− 86 164s

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

92	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рис. 2.2.25. Представление трассы КА на карте и в конической проекции

щихся на разных широтах. На рис. 2.2.25 пред ставлена трасса КА на карте и в конической проекции.

2.2.5. ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

2.2.5.1. Геостационарные орбиты

Геостационарными называют круговые орбиты, трасса которых в невозмущенном движении вырождается в неподвижную отно сительно Земли точку [2]. Поле обзора КА на такой орбите показано на рис. 2.2.26.

Номинальные параметры геостационар4 орбиты (ГСО):

орбитальный период T

m4s;

радиус орбиты r − 42 164 км или высота над поверхностью Земли h − 35 786 км;

эксцентриситет e 0;

круговая	VГСО 3 075 м/с.
Номинальное положение КА на экваторе
называется	точкой и определяется его

долготой стояния . Вследствие орбитальных возмущений, вызываемых нецентральностью гравитационного поля Земли, притяжением Лу ны и Солнца и давлением солнечного света, но минальное положение КА на ГСО не сохраняет ся, а для его поддержания необходимо проведе ние специальных маневров. Отклонение T ор битального периода от номинального приводит к дрейфу КА с постоянной скоростью по долго те, прямо пропорциональной этой величине:

; T .	(2.2.96)
з T

При наличии эксцентриситета e орбиты геостационарный КА имеет колебания по гео графической долготе относительно среднего значения с угловой амплитудой 2e и пе риодом T. Ненулевое наклонение i орбиты приводит к колебаниям по географической широте с амплитудой i и периодом T.

Для анализа возмущенного движения гео стационарного КА, находящегося на околокру говой орбите с очень малыми эксцентриситетом и наклонением, использование классических орбитальных элементов неприменимо вследст вие вырожденности положения восходящего уз

Рис. 2.2.26. Поле обзора геостационарного КА

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	93

ла орбиты и линии апсид ; . Поэтому ис пользуется специальная невырожденная система элементов, включающая вектор наклонения I и эксцентриситета E с компонентами:

	I1 i cos ;	(2.2.97)
	,
	I2 i sin ,
E1	ecos(; );	(2.2.98)
E2 e sin(; ),

а долготу и большую полуось a. Наиболее существенное возмущение с

точки зрения удержания КА на ГСО по гео графическому положению испытывает накло нение орбиты. Определяющим здесь является квазивековой поворот плоскости орбиты или квазивековой уход, вызванный притяжением Луны и Солнца. За один год такой уход со ставляет от 0,75 до 0,95 в зависимости от ориентации относительно экватора Земли плоскостей орбит Луны и Солнца. Максиму мы данных возмущений повторяются прибли зительно один раз в 418 лет (период Сароса — период полного оборота на эклиптике восхо дящего узла лунной орбиты). Данное явление было в 2006 г., следующий раз будет прибли зительно в 2024 г., поэтому в течение года скорость квазивекового ухода наклонения

можно считать постоянной. Кроме того, при тяжение Луны и Солнца вызывают периодиче ские возмущения, которые имеют существен но меньшие по сравнению с квазивековым уходом значения. Их характеристики пред ставлены в таблице 2.2.1.

2.2.1. Характеристики возмущений на ГСО

Возму	Максимальное отклонение		Период
щающее	i, угл.	Эквивалентное откло	возмуще
тело	мин	нение в ОСК b, км	ния, сут
Солнце	1,40	17,2	365/2
Солнце	0,12	1,5	365
Луна	0,27	3,3	13,6
Луна	0,13	1,6	27

На рис. 2.2.27 показан характер эволюции наклонения на годичном интервале.

Притяжение Луны и Солнца в долговре менном масштабе приводит к изменению на клонения ГСО (при отсутствии маневров КА) в пределах от 0 до 415 Φ1, 2Γ. Долговременная за висимость между наклонением i орбиты и инерциальной долготой восходящего узла мож но приблизительно аппроксимировать окруж

Рис. 2.2.27. Годичная эволюция вектора наклонения:

1 — квазивековое изменение; 2 — долгопериодическое изменение;

3 — оскулирующий вектор наклонения

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

94	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рис. 2.2.28. Долговременная эволюция наклонения ГСО

ностью с центром по оси «i cos » (рис. 2.2.28). Движение по этой окружности происходит по часовой стрелке с периодом 453 г.

Наиболее весомые изменения вектора эксцентриситета E обусловлены влиянием

давления солнечного света. Этот фактор приводит к долгопериодическому возму щению эксцентриситета с периодом, рав ным одному году. Характер свободной эволюции вектора эксцентриситета на го дичном интервале показан на рис. 2.2.29. Амплитуда этого возмущения равна es 4 ~ 2…4 10 4 (для отношения характерной площади КА к его массе 40,025 м2/кг), что соответствует периодическим откло нениям на витке 4 4 угл. мин (или от клонениям вдоль трансверсали n 4 40 км). Огибающая годичной эволюции близка к окружности, es называется радиусом ок ружности естественного дрейфа. Помимо давления солнечного света имеется значи тельное долгопериодическое возмущение

эксцентриситета с периодом	лет,
вызванное гравитационным притяжением
Луны. Изменение положения	дол
готе обуславливается отклонением орби
тального периода от периода вращения
Земли (звездные сутки). Основным возму
щающим фактором, вызывающим подоб

ное отклонение, является трансверсальное ускорение, вызванное долготными аномалия ми геопотенциала. Составляющие ускорения вдоль и перпендикулярно радиус вектору на зываются соответственно радиальным и

Рис. 2.2.29. Годичная эволюция вектора эксцентриситета:

1 — долгопериодическое изменение; 2 — оскулирующий вектор эксцентриситета

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	95

Рис. 2.2.30. Зависимость величины и направления возмущающего тангенциального ускорения от гео графической долготы положения КА

трансверсальным ускорениями. Наиболее существенный вклад в данные возмущения дает вторая гармоника J22. Величина и на правление возмущающего ускорения зависят от географической долготы положения КА (рис. 2.2.30).

