения модуля вектора f возмущающего уско рения к основному ускорению g c20 (r0 / r)2. Наибольших значений амплитуда короткопе риодических возмущений (колебаний орби тальных элементов) достигает при минималь ном расстоянии r.

Для близких ИСЗ данная величина со

ставляет примерно	доли градуса в угло
вых переменных,	0,001 в эксцентри
ситете и примерно	геоцентрического

расстояния в большой полуоси. Во многих случаях при изучении возмущенного движения на длительных интервалах времени порядка десятков и сотен орбитальных периодов спут ника короткопериодическими возмущениями пренебрегают и для исследования уравнений используют метод осреднения по средней ано малии М, изменяющейся с угловой скоростью n (среднего движения спутника).

Осредненные уравнения c правыми час тями, замененными их средними значениями описывают изменение так называемых сред них элементов Э, свободных от короткоперио дических возмущений:

				2
dЭ			1		dЭ
				:
						dM,	(2.2.58)
dt			2		dt
			0

где Э — вектор, компонентами которого яв ляются все элементы орбиты a, e, i, , , M0. При вычислении определенных интегралов, приведенных выше, все параметры орбиты,

ИСЗ, т.е.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

72	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

входящие в правые части, кроме М, и Е, считаются постоянными для данного оборо та спутника. Анализ осредненных уравнений показывает, что под действием сжатия сред

ние элементы a, e,i , n . не изменяются aa

со временем, а изменения средних элемен тов ;, , M0 описываются следующими фор мулами:

; ;( 0) ;(t t0 ), ( 0) (t t0 ), M0

		0( 0)	M	0 (t t0 ),	(2.2.59)
	M

где ( 0), M0( 0), ;( 0) — начальные значения соот ветствующих средних элементов;

						3							r02c20
											n																	2
	;																							(1			5cos		i );
						4				(1											2)2
								a										e
													3							r02c20
																	n
																											cosi ;					(2.2.60)
											2					2(1									2)2
														a									e
										3					r02c20
												n														(1 3cos				2	i ).	(2.2.61)
M0
									2(1													2)3 /2
				4			a												e

Таким образом, влияние сжатия Земли главным образом проявляется в вековом из менении аргумента широты перицентра, долготы восходящего узла и средней анома лии в эпоху. Скорость векового ухода ; об ращается в нуль при cos2 i 1/ 5 или i − 63,5 и i −116,5 (так называемые критические накло4 нения).

Данное обстоятельство существенным образом используется при выборе параметров высокоапогейных орбит спутников связи типа «Молния». Скорость векового ухода обра щается в нуль при i 90 . Для различных a, e,i эта скорость может быть выбрана, в частности, равной скорости орбитального движения Зем ли (примерно 1 /сут). Данное явление ис пользуют при выборе параметров так называе мых солнечно синхронных орбит ИСЗ. Плос кость таких орбит поворачивается вместе с Солнцем, т.е. сохраняет свою пространствен ную ориентацию относительно направления на Солнце.

2. Влияние земной атмосферы вызывает торможение движения ИСЗ, особенно в ее плотных слоях. Величина этой силы определя ется формулой

F	7PV 2	(2.2.62)
	cx ,
	2

где — плотность воздуха; P — эффективная площадь поверхности, нормальная к набегаю щему потоку воздуха (так называемая площадь миделева сечения); V — квадрат скорости спут ника; сx — некоторый безразмерный коэффи циент, зависящий от поверхностных свойств спутника. Направление этой силы прямо про тивоположно вектору V. Если пренебречь влия нием захвата атмосферы вращающейся Землей, то соответствующие компоненты вектора уско рения f определяются через элементы орбиты по следующим формулам [9]:

			c7.
	S					1 2ecos e2 e sin ;				(2.2.63)
			p
		c7(h).						1 ecos ; W 0,
	T						1 2ecos e2
			p
										(2.2.64)

где c cx P, m — масса спутника. 2m

Поскольку бинормальная компонента ус корения равна нулю, сила сопротивления нев ращающейся атмосферы не изменяет про странственной ориентации плоскости орбиты

di d 0. dt dt

Анализ соответствующих осредненных за период движения спутника уравнений в эле ментах показывает, что в случае стационарной модели атмосферы, когда ее плотность является лишь функцией высоты h (или геоцентрическо го расстояния r), среднее значение аргумента

широты перицентра не меняется,

т.е.

d ;

0.

dt

Для вековых изменений средних

,

a

e

за период обращения

спутника

следующие выражения:

2

1

cos E

2ca

2 :

7

e

1

2 cos2 EdE,

a

e

1

cos E

0

e

(2.2.65)

2

cos E

2ca

(1

2) :

7

1

2 cos2 EdE.

e

e

e

cos E

1

0

e

Для изотермической модели атмосферы оказывается, что a + 0 и e + 0. Это означает, что под действием сопротивления воздуха спутник движется по эллиптической спирали, со временем приближающейся к круговой ор бите, радиус которой также монотонно умень шается. Уменьшение большой полуоси вызы вает увеличение среднего движения ИСЗ, по