Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ	239

бесной механике и астродинамике. Изд. 2 е / под ред. Г.Н. Дубошина. М.: Наука, 1976. 864 с.

19.Степаньянц В.А., Львов Д.В. Эффектив ный алгоритм решения системы дифференци альных уравнений движения // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, вып. 6. С. 9–14.

20.Меёс Ж. Астрономические формулы для калькуляторов. М.: Мир, 1988. 168 с.

21.Гэтланд К. Космическая техника. Ил люстрированная энциклопедия. М.: Мир. 1986. 296 с.

22. Мороз В.И.,	Хантресс В.Т.,	Шева
лев И.Л. Планетные	экспедиции	//
Космические исследования. 2002. Т		вып. 5.

С.451–481.

23.Ivashkin V.V. Lunar Space Pprojects // American Astronautical Society. Science and Tech nology Series. 2004. V. 108. AAS 03 763. P. 481–499.

24.Lunar Exploration Timeline [Электронный ресурс] // NASA Goddard Space Flight Center. [сайт]. [2009]. URL: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/ planetary/lunar/ lunartimeline.html (дата обраще ния: 26.04.2009).

25. Келдыш М.В., Власова З.П., Ли дов М.Л. и др. Исследование траекторий облета Луны и анализ условий фотографирования и передачи информации // Келдыш М.В. Из бранные труды. Ракетная техника и космонав тика. М.: Наука, 1988. С. 261–309.

26.Первые панорамы лунной поверхно сти. Т. 1. М.: Наука, 1967. 98 с.

27.Дашков А.А., Ивашкин В.В. Об одном замечательном свойстве пучка гиперболических траекторий // Космические исследования, 1965.

Т.3, вып. 5. С. 684–686.

28.Uesugi Kuninori. Space Odyssey of an An gel — Summary of the Hiten’s Three Years Mission // Presented at AAS/GSFC Intern. Symposium on Spa ce Flight Dynamics. 1993. AAS Paper 93–292, 20 p.

29.Ивашкин В.В., Тупицын Н.Н. Об ис гравитационного поля Луны для

космического аппарата на стацио нарную орбиту спутника Земли // Космические исследования. 1971. Т. 9, вып. 2. С. 163–172.

30. Riebe T., Schweitzer M. Space Operations and Support // Aerospace America. 1998. Dec. P. 83.

2.6.2.ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА

КПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ

Перелетные траектории к небесным телам солнечной системы

Перелетная траектория — траектория воз можного перелета КА от Земли в определенную

окрестность небесного тела, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до этого те ла от Солнца.

При выборе траектории полета КА к одной из девяти планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Неп тун, Плутон) в качестве указанной окрест ности рассматривается сфера действия пла неты 1 .

На стадии выбора перелетной траектории к малой планете (астероиду) или к комете, учитывая ее малое гравитационное воздейст вие на эту траекторию, в качестве указанной окрестности обычно рассматривается сфера заданного радиуса с центром в центре масс не бесного тела (цели), радиус которой предпола гается настолько малым, что в пределах этой сферы движение КА относительно небесного тела (цели) можно рассматривать как прямо линейное и равномерное.

Траектория перелета (ТП) КА к плане те, астероиду или комете разделяется на три последовательных по ходу движения КА уча стка:

1)в сфере действия Земли (геоцентриче ский участок);

2)гелиоцентрический участок между сферой действия Земли и рассматриваемой ок рестностью тела (цели);

3)в заданной окрестности небесного тела (цели). Перелет между сферой действия Земли

ирассматриваемой окрестностью тела (цели) происходит, как правило, по эллиптической орбите относительно Солнца.

Геоцентрический участок ТП формиру ется путем выведения КА РН с использова нием в ряде случаев разгонного блока (РБ) из определенной точки на поверхности Земли на так называемую промежуточную орбиту ИСЗ. С промежуточной орбиты КА с помо щью своей ДУ разгоняется на гиперболиче скую (относительно Земли) орбиту. Необхо димые кинематические параметры (компо

ненты векторов положения и скорости КА) геоцентрического участка ТП получаются 1 специальным выбором момента времени старта с Земли, включения и интервала вре мени работы ДУ при разгоне на гиперболи ческую траекторию.