Указанная гармоника описывает эквато риальное сжатие Земли. На рис. 2.2.31 пред ставлены равновесные точки для ГСО.

Имеются четыре равновесных точки

долготы ( Λ 0), которые определяются сле

дующим выраженинем:

22 arctg[(S22 / C22) / 2].

(2.2.99)

Из них две точки соответствующие ма лой оси эллипса, аппроксимирующего эква ториальное сжатие являются устой чивыми точками равновесия с долготами 475,1 в.д. и 104,9 з.д. Неустойчивые точки имеют долготы, равные 14,9 з.д. и 165,1 в.д. Учет тессеральных гармоник более вы

сокого порядка (C31, S31, …, C44, S44) приво дит к незначительному смещению равновес

ных точек. Так, для точек устойчивого рав новесия это будут значения 74,940 в.д. и 105,095 з.д. Свободное движение, вызван ное второй тессеральной гармоникой, при водит к колебательным движениям по гео графической долготе с периодом 4860 дней относительно устойчивых точек равновесия.

2.2.5.2.Орбиты

сповторяющимися трассами

Трасса КА в общем случае описывает сложную эволюцию, вызванную вращением Земли и прецессией орбиты КА. Параметры орбиты можно выбрать таким образом, чтобы трасса повторялась с некоторой периодично стью. Как указывалось в п. 2.2.2, сжатие Земли

Рис. 2.2.31. Равновесные точки для ГСО:

в.д., з.д. — восточная и западная долгота

;пр,

dt dt dt

солнечной синхронности орби равенство d d S . Вековое

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

96	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

приводит к вековым возмущениям инерциаль ной долготы восходящего узла , аргумента перигея и средней аномалии М. Тогда усло вие повторения трассы через K суток и N вит ков можно представить в виде[3, 4]:

ванным смещением трассы через период по вторяемости, например, на ширину полосы обзора аппаратуры наблюдения КА для орга низации сплошной съемки участков земной поверхности.

(; )N (;	M)K, (2.2.100)
з

где з — угловая скорость вращения Земли, а , ;, M — вековые возмущения от сжатия Земли. Выражения для вековых возмущений ,; и M были представлены ранее (2.2.58–2.2.60). Урав нение (2.2.100) является трансцендентным и может быть решено итеративным способом. В качестве начального приближения использу ется значение:

1		N			2/3
a( 0) . 3		&		);		,	(2.2.101)
		% K		(

и соотношение для итеративного процесса по большой полуоси:

a

!

1

#

(i 1)

J2

	!		3		Re
	a( 0) 1			J
					2 ( i )
		2
					a
	#

R 2 3 N

e & )cosia( i ) 2 % K (

	2					3		2/3
		&1					sin2 i )
		%				2	(
									2/3
		3
				( 1			5cos	2 i)	.
		4
								(2.2.102)

Примеры изменения высот орбит с повто ряющимися трассами показаны на рис. 2.2.32.

Разновидность орбит с повторяющимися трассами — близкие к ним орбиты с фиксиро

Рис. 2.2.32. Изменения высот орбит с повторяющи мися трассами при N/K:

1 — 8/110; 2 — 6/84; 3 — 5/72; 4 — 5/74; 5 — 6/90

2.2.5.3. Солнечно,синхронные орбиты

Солнечно4синхронная орбита (ССО) — околоземная орбита, сохраняющая постоян ную ориентацию плоскости по отноше нию к среднему экваториальному Солнцу

(фиктивная	равномерно движущаяся
по экватору в	сторону, что и видимое

Солнце по эклиптике, и совершающая пол ный оборот за тот же период, что и видимое Солнце, т.е. за один год). Один оборот отно сительно ССО Земля делает ровно за одни солнечные сутки. Ориентация орбиты отно сительно среднего Солнца определяется сред ним местным временем в восходящем узле орбиты m :

m S 12h ,

где — долгота восходящего узла орбиты (прямое восхождение восходящего узла);S — прямое восхождение среднего Солнца (рис. 2.2.33).

Орбита сохраняет постоянное угловое поло жение по отношению к среднему Солнцу и имеет m const, если dm d d S 0. Таким об

разом,

ты dt dt

движение узла по экватору вызывается пре цессией орбиты в нецентральном гравитаци

онном поле Земли со скоростью d dt

зависящей от формы, размера орбиты и ее наклонения. За один год (365,2422 сут) Зем ля совершает один оборот вокруг Солнца, поэтому угловая скорость среднего Солнца

d S ;S 0,9856 /сут 0199106, 10 6 рад / с. dt

Следовательно, орбита, у которой ;пр;S 0,9856 /сут, вращается синхронно с направлением вектора среднего Солнца, со храняя ту ориентацию по отношению к не му, которая была получена при формирова нии орбиты. Значение местного времени прохождения восходящего узла позволяет классифицировать ССО на дополуденные (m + 12 ч) и послеполуденные (m 6 12 ч).

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	97

Рис. 2.2.33. К определению местного времени в восходящем узле

Положение среднего Солнца и соответствующее ему местное время m в восходящем узле орби ты представлены на рис. 2.2.34.

