Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ ОКОЛОКРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ	141

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ting Lu. Optimum orbital transfers by se veral impulses // Acta Astronautica. Vol. 6, № 5, 1960. P. 256–265.

2.Райдер Л. Необходимая характеристи ческая скорость для перелета между некомпла нарными круговыми орбитами с помощью им пульсов тяги // Ракетная техника. 1961. № 3.

С.78–86.

3.Hoelker R.F., Silber R. The Bi Elliptical Transfer between Coplanar Circular Orbits // Pla netary and Space Sci. 1961. V. 7. P. 164–175.

4.Хэндельсмен М. Оптимальные траекто рии полета в безвоздушном пространстве с по стоянной тягой при использовании импульсных траекторий в качестве начальных приближе ний // Ракетная техника и космонавтика. 1966.

Т.4, № 6. С. 151–158.

5.Мойер Х.Г. Необходимые условия опти мальности одноимпульсного перехода // Ракет ная техника и космонавтика. 1966. Т. 4, № 8.

С.1405–1410.

6.Marshal C. Synthesis of the Analytical Re sults on Optimal Transfers between Keplerian Orbits (Time free Case) // Colloque sur les Proble mes et Methodes Avancees pour l’Optimisation des Vols Spatiaux, Liege, 1967. 88 p.

7.Гобец Ф.У., Долл Дж.Р. Обзор импульс ных траекторий // Ракетная техника и космо навтика. 1969. Т. 7, № 5. С. 3–46.

8.Мойер Х.Г. Численный обзор траекторий импульсного перехода типа «эллипс–эллипс» // Ракетная техника и космонавтика. 1971. Т. 9, № 2. С. 321–322.

9.Штернфельд А.А. Введение в космонав тику. 2 е изд. М.: Наука, 1974. 240 с.

10.Смолл Х.В. Глобальный оптимум в за даче компланарного межорбитального перехо да // Ракетная техника и космонавтика. 1977.

Т.15, № 9. С. 11–19.

11.Ивашкин В.В., Скороходов А.П. Опти мальные многоимпульсные перелеты КА из точки на орбиту // Космические исследования. 1978. Т. XVI, вып. 2. C. 208–216.

2.3.7. ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ ОКОЛОКРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ

Важность анализа задач маневрирования на околокруговых орбитах объясняется тем, что на орбитах этого класса располагается зна чительная часть реальных КА. Для этих задач существуют аналитические решения в прибли женной, линеаризованной постановке. Они

близки к решениям в точной постановке и мо гут служить хорошим начальным приближени ем для точного численного определения пара метров маневров перелета между эллиптиче скими орбитами.

Постановка задачи маневрирования на околокруговых орбитах

Задача определения параметров оптималь ного перелета между близкими околокруговыми орбитами решается в линеаризованной поста новке. Вводится опорная круговая орбита радиу са r0, равного большой полуоси конечной орби

ты af, лежащая в плоскости	орбиты.
Используется система координат	, оси OX
и OZ направлены из центра	в ко

нечную точку полета и по вектору кинетическо го момента опорного движения соответственно.

Введем следующие обозначения:

V0, 0 — линейная и угловая скорости дви жения по опорной круговой орбите соответст венно;

индексы «f», «0» соответствуют конечной и начальной орбитам;

ef, e0 — эксцентриситеты орбит; аf, a0 — большие полуоси орбит;

;f, ;0 — углы между осью OX и направле ниями на перицентр соответствующей орбиты; tf — заданное время прихода в конечную

точку;

t0 — время, за которое при движении по начальной орбите проекция радиус вектора на плоскость конечной орбиты попадет на ось OX;

Z0 — отклонение точки	начальной ор
бите от опорной плоскости	момент t0;
VZ0 — относительная	скорость в
момент t0.

Предполагается, что на оптимальной тра ектории перелета сообщается N импульсов

скорости, Vri*, Vti*, Vzi* , i — радиальная, трансверсальная, боковая составляющие и

угол приложения i го импульса скорости (i 1, 2, …, N). Угол i отсчитывается в направлении движения КА от оси OX до радиус вектора точки приложения импульса. Углы i неполо жительные, причем в конечной точке 0.