Разгон КА с промежуточной орбиты ИСЗ на гиперболическую орбиту относительно Зем ли может выполняться двумя способами: с по мощью работы ДУ большой тяги (БТ) с удель ной тягой до нескольких сотен секунд малой

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

240	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

тяги (МТ) с удельной тягой, превосходящей тысячи секунд.

Второй способ разгона в прикладной не бесной механике называется раскруткой КА у Земли.

При втором способе разгона (раскрутке) первоначальная перелетная орбита КА не про ходит через окрестность тела (цели) и предпо лагается использование ДУ МТ в качестве маршевой ДУ для формирования гелиоцентри ческого участка ТП.

В результате разгона КА по первому способу в предположении отсутствия марше вой ДУ МТ на гелиоцентрическом участке ТП в номинальном случае первоначальная перелетная орбита КА — орбита прямого пе релета КА, т.е. пересекает окрестность тела (цели), а сам перелет называется прямым пе релетом. Если же при этом способе разгона на гелиоцентрическом участке ТП предпола гается для ее формирования использовать ДУ МТ, то в номинальном случае первона чальная перелетная орбита, как правило, не пересекает окрестность тела (цели) и, следо вательно, не является орбитой прямого пере лета КА.

Практический интерес при проектирова нии полета КА от Земли к небесному телу представляет решение проблемы поиска до пустимой ТП, реализация которой достигается с минимальными потерями первоначальной массы КА, т.е. массы на промежуточной орби те ИСЗ. При этом результат непрерывной ра боты ДУ БТ допустимо моделировать мгно венным (импульсным) изменением скорости КА в момент времени включения ДУ на соот ветствующий вектор приращения характери стической скорости. Искомая траектория на зывается оптимальной (энергетически опти мальной) ТП.

Оптимальный перелет к планете

Расчет оптимальной КА к планете в предположении реализации прямого перелета с помощью ДУ БТ можно выполнить известны ми методами прикладной небесной механики. Характеристики таких траекторий подробно представлены в Φ1Γ.

Практический интерес представляет за дача выбора оптимальной ТП к планете с ис пользованием ДУ БТ или ДУ МТ при реали зации первого участка ТП КА с промежуточ ной орбиты ИСЗ на гиперболическую отно сительно Земли и формировании гелиоцен

трического участка ТП с помощью ДУ МТ. Методика решения такого типа задачи пред ставлена на примере решения задачи выбора ТП КА с промежуточной орбиты у Земли на круговую орбиту заданного радиуса относи тельно планеты цели, лежащую в заданной плоскости.

При этом разгон с промежуточной орби ты на гиперболическую выполняется посред ством ДУ БТ. В качестве ДУ МТ рассматрива ется современный плазменный ЭРД, рабочим телом которого является ксенон. Электропита ние, необходимое для работы ЭРД, поступает от солнечных батарей (СБ)

Результаты решения рассматриваемой за дачи при полете к Марсу техническим характеристикам близкого к КА проекта «Фо бос–Грунт» с ЭРДУ в качестве маршевого дви гателя, приводятся в работах Φ2–5Γ.

Прямой перелет к планете

Основные характеристики оптимальных ТП к планете можно получить приближенно, если воспользоваться упрощенной моделью Солнечной системы, в которой предполагает ся, что все планеты движутся по отношению к Солнцу по круговым орбитам, расположен ным в одной плоскости. Радиус круговой ор биты полагается равным среднему расстоянию планеты от Солнца. Для каждой из девяти планет Солнечной системы в табл. 2.6.1 при водятся значения Φ1, 6Γ величин, характери зующих их движение по орбитам. К ним отне сены эксцентриситет и наклонение к плоско сти эклиптики орбиты планеты, среднее рас стояние планеты от Солнца (большая полуось орбиты) в астрономических единицах сидери4 ческий и синодический периоды — интервалы времени, в течение которых планета совершает полный оборот вокруг Солнца или для земно го наблюдателя возвращается в прежнее поло жение относительно Солнца. Кроме того, в табл. 2.6.1 представлено приближенное значе ние среднего радиуса сферы действия планеты.