Параметры ССО определяются соотно шением (;пр в рад/с)

			R		2
	3					.
;		J	&	e	)				cosi ;	,	(2.2.103)
пр	2	2&		p	)		a3		S
			%		(

где J2 — безразмерный коэффициент, характери зующий форму Земли; J2 0,001082628; Re6 378,137 км — экваториальный радиус Земли; p — фокальный параметр, p a(1 e2); а, е и i — большая полуось, эксцентриситет и наклонение орбиты соответственно; . 398 601 км3/с2 — гравитационный параметр Земли.

Направление прецессии отвечает усло вию солнечной синхронности при i 6 90 .

Рис. 2.2.34. Положение среднего Солнца и соответ ствующее ему местное время m в восходящем узле орбиты

В этом случае узел орбиты с запада на восток вслед за годовым движением средне го Солнца по экватору Земли. Соотношение (2.2.103) позволяет выразить связь между боль шой полуосью, эксцентриситетом и наклоне нием ССО:

a 12 352,54	cosi	2/7	, км.	(2.2.104)
	(1 e2)2

Так как радиус перигея r реальной ССО не может быть меньше радиуса Земли, то для ССО должно быть выполнено ограни чение:

r a(1 e) 12 352,54	cosi	2/7	(1	e) R .
	(1 e2)2			e

Данное ограничение выполняется при наклонениях ССО, удовлетворяющих не равенству

		(1 e)2				R	7 /2
i arccos				&		e	)	. (2.2.105)
(1 e)3 /			&			352,54	)
			2 % 12				(
Таким		образом,				выражение (2.2.104)

при ограничении (2.2.105) задает связь ме жду элементами a, e и i ССО. Для ССО

имеют место ограничения	i 5 180 ,
e 5 0,6 и a 5 15940 км (рис. 2.2
Вследствие ошибок	по

наклонению и высоте и атмосферного торможения в полете наклонение орби ты i(t) и ее большая полуось a(t) отлича ются от их расчетных номинальных по стоянных значений iN и aN на величины

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

98	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рис. 2.2.35. Зависимость большой полуоси ССО от ее наклонения и эксцентриситета

)i(t) и )a(t). Поэтому угловая скорость пре

цессии линии узлов орбиты также отличает ся от номинального значения %прN0,9856 /сут. Это приводит к тому, что за время полета КА в долготе восходящего уз ла (значит, и в m ) накапливается погреш ность ). Оценим ее для круговой орбиты (e 0). Из (2.2.103) следует

)% (t) %пр )i(t) %пр )a(t)
пр	i	a

%прN tg iN )i(t) 7 %прN )a(t). 2 aN

В первом приближении наклонение ор биты во время полета можно считать неиз

менным, а возмущение )i(t) )i0. Возмуще ние )a(t) при )a(t) a(t) можно задать ли

нейным законом )a(t) )a0 Аt(t t0), где )a0 — возмущение большой полуоси в мо

мент t0, Аt # 0 — темп падения высоты вслед ствие атмосферного торможения. Тогда к моменту времени Т долгота восходящего уз ла будет отличаться от номинального значе ния на величину )Т):

T

) (T ) &)%пр(t)dt %прN tg iN )i0 (T t0 )

			t0
	7 %							7 %				(T t	0	)2
			прN	)a (T t		0	)			прN	A				.
	2	0						2			t	2
			aN							aN
Разбросы					кинематических							параметров

траектории и падение высоты орбиты вследст

вие атмосферного торможения за время су ществования ИСЗ могут изменить местное время прохождения восходящего узла на десятки минут, что может привести к ухуд шению условий работы системы энергопи тания КА, нештатному режиму работы системы терморегулирования КА и его бортовой аппаратуры, проведению мони торинга Земли в нерасчетных условиях ос вещенности.

Еще одна причина изменений усло вий освещенности на ССО — непостоян ство положения истинного Солнца отно сительно плоскости ССО в течение года, так как условия солнечной синхронности на ССО выполняются, по определению, для среднего, а не истинного Солнца.

Истинное	на небесной сфере со
вершает	годовое движение не в

плоскости экватора, а в плоскости эк липтики, наклоненной к экватору под уг лом ~23,5 . Вследствие этого оно перемеща ется из одного полушария Земли в другое, что и приводит к непостоянству угла + меж ду плоскостью орбиты и направлением на

Солнце:

sin + cos)C , sin i , sin(12h m ) sin )C ,cosi,

где )С — склонение Солнца.

Однако, если для произвольных орбит на длительных промежутках времени этот угол меняется в очень широких пределах, то для ССО он меняется сравнительно мало. Например, для ССО высотой 600…1000 км и местным временем в восходящем узле m8…16h угол + в течение года отличается от

значения всего на ~5…7 . Измене угла + между вектором Солнца и плос ССО представлены на рис. 2.2.36. этого общая картина изменения

освещенности и максимальная высота Солнца на витке полета КА длительное вре мя практически повторяются от витка к витку.

Условия освещенности подспутниковой точки КА определяются высотой Солнца hС над местным горизонтом, зависящей от накло нения орбиты, склонения Солнца, местного времени в восходящем узле и геоцентрической широты КА (рис. 2.2.37):

sin hC sin )C , sin cos)C ,cos ,cos−, (2.2.106)

где − (! / 12)(m 12h ) arcsin (tg / tg i).