Для околокругового движения условия выхода в заданную точку конечной орбиты за пишутся в следующем безразмерном виде [1]:

N
( Vri sin i + 2 Vti cos i )= ex ;	(2.3.91)
i 1
N
( Vri cos i + 2 Vti sin i ) ey ;	(2.3.92)

i 1

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

142	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

N

2 Vti a;

(2.3.93)

i 1

N

[2 Vri (1 cos i )+ Vti ( 3 i

4sin i )] t;

i 1

(2.3.94)

N

Vzi

sin i Z ;

(2.3.95);

i 1

N

Vzi cos i

Vz ,

(2.3.96)

i 1

где

ех

ef cos ;f e0 cos ;0; еу

ef sin ;f

e0 sin ;0; a (аf a0) /r0; t 0(tf

t0); Z

Z

/r ; V V

/V ; V

ri

V */V

0

; V

ti

V */V

0

;

0

0

z

z0

0

ri

ti

Vzi

Vzi* /V0 .

Задача

определения

параметров

мальных маневров формулируется следующим образом: надо определить Vri, Vti, Vzi,

1, 2, …, N), при которых минимальна суммар ная характеристическая скорость маневров wf :

N	N
w f Vi		Vri2 Vti2 Vzi2	(2.3.97)
i 1	i 1

при ограничениях (2.3.91)–(2.3.96). Изменение вектора эксцентриситета ор

биты в результате приложения трансверсаль ной составляющей Vri i го импульса скорости на плоскости (ех, еу) изображается вектором АВ (рис. 2.3.19), имеющим длину 2 Vti и про веденным под углом i к оси еx. Изменение вектора эксцентриситета, вызванное радиаль ной составляющей импульса скорости, изобра жается вектором ВК (рис. 2.3.19), имеющим длину Vri, проведенным под углом 1,5 i к оси еx и перпендикулярным вектору АВ. Всему

Рис. 2.3.19. Изменение вектора эксцентрисите та при сообщении импульса скорости

импульсу скорости на плоскости (ех, еу) будет соответствовать вектор АК, показывающий из менение вектора эксцентриситета в результате приложения этого импульса. Многоимпульс ному решению задачи в пространстве (ех, еу) соответствует некоторая ломаная линия.

В системе (2.3.91)–(2.3.96) присутствуют только изменения элементов орбит в конечной точке. Поэтому переход между эллиптически

ми орбитами с параметрами (e0х, e0у, а0) и (efх, efу, аf) в линейном приближении эквивалентен

переходу с опорной круговой орбиты радиуса r0 на эллиптическую с параметрами ( ех, еу, а r0 r0 a). В дальнейшем орбита с элемен

тами ( ех, еу, а r0 r0 a) будет называться относительной, а на плоскости (ех, еу) вместо

перехода из точки (e0х, e0у) в точку (efх, efу) изо бразится переход из точки (0, 0) в точку ( ех,

еу). Таким образом, для близких орбит с не большими эксцентриситетами общая задача перехода между произвольными орбитами в данном, линейном, приближении эквивалент на более простой задаче перехода с круговой на эллиптическую орбиту.

Необходимые условия оптимальности

Для решения задачи поиска оптимальных параметров маневров используются необходи мые условия оптимальности (п. 2.3.3) и теория базис вектора. Для околокругового движения выражения для определения составляющих ба зис вектора ( , , ), сопряженных соответст венно радиальной, трансверсальной и боковой составляющим вектора скорости, приведены в (2.3.52) для е 0. Для обозначения текущего угла в опорной плоскости используется угол . Уравнения (2.3.52) обычно используются в следующем виде:

22 2						0 ) 2 6;						(2.3.98)
. 2 1 2						23 cos( 0 ) 3 6 ;						(2.3.99)
	Σ					2			5		sin( 0)
						22 23
		2 4 3						5		cos( 0);		(2.3.100)
					22 23
						tg 0 2 .						(2.3.101)
											3

Для оптимальной ориентации i го импуль са скорости, прикладываемого к точке i, необ ходимо выполнение условий:

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ ОКОЛОКРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ

143

Vri ( i ); Vti .( i );

Vzi Σ( i ).

Vi

Vi

Vi

В общем случае уравнения (2.3.98)–

(2.3.101)

описывают спираль

в пространстве

( , , ) или циклоиду на плоскости ( , ). Ес

ли 6 0, то годограф базис вектора может вы

рождаться в эллипс, окружность, отрезок или

точку, которые, как следует из необходимых

условий

оптимальности, должны

касаться

сферы или окружности единичного радиуса.