Оптимальным перелетом между двумя концентрическими, лежащими в одной плос кости, круговыми орбитами является перелет по эллиптической орбите (эллипсу Гомана), плоскость которой совпадает с плоскостью этих круговых орбит и все точки принадлежат кольцевой области между ними. Эллипс Гома на касается указанных круговых орбит.

При полете от Земли к внешней планете, среднее расстояние планеты от Солнца пре

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ	241

восходит 1 а. е., перигелий эллиптической ор биты перелета находится на орбите Земли, а ее афелий — на орбите планеты. При полете от Земли к внутренней планете среднее расстоя ние планеты от Солнца меньше 1 а. е., на ор бите Земли находится афелий эллиптической орбиты перелета, а на орбите планеты — ее пе ригелий.

В рамках рассматриваемой приближен ной модели движения планет Солнечной системы гелиоцентрический участок опти мальной ТП КА к планете (цели) должен представлять собой часть эллипса Гомана между его афелием и перигелием. Скорости КА в начале и конце движения по этому уча стку почти параллельны орбитальным скоро стям Земли и планеты (цели) соответствен но. Интервал tп времени полета по элипсу Гомана между его афелием и перигелием оп ределяется однозначно, как и орбитальные скорости КА в начале и в конце гомановско го перелета.

Для реализации гомановского перелета от Земли к планете необходимо выполнение ус ловия: в гелиоцентрической декартовой СК угол между векторами rЗ(tЗ) положения Земли в момент tЗ начала перелета и rп (tп ) положения планеты в момент времени tп завершения пе релета, tп tЗ tп , должен составлять 180 . Это условие выполняется с периодом, пример но равным синодическому периоду обращения планеты (см. табл. 2.6.1).

В таблце 2.6.2 приводятся значения Φ1Γ величин, характеризующих гомановские пе релеты от Земли к каждой из девяти планет Солнечной системы. Представленные вели чины VЗ и Vп — отличия по абсолютной величине текущей гелиоцентрической ско рости КА от орбитальных скоростей Земли в начале гомановского перелета планеты (цели) и в конце этого перелета соответст венно.

Расчеты показывают, что реальные опти мальные перелеты качественно близки к гома новским перелетам. Для реальных траекторий полета планет вокруг Солнца, близких к опти мальным, по прежнему оказываются переле ты, когда угловая дальность между векторами rЗ(tЗ) и rп (tп ) оказывается равной 180 . Такое взаимное положение векторов rЗ(tЗ) и rп (tп ) по вторяется через синодический период. Но при этом одноименные векторы заметно отлича ются между собой. Что приводит к различию энергетических характеристик оптимальных

перелетов, отстоящих по времени старта од ним или несколькими синодическими перио дами. Данное различие носит периодический характер с периодом, примерно равным пе риоду великих противостояний Земли и пла неты цели.

Так, если в качестве планеты цели вы Марс, то рассматриваемый период при равен 15…17 земным годам.

В х одного периода, продолжитель ность (в земных годах) оптимального перелета КА и величина его скорости (в км/с) относи тельно Марса на сфере его действия, рассчи тываемые с учетом эллиптичности орбит пла нет и их взаимных наклонений, могут прини мать значения из интервалов Φ0,51; 0,78Γ и Φ2,7; 5,5Γ соответственно.

Практический интерес представляет значение приращения WЗ характеристиче ской скорости при разгоне КА с промежу точной орбиты ИСЗ для достижения на сфе ре действия Земли скорости VЗ, которая обеспечивает прямой перелет к планете це ли. В рассматриваемом случае полета к Мар су, принимая в качестве промежуточной круговую орбиту высотой 200 км, величина WЗ (в км/с) может принимать значения из интервала Φ3,4; 3,9Γ.

Перелет к планете с использованием ДУМТ при реализации гелиоцентрического участка траектории

Рассматривается задача выбора опти мальной ТП КА с эллиптической промежу точной орбиты ИСЗ, заданной перигейным r З и апогейным r З радиусами и наклонением iЗ к плоскости экватора Земли, на целевую круговую орбиту спутника планеты цели. Предполагаются заданными радиус rкp п и пространственное положение плоскости це левой орбиты. Указанная плоскость опреде ляется единичным кинетического момента орбиты КА (относительно планеты).