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	99

Рис. 2.2.36. Угол b	вектором Солнца и плос
костью ССО,	, m	6h…10h
	W

Трасса КА из за суточного враще ния Земли проходит через разные точки поверхности Земли, но точки Земли, рас положенные на одной широте, попадают в плоскость орбиты КА всегда в одно и то же местное время. Поэтому условия освещенности в каждой фиксированной точке ССО остаются близкими в течение длительных промежутков времени (де сятки суток) и определяются фактически только сезонными изменениями склоне ния Солнца С. Неизменность условий освещенности КА и его подспутниковых точек требуется в ряде прикладных задач использования КА, например, в задачах дистанционного зондирования Земли, при работе бортовой и научной аппарату ры КА.

C ъемка поверхности Земли возмож на, если угол места Солнца в подспутнико вой точке не меньше некоторой опреде ленной величины hCmin . Диапазон широт

(рис. 2.2.38), для которых в подспутнико вой точке высота Солнца hC hCmin , опреде

ляется неравенством

sin C sin cos C
cos cos		(m	12h ) arcsin	tg
12				tg i
sin(hmin ).						(2.2.107)
C
На рис. 2.2.38 стрелкой указан диа
пазон широт,			в котором hC 10 при

m 7h .

Из рис. 2.2.38 следует, что в север ном полушарии «утренние» орбиты практически не пригодны для съемок в видимом диапазоне, так как весь год, кроме летних месяцев, только в эквато риальных областях высота Солнца дос таточна для съемок. Например, орбита с m 7h зимой имеет достаточную для съемки высоту Солнца только в районах с широтой − 0…15 с.ш. Переход к бо лее «поздним» орбитам значительно рас

Рис. 2.2.37. Зависимость высоты Солнца над местным горизонтом от геоцентриче

ской	КА на ССО с наклонением
i 98,1	h 675 км) и местным

временем прохождения восходящего узла,

равным mW 8h, 9h, 10h:

а — 21 июня; б — 21 декабря

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

100	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рис. 2.2.38. Широта j подспутниковой точки, для которой высота Солнца hC 10 (северное полушарие Земли), i 98 , mW 7h, …,12h

ширяет область съемки. Например, на ор бите с m 9h съемка возможна до ~45 се верной широты.

В летние месяцы в северном полушарии съемка возможна на всех широтах (кроме око лополюсных) независимо от времени прохож дения восходящего узла. Однако и в этом слу чае не целесообразно использовать «ранние» орбиты, так как они не обеспечивают условий съемки в южном полушарии Земли. С другой стороны, на «полуденных» орбитах с m 12h длительность теневого участка больше, чем на «утренних» орбитах, а это ухудшает энерго снабжение КА. Солнце может находится как слева, так и справа от КА, а это усложняет ра боту научной аппаратуры и системы терморе гулирования. Поиск компромисса привел к тому, что «дополуденные» КА, работающие на восходящих ветвях ССО, имеют m 9h…11h, «послеполуденные» — m 13h…15h.

Наличие на орбите теневого участка и его продолжительность зависят от величины угла Ι. Если | Ι | 6 Ι* (рис. 2.2.39) спутник ос вещен Солнцем в течение всего витка, при | Ι | 5 Ι* на орбите имеется теневая область. В течение года на орбите могут существовать длительные интервалы времени, на которых угол Ι превышает критическое значение Ι*. На этих интервалах орбита КА будет полно стью освещена Солнцем, а в остальное вре мя в году на витках орбиты будут теневые участки. Для круговой орбиты высотой h угол Ι* и геоцентрический угол ФТ, внутри которого движущийся по орбите спутник на ходится в тени Земли, определяются выра жениями:

	R			cosΙ*
sinΙ*	е	, Μ		2arccos&		). (2.2.108)
	R h		T	&	cosΙ	)
	е			%		(

Теневой участок на круговой ССО в за данную дату будет отсутствовать, (| Ι | 6 Ι*), ес ли местное время в восходящем узле выбрать из диапазона

m*

6h

/

!

12

1

R

.

/ 6h

arcsin

&

e

sin

cosi )

C

C

%

e

h

#

(

cos

sini &

R

)

(2.2.109)

ССО высотой 1400 км 5 h 5 3300 км такой диапазон существует для любой даты го да. На рис. 2.2.40 представлен диапазон мест ного времени в восходящем узле круговой ССО, при котором орбита в выбранную дату не содержит тени. На рисунке стрелкой пока зан диапазон для орбиты высотой 1400 км, ко торая не имеет теневых участков в течение всего года. Поэтому при выборе местного вре

Рис. 2.2.39. К определению затененного участка орбиты

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	101

Рис. 2.2.40. Диапазон местного времени в восходящем узле круговой ССО, при котором орбита в выбранную дату не содержит тени

мени прохождения восходящего узла в соот ветствии с выражением (2.2.109) ССО такой высоты будут полностью освещены Солнцем в течение всего года.