Константа 6 всегда равна нулю для переходов,

когда время выхода на заданную орбиту про

извольно (уравнение (2.3.94) не учитывается),

но 6 0 и в некоторых случаях для задач

встречи (иногда употребляют термин мягкой

Рис. 2.3.20. Годограф базис вектора для пере

встречи). Вид годографа базис вектора опреде

хода между компланарными орбитами

ляет возможные типы оптимальных решений,

а условия задачи определяют выбор конкрет

ного типа решений.

e2 a2

Vt1

;

Переходы между компланарными орбитами

4( e

y

sin e

x

cos a)

1

1

При расчете параметров маневров пере

V

1 a V

;

t 2

t1

ходов между компланарными орбитами ис

(2.3.102)

2

пользуются уравнения (2.3.91)–(2.3.93) и урав

1 e

V

sin

нения (2.3.98), (2.3.99) и (2.3.101).

y

t

1

1

tg

2

.

2

1

ex

Vt1 cos 1

Переходы между компланарными

2

непересекающимися орбитами

В случае, когда начальная и конечная ор

Из уравнения (2.3.93) находится сум

биты не пересекаются (Ο a Ο 6 е), оптималь

марная характеристическая скорость манев

ному переходу соответствует вырождение го

N

1

дографа базис вектора в точку, которая при

ра w f

| Vti |

| a|.

надлежит

окружности единичного

радиуса.

i 1

2

При этом в (2.3.98), (2.3.99) 2 3 6 0,

На рис. 2.3.21 иллюстрируется геометри

1 0,5 или 1 0,5. На плоскости ( , ) го

ческое место вектора эксцентриситета пере

дограф вырождается в точку В( 1, 0) или С(1,

ходной орбиты. Если изменять угол 1, то на

0). Для этих решений 0 ( V

1 или

плоскости (ех, еу) геометрическим местом то

чек,

соответствующих

вектору

эксцентриси

1; импульсы скорости — трансверсаль

ные, они или разгонные (

тормоз

тета переходной орбиты, получающейся по

ные ( 1). Годограф базис вектора для пе

сле приложения первого импульса скорости,

рехода между компланарными орбитами изо

будет эллипс (рис. 2.3.21, a) [2]. Из множест

бражен на рис. 2.3.20. Существует множество

ва решений с одинаковой суммарной харак

решений этого типа с одинаковой суммарной

теристической скоростью можно выбрать ре

характеристической скоростью wf, но с разны

шение,

удовлетворяющее

дополнительным

ми углами приложения и величинами импуль

ограничениям — на эксцентриситет переход

сов скорости.

ной орбиты, величины импульсов скорости

Чтобы найти параметры конкретного ре

или их углы приложения и т.д. Например, ре

шения, фиксируется угол приложения одного

шению с одинаковыми величинами импуль

из импульсов скорости, например, 1 1f. За

сов скорости соответствует ломаная ADK

тем из уравнений (2.3.91)–(2.3.93) определя

(рис. 2.3.21, а).

ются угол приложения второго импульса 2 и

ГП — частный случай решения этого ти

величины трансверсальных составляющих им

па. Так как для ГП начальная и заданная орби

пульсов Vt1 и Vt2:

ты круговые, то в этом случае е

е е 0,

х

у

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

144	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

Рис. 2.3.21. Геометрическое место вектора эксцентриситета переходной орбиты. Орбиты: a — непересекающиеся; б — пересекающиеся

следовательно, Vt1 Vt2 1 a, угол 2 1 4

, а угол 1 выбирается произвольно.

Переходы между компланарными пересекающимися орбитами

Оптимальным переходам между кающимися орбитами (Ο a Ο 5 е) вует годограф базис вектора в виде

касающегося окружности единичного радиу са в точке В( 1, 0) и С(1, 0) (рис. 2.3.20).

При этом 22 23 0,5; 1 0; 6 0. Так как у точек касания эллипса и окружности

0, /1, то Vri 0, и импульсы скоро сти для этого решения опять будут трансвер

сальными.

Оптимален двухимпульсный переход. Один импульс скорости — тормозной, ему со ответствует левая точка касания 1, второй импульс скорости — разгонный, ему соответ ствует правая точка касания 1. Углы при ложения импульсов скорости 1, 2 отличают ся на половину витка.