Для определенности	и все остальные
векторы в пределах п. 2	рассматриваются
в правой прямоугольной	гелиоцентрической

СК (ГСК), оси которой с течением времени не изменяют направления в инерциальном про странстве, причем ось аппликат СК совпада ет с осью вращения Земли с точностью до ее прецессии и нутации.

Предполагается, что значение массы mЗ КА на промежуточной орбите фиксировано. Следовательно, оптимальная ТП КА должна

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

242	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

выбираться из условия максимизации массы mп КА после его перехода на заданную целе вую орбиту спутника планеты.

Переходы КА с промежуточной орбиты на ТП и с ТП на орбиту спутника планеты вы полняются включением ДУ БТ, ДУЗ около Земли, ДУП около планеты, с заданными удельными импульсами PДУЗ и PДУП соответст венно.

Гелиоцентрический участок ТП КА реа лизуется с помощью ЭРД, удельный импульс PЭРД и массовый расход q рабочего вещества которого являются известными функциями PЭРД (S) и q(S) от текущей электрической мощности S, поступающей от СБ. В свою очередь мощность S рассматривается как функция расстояния r КА от центра Солнца, угла между нормалью к плоскости СБ и направлением с КА на центр Солнца, проме жутка tпол времени нахождения КА в полете,

S S(r, ,tпол ). Работа ЭРД	осуществляется
по программе, задающей	времени
начала и конца активных	(тяга ЭРД

не равна нулю), направление единичного вектора e тяги в каждый момент времени на активном участке.

Указанные моменты времени и функ цию e(t) в совокупности называют програм мой тяги ЭРД.

Схема полета КА

Перелет КА с промежуточной на целевую орбиту спутника планеты происходит по сле дующей, достаточно общей с точки зрения практического применения, схеме.

КА с помощью одного включения ДУЗ в момент времени t0 в перицентре промежуточ ной орбиты переходит на гиперболическую орбиту относительно Земли со скоростью «на бесконечности» V1З. Предполагается, что к моменту времени t0 ДУЗ расходует всю массу своего топлива и затем с массой mДУЗ отделя ется от КА.

От момента времени t0 до некоторого t1 КА массой m1 находится в пассивном полете, необходимом для уточнения орбиты КА, рас чета программы работы ЭРД и выполнения технологических операций для подготовки его включения. Минимальный размер указанного интервала пассивного полета определяется ве личиной t1,

t1 t0 t1.

(2.6.4)

Масса m1 КА определяется абсолютной величиной V1З его скорости «на бесконечно сти» V1З |V1З | в соответствии с формулой Циолковского:

		WЗ
m m e		PДУЗ g 0 m		ДУЗ	,	(2.6.5)
1	З

где g0 9,80665 м/с — стандартное ускорение свободного падения на Земле (на уровне моря) Φ1Γ;WЗ — приращение характеристической ско рости вследствие работы ДУЗ:

W

V12

2.

З

.

2

2

V

&

)

g

,

З

З

r З

З&

)

% r З

r З r З (

(2.6.6)

2.6.1. Характеристики движения и гравитационного влияния планет

	Эксцентриситет	Наклонение орби	Среднее рас	Сидерический	Синодический	Радиус сферы
Планета	орбиты относи	ты к плоскости	стояние от	период, зем	период, зем	действия,
	тельно Солнца	эклиптики, град.	Солнца, а. е.	ные годы	ные годы	млн км
Меркурий	0,206	7,0	0,387	0,240	0,34	0,14
Венера	0,007	3,4	0,723	0,615	1,60	0,62
Земля	0,017	0,0		1,000	–	0,94
Марс	0,093	1,9		1,881	2,13	0,63
Юпитер	0,048	1,3		11,862	1,09	48
Сатурн	0,056	2,5	9,539	29,458	1,03	54
Уран	0,047	0,8	19,182	84,014	1,01	51
Нептун	0,009	1,8	30,057	164,788	1,01	87
Плутон	0,250	17,2	39,53	248,5	1,00	35