2.2.5.4. Круговые кратные солнечно,синхронные орбиты

Кратными или изомаршрутными (в за рубежной литературе — repeat4groundtrack orbits) называют орбиты, трасса которых по вторяется с определенной периодичностью. Период повторяемости может быть выражен через так называемые эффективные [1] сутки Тэфф — время, за которое Земля в своем су точном вращении совершает один полный оборот относительно плоскости прецесси рующей

Тэфф 2 / *,

где ;* — угловая скорость суточного враще ния Земли относительно плоскости орбиты. Величина ;* определяется скоростями вра щения Земли и прецессии орбиты, которая, в свою очередь, зависит от большой полуоси орбиты, ее эксцентриситета и наклонения

(2.2.103). Однако есть две орбиты, для кото рых Тэфф может быть указано без каких либо вычислений. Первая — полярная орбита (i90 ). Она не прецессирует, поэтому оборот Земли относительно орбиты — оборот отно сительно неподвижных звезд, Земля делает за одни зведные сутки, т.е. за 86 164 с. В этом

случае Тэфф 86 164 с. Вторая — ССО. По оп ределению, она прецессирует со скоростью

среднего Солнца, поэтому оборот Земли от носительно орбиты — оборот относительно направления на среднее Солнце, который Земля делает за одни солнечные сутки, т.е. за

86 400 с. В этом случае Тэфф Tсс 86 400 с, где Тсс — продолжительность средних сол

нечных суток.

В п. 2.2.5.3 приведено описание ССО. Эти орбиты интересны тем, что местное сол нечное время, значит, и условия освещенно сти фиксированной подспутниковай точки остаются неизменными в течение длительно го периода времени. Если ССО к тому же кратная, то в этой фиксированной подспут никовой точке через период кратности появ ляется одна и та же точка Земли, т.е. трасса

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

102	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

КА с определенной периодичностью прохо дит по одним и тем же точкам местности в одно и то же местное время. Орбиты, обла дающие таким свойством, используются для построения спутниковых систем дистанцион2 ного зондирования Земли (ДЗЗ), предназначен ных для многократной периодической съем ки ее поверхности. Они, как правило, круго вые, от 500 до 1000 км и временем в восходящем узле, определяемым типом целе вой аппаратуры КА.

По определению, орбита КА имеет су точную кратность N, если за N эффективных суток КА сделает на орбите n полных вит ков [5]:

NТэфф nТдр,

(2.2.110)

где N 1, 2, 3, … — период кратности орбиты (период повторного просмотра) — наименьший период повторяемости трассы; Тдр — дракони ческий период обращения спутника; n — пол ное число витков КА, совершенное им за пе риод кратности. Для ССО условие кратности принимает вид

NТСС nТдр.

(2.2.111)

Из этого определения не следует единст венность орбиты кратности N, так как, воз можно, существуют несколько значений n, удовлетворяющих условию (2.2.111). Дробь

Tcc n , определяющую кратную ССО, мож

Tдр N

но	представить		в виде		смешанного	числа
n	m	. Здесь n	пс	—	целая часть	числа
пс N

Tсс /Тдр — целое число витков, совершаемых КА в солнечные сутки. Число витков n, со

вершенное КА за	кратности N, в об
щем случае больше,	nпсN на величину

m n nпсN. Она характеризует место («по рядок») орбиты среди орбит кратности N из заданного «класса» орбит nпс. Таким обра зом, тройка чисел (nпс, N, m) полностью оп ределяет кратность и высоту круговой крат ной ССО. В конкретном «классе», т.е. для за данного nпс, для обозначения кратности ис пользуется обозначение (N, m).

Например, тройка чисел (nпс, N, m)(15, 11, 2) задает круговую кратную ССО орбит 11 суточной кратности порядка m 2 (или с числом витков n в периоде кратности n nпсN m 15 ·11 2 167). Так как в ка

ждом классе орбиты кратности N задаются числами m 0, 1, 2, …, N 1, то количество всех орбит кратности N равно N. В каждом классе значение m 0 определяет орбиту односуточной кратности, поскольку орбита односуточной кратности удовлетворяет ус ловию любой кратности. Значение m N не существует, так как в противном случае ор бита принадлежала бы к следующему «клас

су» nпс 1.

Высоты орбит в каждом «классе» опреде ляются только отношением m /N и поэтому орбиты, у которых отношения m /N совпада ют, имеют одну и ту же высоту, т.е. являются одной и той же орбитой. Например орбита кратности (6, 4) из некоторого класса nпс од новременно является орбитой кратности (3, 2), (12, 8), (18, 12) и т.д., так как для них от ношение m /N одно и то же. Поэтому при оп ределении кратности орбит m и N, если это возможно, сокращают на общий делитель и полагают их взаимно простыми натуральными числами.

Это приводит к тому, что среди всех ор бит, например, шестисуточной кратности, только две орбиты имеют период кратности собственно шесть суток — орбиты (6, 1) и (6, 5). У остальных четырех орбит период кратно сти шесть суток складывается или из шести периодов кратности орбиты односуточной кратности (орбита (6, 0)), или из двух перио дов кратности орбиты трехсуточной кратности (орбиты (6, 2) . (3, 1) и (6, 4) . (3, 2)), или из трех периодов кратности орбиты двухсуточной кратности (орбита (6, 3) . (2, 1)). Понятно, что орбит собственно кратности N суток столько же, сколько существует натуральных чисел m, не превосходящих (N 1) и взаимно простых с N. Это число можно определить с помощью известной из теории чисел функции

		1			1				1
Эйлера (N ) N 1			1			... 1				, где
		p1			p2				pk

p1, p2,..., pk — различные простые множите ли числа N, задающие его каноническое раз ложение.