Для решений, у которых отсутствуют радиальные составляющие импульсов скоро сти, на плоскости (ех, еу) геометрическим местом точек, соответствующих вектору экс центриситета переходной орбиты, получаю щейся после приложения первого импульса, будут ветви гиперболы (рис. 2.3.21, б) [2]. Вы бор ветви гиперболы определяется порядком

приложения разгонного и тормозного им пульсов скорости.

Из всей совокупности этих решений оптимально решение, у которого импуль сы скорости направлены вдоль осевой ли нии гипербол (2 Vt1 AB, 2 Vt2 BK, рис. 2.3.21, б), т.е. импульсы скорости при кладываются на линии апсид относитель ной орбиты. У такого перехода углы прило жения импульсов скорости отличаются на половину витка.

Параметры импульсов скорости находят ся по формулам:

Vt1			1		( a e); Vt 2		1	( a e);
		4				4
			1 е, 2 е ,
где tg		ey		.
e		ex

Для всех задач перехода порядок прило жения импульсов скорости можно менять.

	Суммарные			затраты характеристиче
	ской скорости			вычисляются по формуле
	N	1
	w f | Vti |		e.
		2
	i 1

Переходы между некомпланарными орбитами

Некомпланарные переходы рассматрива ются в системе координат, ось OX которой на правлена вдоль линии пересечения плоскостей

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ ОКОЛОКРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ	145

Рис. 2.3.22. Годограф базис вектора для некомпланарного перехода: a — узловой случай; б — невырожденный случай; в — случай

орбит. Тогда уравнения (2.3.95), (2.3.96) при нимают вид:

N
Vzi sin i 0;
i 1		(2.3.103)
N
Vzi cos i i,
i 1

где i Z 2 Vz2 , i — угол между плоско стями орбит.

При переходе	некомпланарными
орбитами существуют	конфигурации годо
графа базис вектора	. 2.3.22) в форме эл

липса, которые позволяют годографу иметь более одного максимума [3].

Первая конфигурация представляет со бой семейство решений, у которых центр эллипса расположен в начале системы ко ординат (рис. 2.3.22, a). В этом случае, по лучившем название узловой случай (nodal case), два эквивалентных максимума распо ложены на главной оси эллипса, следова тельно, расстояние между углами приложе ния импульсов скорости составит 180 . Уз

ловой случай описывается		следующими
уравнениями:
1 0;
2 1 ;
( 1) (		(2.3.104)
	2);
.( ) .(	);
1	2
Σ( 1) Σ( 2).

Вторая конфигурация, которая допус кает два одинаковых максимума базис век

тора, соответствует случаю, когда эллипс проходит через ось и центр эллипса сдви нут относительно начала системы коорди нат (рис. 2.3.22, б). Он носит название невы4 рожденный случай (nondegenerate case) и описывается следующими уравнениями и неравенствами:

			2 4 3 5 ;
			2 0 0 1;
			( 1) ( 2);														(2.3.105)
													,
			.( 1) .( 2);
			Σ( 1) Σ( 2),
cos( 1 0 )								4 1( 22				23 )3
																		;
				(							)2	3( 2				2 )2
					3		4		5
								2						2			3
3( 22 23 )2 + ( 3 4 2 5 )2;
						3		4 2 5 )				2		3(		2	3 ) .
4 1 2		3 5 (
2		2												2			2	2

Третья конфигурация — комбинация первых двух. Форма годографа базис векто ра — окружность, базис вектор имеет одну и ту же величину, равную единице, во всех точ ках орбиты (рис. 2.3.22, в). Его называют осо4 бым случаем (singular case) и описывают сле дующими уравнениями:

	1 0; 2 4 3 5 ;
							3
	3( 22		23 )2 ( 3 4 2 5 )2					;
				4
		1
				sin( 0 ); . cos( 0 );					(2.3.106)
		2
	Σ /				3	sin( 0 )(« », если i + 0).
				2

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

146	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

Решая совместно (2.3.91)–(2.3.93), (2.3.98)– (2.3.101), (2.3.103), (2.3.104) либо (2.3.105), (2.3.106), находят параметры импульсов скорости перехода, соответствующего этим ти

оптимальных решений.

Существует также вырожденный вариант ( 2 3 6 0), когда годограф вырождается в прямолинейный отрезок [4], это решение без радиальных составляющих импульсов.

Невырожденное решение. Область суще ствования этого решения задается следую щими условиями: a2 ex2; a2 ex2 ey2

2 i ey i2.

3

Выражения для суммарной характеристи ческой скорости wf и коэффициентов 1, 2, 3,4, 5 имеют вид [3]:

							1
												i2 ex2 ey2 a2 ( i2 ex2 ey2 a2)2 4 i2 ey2
w f																																																;
			2
														1											i2 e2						e2				a2
1							a																							x			y													;
																				( i			2	ex ey							a					)	2	4 i			2	ey
			2 V 2																									2		2				2									2
				ey																			i			2		2			2							2
2																												ex		ey			a
			2 V 1																( i		2					2		2			2 2					4 i			2			2		;
																						ex						ey		a			)							ey
																																																	(2.3.108)
				ex																			i		2			2			2		a					2
3																											ex		ey
										1																																	;
				2 V															( i2 e								2	e	2	a2)2 4 i									2 e2
																										x		y														y
					ey																							2 i ex
	4
					2 V													( i2 e2									e2		a2)2 4 i2 e2
																								x				y													y
																							i2 e2						e2				a2
5							i																					x				y
										1									( i		2			ex				ey			a		)	2		4 i			2	ey			.
			2 V																							2		2			2											2

	Узловое решение	Из (2.3.108) и (2.3.101) находится			0,
	Это решение существует, если выполне	а из системы (2.3.105) определяются			при
		ложения импульсов скорости. Ориентация им
	ны условия: a2 5 ex2, 3 ey2 5 i2. Импульсы
	скорости прикладываются на линии узлов. Их	пульсов	скорости находится	из (2.3.98)–
		(2.3.101),	с помощью (2.3.93)	определяется
	составляющие находятся по формулам:

распределение величин импульсов.

Vt1

1

( a

ex );

4

1

ey

Vr 2

( a ex )

;

2

ex

1

i

V

( a

e

)

;

z1

2

x

ex

(2.3.107)

1

Vt 2

( a

ex );

4

1

ey

Vr 2

( a ex )

2

ex

1

i

Vz 2

( a

ex )

.

2

ex

Сумма величин

импульсов

скорости

w f

i2

1

ex2 ey2 .

4

Особое решение

Для особого случая область существова ния решения, суммарная характеристическая скорость и значение угла 0 определяются вы ражениями:

	i2 5 3 ey2;
												2
	2				2					2								2
	a 5	ex					ey								i ey	i		;
												3
		1																(2.3.109)
	w f									ey )2 ex2 ;
					( 3 i
		4
	tg 0					3 i				e	y		.
								ex

После перехода к новым переменным аs, xs, ys, связанным с переменными a, ех, еу,

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ ОКОЛОКРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ	147

соотношениями а

1

a, x

2

(2w

е cos

s

2

s

3

f

x

0

е sin ),

y

2

( е

sin

е

cos ),

у

0

s

3

x

0

у

0

0 , система

(2.3.91)–(2.3.93), (2.3.103)

примет вид:

N

w f ;

N

Vi

Vi cos i as

;

i 1

i 1

N

Vi

sin2 i xs ;

(2.3.110)

i 1

N

Vi

sin i cos i ys .

i 1

В системе (2.3.110) меньше уравнений, чем в (2.3.91)–(2.3.93), (2.3.97), (2.3.103), так как еще два уравнения системы (2.3.110), яв лявшихся линейной комбинацией остальных уравнений, были исключены.

Из системы (2.3.110) численно опреде ляются параметры оптимального двухим пульсного решения. использовать и для аналитического определения эквивалент ных по функционалу трехимпульсных реше ний, задавая значения каких нибудь двух па раметров. Например, можно выбрать угол приложения первого импульса скорости, сов падающим с 0 ( 1 0), а угол приложения второго импульса скорости, отличающимся на половину витка, т.е. 1 0, 2 , и затем найти из системы (2.3.110) остальные пара метры маневров [4].

Решение без радиальных составляющих импульсов скорости

Решение с нулевыми радиальными со ставляющими представляет собой четвертый возможный тип оптимального решения. Оно существует, если линия апсид относительной орбиты совпадает с линией пересечения плос костей начальной и конечной орбит ( ey 0). Углы приложения импульсов скорости отли чаются на 180 . При этом 2 3 6 0, и система (2.3.98)–(2.3.101) принимает вид:

0; .				2 1;
Σ		24					(2.3.111)
				25 cos( 1);
tg			4
	1			.
			5

В этом случае годограф базис вектора вырождается в отрезок, параллельный оси и

пересекающий ось [4]. У оптимальных реше

ний этого типа Σ( 1) Σ( 2), следовательно

.( 1) .( 2)

Vz1		Vz 2 .	(2.3.112)
Vt1		Vt 2

Параметры решения легко находятся из системы (2.3.91)–(2.3.93), (2.3.103).