Например, для орбиты с периодом крат ности N 10 сут каноническое разложение числа 10 есть 10 2,5, следовательно, функ

			1			1
	ция Эйлера для него (10) 10 1			1				4.
			2			5

Таким образом, существуют четыре орбиты с периодом кратности собственно 10 суток —

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

				ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ							103
	2.2.2. Границы высотных диапазонов (классов) и наклонение кратных ССО
Классы	«15»	«14»	«13»		«12»	«11»	«10»	«9»	«8»	«7»	«6»
hmax, км	570	897	1 265		1 684	2 166	2 726	3 389	4 187	5 173	5 975
hmin, км	278	570	897		1 265	1 684	2 166	2 726	3 389	4 187	5 173
imin, град	96,6	97,7	99		100,7	103	106	110,1	116,1	125,4

орбиты кратности (10, 1), (10, 3), (10, 7) и (10, 9). Еще шесть орбит 10 суточной кратно сти есть орбиты с периодом кратности 1, 2, и 5 суток — орбиты кратности (10, 0), (10, 2) Λ

Λ(5, 1), (10, 4) Λ (5, 2), (10, 5) Λ (2, 1), (10, 6) Λ

Λ(5, 3) и (10, 8) Λ (5, 4).

Втабл. 2.2.2 приведены высотные грани цы классов круговых кратных ССО и наклоне ние орбиты, соответствующей нижней границе

класса.

Орбиты класса «16» имеют высоты h 5 5 278 км с малым временем существования

КА, поэтому этот класс орбит из рассмотрения исключен. Класс орбит nпс 6 — не полный! Его верхняя граница имеет высоту более 6400 км, а круговые ССО имеют максималь ную высоту только 5 975 км.

Высоты орбит в каждом классе определя

ются только отношением m /N. Подставив в (2.2.111) выражение для Тэфф Тсс, получают для кратной ССО точное значение дракониче ского периода кратной орбиты:

Tcc				2/3				2/3							N 2/3
		.			N
a &				)	&			)			42	24112,&				) .
&	2	)			% n			(					% n (
%		(
														(2.2.115)
Во втором приближении выражение для
аоск на экваторе принимает вид
									N 2/3				Rе2J2	2
aоск a a		42 24112,&								)		0,5			(1 5cos i).
													a
					%				n (
														(2.2.116)

Для ССО величина второго члена в выра жении (2.2.116) равна а − 3…11 км, поэтому пренебрежение им дает погрешность в опреде лении высоты орбиты ~1…0,2%. В этом случае высота круговой орбиты (в километрах) на эк ваторе определяется формулой

		N 2/3
h 42 24112,&				)	Re
%		n (
42 24112,			1			637814,.	(2.2.117)
	(n		m		/ N)2/3
	пс

Tдр Т сс	N	.	(2.2.112)
	n

С другой стороны, период Тдр, с учетом нецентральности поля Земли, можно записать в виде:

	a3 /2				3 R2J		2
Tдр 2	оск					е		(1	5cos2 i),	(2.2.113)
	.				2 .aоск

где аоск — оскулирующая большая полуось ор биты, определенная в ее восходящем узле. При равнивая правые части (2.2.112) и (2.2.113), по лучаем для определения аоск кратной орбиты уравнение:

	aоск3 /2				N			3 Rе2J2
2				Tcc&		)				(1	i). (2.2.114)
	.			%	n (			2 .aоск

Решая уравнение (2.2.114) методом по следовательных приближений, находим а — первое приближение для аоск [5]:

Из (2.2.117) следует, что высоты кратных орбит в одном классе определяются только от ношением m /N. Большая полуось и наклоне ние ССО связаны соотношением (2.2.104), от куда с учетом выражения (2.2.115) получаем для кратной ССО:

N		7 /3
cosi 73,942&		) .	(2.2.118)
%	n	(

Из определения кратности для ССО, сле дует, что для любых N и n в (2.2.111) можно найти орбиту некоторой кратности. Для этого по заданным N и n из (2.2.112) находим драко нический период Тдр, а из (2.2.118) наклоне ние i. Затем из выражения (2.2.116) определя ют большую полуось орбиты аоск. Обратное не верно. Если задана высота орбиты, то такая орбита будет кратной, когда отношение 86 400/Тдр есть число рациональное, т.е. его можно представить как отношение двух взаим но простых натуральных чисел. Если же это

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

104	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

есть число иррациональное, то ор бита указанным периодом Тдр не может иметь какую либо кратность.

Однако иррациональное число с любой степенью точности может быть приближено рациональным числом. В частности, можно найти десятичную дробь, как угодно мало от

личающуюся от данного иррационального числа. Следовательно, для заданного дракони ческого периода можно найти кратную орбиту, хотя кратность ее может быть весьма велика. В табл. 2.2.3 приведены некоторые параметры круговых кратных ССО, рассчитанные по при веденным ранее соотношениям.

2.2.3. Параметры круговых кратных ССО

	N	nпс	m	h, км	i, град	Tдр, с	Lсут, км	Lмв, км	c0, км
	1	14	0	897	99,0	6171	0	2863	2863
		15	0	570	97,7	5760	0	2672	2672
		14	0	897	99,0	6171	0	2863	2863
	2		1	729	98,3	5959	1382	2764	1382
		15	0	570	97,7	5760	0	2672	2672
			1	420	97,1	5574	1293	2585	1293
			0	897	99,0	6171	0	2863	2863
		14	1	784	98,5	6028	932	2796	932
	3		2	675	98,1	5891	1822	2732	911
			0	570	97,7	5760	0	2672	2672
		15	1	469	97,3	5635	871	2614	871
			2	372	96,9	5515	1705	2558	853
			0	897	99,0	6171	0	2863	2863
		14		812	98,6	6063	703	2812	703
				729	98,3	5959	1382	2764	1382
	4		3	649	98,0	5858	2038	2717	679
			0	570	97,7	5760	0	2672	2672
		15	1	494	97,4	5666	657	2628	657
			2	420	97,1	5574	1293	2585	1293
			3	384	96,8	5486	1908	2544	636
			0	897	99,0	6171	0	2863	2863
			1	829	98,7	6085	564	2822	564
		14	2	762	98,4	6000	1113	2783	557
			3	697	98,2	5918	1647	2745	549
	5		4	633	97,9	5838	2166	2708	542
			0	570	97,7	5760	0	2672	2672
			1	509	97,4	5684	527	2637	527
		15	2	450	97,2	5610	1041	2602	521
			3	391	97,0	5538	1541	2569	514
			4	334	96,8	5468	2029	2536	507