Универсальное решение без радиальных составляющих импульсов скорости

Запрет на использование радиальных составляющих импульсов скорости часто встречается при работе с реальными КА. Ре шение без радиальных составляющих более простое, но в общем случае имеет б льшую суммарную характеристическую скорость, чем рассмотренные выше оптимальные ре шения.

Для поиска параметров этого решения ( ey 3 0) можно зафиксировать значение од ной из переменных, например 1 1f, а за тем определить значения Vt1, Vt2, 2 по формулам (2.3.102), значения Vz1, Vz2 опре деляются из (2.3.103). Далее ищется минимум wf в пространстве одной переменной 1.

Простым и достаточно близким к опти мальному является решение с одинаковым от ношением модулей составляющих импульсов:

V		z1			V	z 2
								(2.3.113)
					Vt 2		.
Vt1

Угол приложения одного из импульсов этого решения вычисляется по формуле [4]:

			e					2		a2
	1	&1		)	&	ctg				)
tg							ctg				,
	2	%	a (		&					a2 e2 )
					%					(
										(2.3.114)

где — угол между линией пересечения плос костей орбит и линией апсид относительной орбиты.

Далее по (2.3.102) и (2.3.103) определяют ся остальные параметры маневров.

Суммарная характеристическая скорость данного решения достаточно близка к суммар ной характеристической скорости приведен ных выше оптимальных решений, особенно в области, где оптимальны невырожденные реше4 ния. Поэтому для проектно исследовательских задач часто достаточно использовать это до вольно простое решение.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

148	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

Задача встречи

Для обеспечения вывода КА в заданную точку конечной орбиты в фиксированное вре мя (задача встречи) часто используется много витковая схема маневрирования. Импульсы скорости прикладываются на двух интервалах маневрирования, расстояние между которыми может составлять от нескольких до нескольких десятков витков. Такая схема позволяет уточ нить параметры орбиты ожидания, получаю щейся после реализации маневров первого ин тервала, и затем более аккуратно определить параметры маневров второго интервала, что очень важно, так как эти маневры непосредст венно предшествуют процессу сближения.

Система уравнений (2.3.91)–(2.3.96) опи сывает условия, которые необходимо выпол нить при решении задачи встречи.

Вследствие многовитковости перелета в уравнении (2.3.94) коэффициенты при транс версальных составляющих импульсов скоро сти первого интервала маневрирования во много раз превышают все остальные коэффи циенты, но мало отличаются друг от друга, что позволяет приближенно оценить величину суммы этих составляющих VtI и найти вели чину изменения большой полуоси орбиты ак тивного КА импульсами скорости первого и второго интервала маневрирования:

VtI −	t	;
	3 0
аI 2 VtI;			(2.3.115)
аII 2 VtII а 2 VtI,			(2.3.116)

где 0 — произвольная точка первого интервала маневрирования.

Обозначим через a* абсолютное изме нение большой полуоси орбиты, происходя

щее в процессе реализации маневров встре чи a* | aI | | aII |.

Если а* | а |, то суммарная характе ристическая скорость решения задачи встре чи будет равна суммарной характеристиче ской скорости решения задачи перехода ме жду орбитами, а найденное решение будет оптимальным. Такой вариант часто встреча ется в практической работе, так как время старта назначается таким, чтобы было обес печено нужное начальное расстояние вдоль орбиты между активным КА и КА целью. В этом случае решение задачи всиречи мож но получить, разделив соответствующим об разом величины импульсов скорости задачи

перехода между двумя интервалами маневри рования.

Если а* 6 | а |, то суммарная характери стическая скорость решения задачи встречи будет больше суммарной характеристической скорости решения задачи перехода. Например, если КА цель находится выше активного КА и далеко впереди него. Тогда активный КА дол жен сначала еще больше понизить высоту свой орбиты маневрами первого интервала, чтобы успеть догнать КА цель за заданное число вит ков, а затем на втором интервале маневриро вания уже повысить высоту свой орбиты. Сум марное изменение большой полуоси будет за метно больше, чем требуется просто для пере хода между орбитами. Импульсы на одном ин тервале маневрирования будут тормозные, на другом — разгонные.

Встреча на компланарных орбитах

Для случая а* | а |, и орбиты пересе каются, годограф базис вектора имеет вид эллипса, вписанного в окружность. Для оп тимального решения компланарной задачи встречи достаточно трех импульсов, которые прикладываются на линии апсид относи тельно орбиты. Величины импульсов нахо дятся из системы (2.3.92)–(2.3.94). Апси дальное решение применимо не только для встречи средней, но и короткой продолжи тельности.

Если а* | а |, и орбиты не пересека ются, годограф базис вектора вырождается в точку. Кроме указанного выше апсидального трехимпульсного решения существует мно жество трех и четырехимпульсных решений с той же минимальной суммарной характе ристической скоростью. Выбор конкретного решения зависит от дополнительных ограни чений, которые необходимо учитывать в за даче [5].

Если нет дополнительных ограничений, достаточно использовать трехимпульсное сидальное решение, но необходимо рить оба случая — два импульса прикладыва

ются на первом и втором интервалах манев рирования. В зависимости от начального от клонения вдоль орбиты оптимальным ино гда является только одно из этих двух реше ний.

На рис. 2.3.23 представлен вид годографа базис вектора для встречи на компланарных орбитах. Если а* 6 | а |, то в системе (2.3.98)– (2.3.101) 6 3 0, и годограф базис вектора име

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ПЕРЕЛЕТЫ МЕЖДУ ОКОЛОКРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ	149

Рис. 2.3.23. Вид годографа базис вектора для встречи на компланарных орбитах

ет вид циклоиды (рис. 2.3.23). У оптимального четырехимпульсного решения компланарной задачи встречи первый импульс скорости дол жен прикладываться в начале первого интер вала маневрирования, где годограф базис век тора пересекает окружность единичного ра диуса (точка А на рис. 2.3.23), последний им пульс — в конце второго интервала маневри рования (точка D). Внутренние импульсы при кладываются в точках касания, точки В и С на рис. 2.3.23. Угол между моментами приложе ния первого и второго импульсов скорости вен углу между моментами приложения третьего и четвертого импульсов. Одинакова и ориентация симметричных импульсов скоро сти. Число витков циклоиды внутри окружно сти соответствует числу витков полета актив ного КА. Углы приложения и ориентацию им пульсов скорости для решения этого типа можно найти с помощью формул, приведен ных в [6], а затем из системы (2.3.91)–(2.3.94) найти величины импульсов скорости.

Параметры двухимпульсного и трехим пульсного решений, у которых первый и по следний импульсы прикладываются в точках А и D, однозначно определяются с помощью итерационных процедур, приведенных в [5].

Встреча на некомпланарных орбитах

Для случая а* | а | решение задачи встречи на некомпланарных орбитах также является частным случаем решения задачи перехода. Для поиска этого решения рассмот рим задачу оптимального перехода между не компланарными орбитами разность элемен

тов которых а*, ех, еу, Z, Vz. Ее анали тическое двухимпульсное решение использу

ется построения четырехимпульсного ре шения задачи встречи. Умножением величи

	ны	импульсов на коэффициент	aI	на
			a*

ходятся импульсы скорости для маневров на первом интервале, а умножением величины

исходных импульсов на коэффициент aII

a*

получаются импульсы скорости для маневров на втором интервале. Если на первом интер вале маневрирования знаки аI и а* совпа дают, то тогда углы приложения импульсов для задачи встречи совпадают с углами при ложения импульсов для задачи перехода, в противном случае углы отличаются на 180 , аналогично для второго интервала проверяет ся совпадение знаков аII и а*, и определя ются точные значения углов приложения им пульсов скорости.

Найденное решение используется в каче стве начального приближения для итерацион ной процедуры [4] для поиска параметров ма невров, при которых условие (2.3.94) будет вы полнено с заданной точностью. Для этого по лученные значения углов приложения и со ставляющих импульсов скорости подставляют ся в левую часть уравнения (2.3.94) и вычисля ется сформированное значение t*. После это

го вычисляется промах по времени прилета в точку встречи t t t*. Если Ο t Ο 5 , где

— заданная точность выполнения условия (2.3.94), то задача решена. В противном случае в уравнении (2.3.94) t заменяется на величинуt t и повторяются все вычисления. Итера ционная процедура быстро сходится, даже ес ли расстояние между интервалами маневриро вания составляет всего несколько витков.