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	105

Под суточным смещением (сдвигом) трассы понимают расстояние по экватору ме жду восходящими узлами первого и (nпс 1) витков эффективных суток. Суточный сдвиг трассы появляется в том случае, когда орбита имеет не односуточную кратность, т.е. если у орбиты m 3 0. В линейной мере суточный сдвиг равен

m

*

m Tдр

L

T

др

; R

2

R . (2.2.119)

N

N T

сут

e

e

сс

Учитывая соотношение (2.2.111) для крат ных ССО, из (2.2.119) получим:

L	m	2 R		m	2 R		m / N	2 R .
сут	n	e		nпсN m	e		nпс m / N	e
							(2.2.120)

Для кратных ССО межвитковое расстоя ние на экваторе линейной мере можно запи сать в виде

L

2

Т

др

R

R

1

2 R .

мб

TСС

e

n

e

nпс m / N

e

(2.2.121)

Величины

Lсут

и

Lмв

приведены в

табл. 2.2.3. Сравнивая выражение (2.2.120) и

(2.2.121), получаем	Lмв		N	, m 3 0 или
	Lсут		m
LсутN Lмвm.					(2.2.122)

Выражение (2.2.122) позволяет сформу лировать еще одно определение кратности орбиты (N, m) теперь уже в терминах, связан ных с трассой КА: на m межвитковых рас стояниях укладываются точно N суточных сдвигов. Данное определение не используется для m 0, так как при m 0 суточный сдвиг отсутствует, — это орбита односуточной кратности.

В ходе полета КА восходящие узлы ор биты, смещая каждый виток к западу на ве личину межвиткового расстояния, образуют на экваторе Земли сетку восходящих узлов. В любой момент времени она характеризу ется максимальным расстоянием между со седними узлами ct, которое называют меж трассовым расстоянием, реализовавшимся

за время полета t. Величина ct f(t
ризует динамику покрытия земной	х

ности сеткой трасс во времени. Она являет ся функцией невозрастающей, дискретно

изменяющей свои значения с ростом числа витков. Сетка восходящих узлов ССО крат ности (N, m) через N суток полета становит ся равномерной, причем за период кратно сти на любой суточный сдвиг трассы, меж витковое расстояние и весь экватор попада ют m, N и n восходящих узлов орбиты соот ветственно. Расстояние между любыми дву мя соседними узлами, т.е. межтрассовое расстояние, реализовавшееся за период кратности N, равно

c0		Lсут		Lмв		2 Rе		2 Rе	. (2.2.123)
		m N				n		nпсN m

Данное расстояние не меняется с уве личением времени полета t 6 N. Значения с0, округленные до целого, для некоторых крат ностей класса nпс 14; 15 приведены в табл. 2.2.3 и 2.2.4. Для текущего межтрассо вого расстояния выполняется неравенство ct c0 . Изменение величины нормированно го расстояния в зависимости от времени по лета для круговой ССО кратности (11, 2) представлено на рис. 2.2.41.

Величина с0 используется при оценке возможности полного периодического гло бального (или зонального) покрытия наблю

2.2.4. Значения межтрассового расстояния с0 при nпс 14

	N					m
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
	2	1 382
	3	932	911
	4	703	1 382	679
	5	564	557	549	542
	6	471	932	1 382	911	450
	7	405	401	397	393	389	385
	8	355	703	348	1 382	343	679	337
	9	316	313	932	308	306	911	301	299
	10	284	564	280	557	1 382	549	273	542	269
	11	259	257	255	254	252	250	249	247	246
	12	237	471	703	932	232	1 382	229	911	679
	13	219	218	217	215	214	213	212	211	210
	14	203	405	201	401	199	397	1 382	393	196
	15	190	189	564	187	932	557	185	184	549

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

106	Глава 2.2. ОРБИТАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

полосы обзора аппаратуры КА. Ширину по лосы покрытия, измеряемую по экватору, обозначим bэ − b / sini.

Говоря о покрытии, различают два случая:

1. Наблюдение территорий в видимом диапазоне спектра только на восходящих или нисходящих ветвях орбиты в соответствии с требованием освещенности точек наблюдения Солнцем;

2. Наблюдение территорий	восхо
дящих, и на нисходящих ветвях	орбиты

в том случае, когда целевая аппаратура КА не требует освещенности районов съемки Солнцем.

Здесь рассматривается только первый слу

Рис. 2.2.41. Изменение величины межтрассово го расстояния в зависимости от времени полета для ССО кратности (11, 2)

даемых территорий полосами обзора (или поло сами захвата) целевой аппаратуры КА на крат ной орбите.

Глобальное покрытие предполагает возможность наблюдения территорий, рас положеных на любой широте, в отличие от зонального, обеспечивающего наблюдение заданного широтного пояса Земли. Полное покрытие возникает при полном, без разры вов, заполнении наблюдаемого широтного пояса Земли полосами обзора (захвата) ап паратуры КА. Периодичность полного по крытия означает, что возникает оно через определенный промежуток времени в отли чие от непрерывного покрытия, обеспечи вающего наблюдение в любой момент вре мени.