Вместо использованного выше пропор ционального распределения коррекции векто ра эксцентриситета можно применять и другое распределение [4], необходимо только сохра нять сумму трансверсальных составляющих импульсов скорости на каждом из интервалов маневрирования.

Таким образом, при а* | а | существует множество решений задачи встречи с одинако вой суммарной характеристической скоростью маневров, но с разными векторами эксцентри ситета орбиты ожидания — не меняется толь ко величина большой полуоси орбиты ожида

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

150	Глава 2.3. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА

ния, которая определяет время прилета в точ ку встречи. Из этой совокупности решений можно выбрать решение, удовлетворяющее дополнительным ограничениям, например, на высоту орбиты ожидания над поверхностью планеты и т.д.

На каждом интервале маневрирования можно наложить свои ограничения на момен ты приложения и величины импульсов скоро сти, но и в этом случае на каждом интервале

можно решать задачу пере	так как извест
ны аI и аII, которые	с помощью

итерационной процедуры Оптимизация зада чи встречи проводится за изменения век тора эксцентриситета орбиты ожидания [4]. Задачи такого типа решаются, например, при стыковке КА «Союз» и «Прогресс» с орбиталь ной станцией [7, 8].

Если а* 6 | а | ( 6 3 0) для задачи встре чи на некомпланарных орбитах годограф ба зис вектора имеет вид спирали. Оптимальное решение может состоять из шести импульсов скорости. Импульсы скорости второго интер вала маневрирования также симметричны по расположению и ориентации импульсам пер вого интервала. Решения этого типа исследо ваны в [9].

Для реальных КА на одном интервале

редко используется более	маневров. Кро
ме того, на импульсы	обычно налага
ются различные ограничения	на ориента

цию, величину, моменты приложения. В то же время решение, удовлетворяющее необходи мым условиям оптимальности, как было пока зано для встречи на компланарных орбитах, строго определено при 6 3 0 и не может учи тывать эти дополнительные ограничения.

Приведенное выше решение задачи встре чи, получаемое из решения задачи перехода, по зволяет учитывать эти дополнительные огра ничения [4]. Его суммарная характеристиче ская скорость при 6 3 0 будет несколько боль ше, чем у решения, использующего необходи мые условия оптимальности. Однако, чем больше продолжительность встречи, тем мень ше разность в энергетике этих решений. При продолжительности встречи более 20 витков разница не будет превышать 1 %.

В общем случае при наличии большого числа различных ограничений, более сложной целевой функции, а также при небольшой продолжительности встречи для решения мно гоимпульсной задачи используются численные методы [7, 10].

В задачах, требующих перевода КА на ор биту, долгота восходящего угла которой отли чается на несколько десятков градусов, про должительность встречи может составлять не сколько сотен витков (встреча большой про должительности). Задачи такого типа возника ют при формировании СС, возвращении од ним КА нескольких спутников с орбиты, дос тавке грунта с других планет и их спутников и т.д. Методика решения задач этого типа представлена в [11].

Решение задачи с учетом заданных моделей возмущающих сил

Ранее при решении задачи использова лись линеаризованные уравнения движения, не учитывались нецентральность гравитационного поля, влияние атмосферы, время работы двига телей КА и т.д. Все это приводило к тому, что при реализации найденного решения точность выполнения терминальных условий была не достаточной. Для решения задачи выхода на конечную орбиту с заданной точностью, можно использовать итерационную процедуру [7], ко торая состоит из следующих этапов:

1.В начале очередной итерации решается приближенная задача — при принятых ранее упрощающих предположениях определяются параметры импульсов скорости, обеспечиваю щих формирование целевой орбиты (на первой итерации целевая орбита совпадает с конечной орбитой).

2.С учетом рассчитанных импульсов ско рости, используя модели всех необходимых возмущений, осуществляется точное прогно зирование движения КА и находятся парамет ры сформированной орбиты.

3.Вычисляются отклонения параметров сформированной орбиты от соответствующих параметров конечной орбиты.

4.Если отклонения превышают допусти мые, то параметры целевой орбиты меняются на величину вычисленных отклонений, прово дится следующая итерация.

Процедура заканчивается, когда терми нальные условия выполнены с заданной точ ностью.

Для точного прогнозирования использу ются обычно численное и/или высокоточное численно аналитическое интегрирование. На разных итерациях использовать возможно разные методы прогноза, но точность про гноза должна расти с ростом номера текущей итерации.