Периодичность покрытия зависит от кратности орбиты, широты места наблюдения и размера полосы обзора (захвата) b. Для опре деленности будем говорить о полосах покры тия, так как фактически имеет значение толь ко то, что покрытие поверхности производит ся полосами, имеющими некоторую заданную ширину.

Если надо обеспечить за период крат ности возможность наблюдения всех точек заданного широтного пояса Земли, то в ка честве полос покрытия рассматривают поло сы захвата. Если надо обеспечить за период кратности возможность наблюдения любой точки заданного широтного пояса Земли, то в качестве полос покрытия рассматривают

чай.

Для ССО любой кратности (nпс, N, m) можно найти полосу обзора bэ, обеспечиваю щую полное покрытие экватора, и наоборот, для любой полосы bэ можно найти кратную ССО полного покрытия. Для того, чтобы ССО кратности (N; m) была орбитой полного покрытия, необходимо и достаточно, чтобы ширина полосы обзора bэ удовлетворяла ус ловию:

					bэ c0 , или						(2.2.124)
									bэ 1,
где			mbэ		nbэ		bэ	— нормированная ши
	b
	э		Lсут		2 Re		c

рина полосы покрытия [5].

Выполнение условия (2.2.124) приведет к тому, что полное покрытие будет осуществле но за время, не превосходящее период кратно сти N. При этом, возможно, соседние полосы обзора перекроются, в результате чего некото рые участки экватора будут просматриваться два или более раз, т.е. частота просмотра эква тора больше единицы. Из (2.2.124) следует, что для любого bэ с0 можно найти такой период кратности N*, что все орбиты за период крат ности N 6 N* обеспечат сплошное покрытие

экватора Земли:
			2 R
		&	е	1), N N *.	(2.2.125)
&			mbэ	)
	пс %			(

Минимальный период кратности N* ор бит полного покрытия в зависимости от ши рины полосы обзора иллюстрируется на рис. 2.2.42. Значения m в (2.2.125) целые, взаимно простые с N* и удовлетворяют нера венству m 5 N* 1. Из (2.2.125) следует, что

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ОСОБЫЕ ОРБИТЫ ИСЗ	107

Рис. 2.2.42. Минимальный период кратности N* орбит полного покрытия в зависимости от ши рины полосы обзора: m 1, nпс 14

орбиты с более высоким периодом кратно сти N для обеспечения полного покрытия требуют меньшей ширины полосы обзора bэ. При заданном периоде кратности N умень шение требуемой ширины полосы обзора bэ достигается переходом к орбитам с более высоким значением m. Повышение разреше ния целевой аппаратуры КА, сопровождаю щееся уменьшением полосы покрытия, не избежно приводит к возрастанию периода кратности, требуемого для получения полно го покрытия.

Время Тпок, по прошествии которого экватор Земли будет полностью покрыт по лосами покрытия аппаратуры КА, называ ют временем полного покрытия экватора. При нормированной ширине полосы bэ 1 полного покрытия экватора на данной ор бите не будет, при bэ 1 время полного по крытия равно периоду кратности N. При bэ 1 соседние полосы начнут перекрываться и появятся участки с более высокой, чем одноразовая, частотой покрытия. При дос таточной ширине полосы, в некоторой мо мент времени полета t N, текущее меж трассовое расстояние может стать меньше bэ . Следовательно, в момент t, еще до завер шения периода кратности наступит полное покрытие.

Условие наступления полного покры тия — выполнение неравенства bэ / ct или

при нормировании bэ и ct величиной с0 нера венства

		(2.2.126)
bэ / ct .

При этом величина bэ будет равна частоте покрытия, реализовавшегося за период крат ности N. Величина ct после первых суток поле та равна межвитковому расстоянию, и поэто

му ct Lмв N . После N суток полета ct c0 и c0

ct 1. Таким образом, и время полета, и нор мированное межтрассовое расстояние меня ются в диапазоне от 1 до N (рис. 2.2.41), что очень удобно при анализе полноты покрытия. График ct f (t) не зависит от класса орбиты nпс, при m 1 точки этого графика ложатся на прямую линию, графики ct f (t) при т k (k 0

0 0) и m (N k) совпадают.

Из рис. 2.2.41 следует, что для орбиты

кратности,	(11, 2),	через пять суток
полета ct 3.	если	КА расположен
на 15 витковой	что при кратности

(11, 2) определяет орбиты высотой 515 км с с0 240 км, и на нем установлена аппаратура с шириной полосы покрытия bэ 740 км, что определяет нормированную полосу покрытия

bэ 740 ( 31, , то через пять суток будет выпол 240

нено неравенство bэ / ct и наступит полное покрытие. За период кратности 11 суток бу

дет обеспечено не			чем трехразовое
(			полосами покрытия
	bэ 3) покрытие
бортовой аппаратуры
		Минимальное время	полного покрытия

для КА, оснащенного аппаратурой, требующей освещенности наблюдаемой поверхности, рав но одним суткам и реализуется оно при шири не полосы покрытия, равной межвитковому расстоянию. На практике, однако, bэ Lмв , по этому минимальная продолжительность пол ного покрытия равна двум суткам. Требуемая нормированная ширина полосы покрытия при этом [5]:

		N	1	N 1
b			m		.
э		2	1	2 1

Минимальное значение нормированной ширины полосы покрытия, обеспечивающей время полного покрытия, равное двум сут кам, достигается при m N/2, если N — чет