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

	ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ				243
		2.6.2. Характеристики гомановских перелетов к планетам
		Интервал времени	Скорость на сфере действия	Скорость на сфере действия
Планета		полета tп, земные	Земли (относительно Земли)	планеты (относительно планеты)
		годы	VЗ, км/с	Vп, км/с
Меркурий		0,29	7,50	9,56
Венера		0,40	2,53	2,80
Марс		0,71	2,98	2,65
Юпитер		2,74	8,70	5,65
Сатурн		5,05	10,30	5,49
Уран		16,04	11,30	4,56
Нептун		30,62	11,70	3,94
Плутон		45,80	11,85

где .З — произведение гравитационной посто янной на массу Земли; Vg — поправка к при ращению характеристической скорости, полу чаемой в рамках задачи двух тел Φ7Γ.

Указанная поправка представляет собой дополнительное приращение характеристиче ской скорости для преодоления, в первую оче редь, реальной силы тяготения и сил аэроди намического сопротивления при движении КА

всфере действия Земли. На практике, учиты вая, что d Vg / dV1З — малая величина, значе ние поправки рассчитывается заранее и, сле довательно, в рассматриваемой задаче выбора ТП КА полагается заданной.

От момента времени t1 (2.6.4) реализуется этап полета КА, продолжающийся до момента

времени t2, на котором допускается работа ЭРД. На этом этапе могут иметь место участки пассивного полета КА. После момента време

ни t2, до включения ДУП, осуществляется от деление ЭРД, СБ и других ненужных в даль нейшем модулей КА, общая масса mE которых

вслучае отсутствия рабочего тела ЭРД счита ется известной величиной. КА в пассивном полете в результате работы ЭРД выходит на гиперболическую орбиту относительно плане

ты (цели) с заданным расстоянием rкрп в пери центре и плоскостью, ортогональной задан ному вектору c.

Вмомент времени t п , когда КА достигает минимального расстояния до центра планеты цели, с помощью ДУП выполняется так назы ваемая операция торможения, в результате ко торой КА переводится на целевую орбиту, плоскость которой совпадает с плоскостью подлетной гиперболы.

Интервал времени [t2,t реальном по лете предназначен для уточнения орбиты КА по траекторным измерениям, проведения тех нических мероприятий перед реализацией тор можения КА и других операций, предусмот ренных программой полета КА. Исходя из этого, на моменты времени t2 и t п накладыва ется ограничение

	t п t2 t2,					(2.6.7)
где t2 — заданная величина.
Масса	после торможения и пере
хода на	орбиту выражается соотноше
нием
				Wп
m	(m m )e PДУП g 0				,	(2.6.8)
п	2	Е

где m2 — масса КА перед сбросом ЭРД, СБ и других ненужных в дальнейшем модулей КА; Wп — приращение характеристической скоро сти вследствие работы ДУП, определяемое со отношением, аналогичным (2.6.6):

W	V12		2.п				.п		V	, (2.6.9)
п	п		rкрп						K
							rкрп

где .п — произведение гравитационной посто янной на массу планеты цели; V1п — модуль скорости V1п на бесконечности подлетной ги перболы относительно планеты цели, V1п |V1п |; VK — предусмотренные предель ные суммарные затраты характеристической скорости на коррекцию подлетной (к планете) орбиты КА с помощью ДУП.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

244	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Таким образом, масса mп КА на орбите спутника планеты цели однозначно определя ется модулем V1п скорости на бесконечности (2.6.8) и массой m2 КА (2.6.9).

Баллистическая задача

С учетом изложенных выше допущений и обозначений формулируется следующая задача выбора оптимальной траектории перелета от Земли к планете — цели.

Требуется найти допустимую, реализуе мую, ТП КА и соответствующую ей программу тяги ЭРД, которые обеспечивают выведение КА максимальной массы (mп max) на целе вую орбиту спутника планеты.

Параметрами оптимизации массы mп яв

ляются величины t0 , t п , V1З, V1п и функции e(t), (t), определяющие программу тяги ЭРД.

Функция (t) может принимать только два зна чения:

0, если момент времени не принадлежит активному участку;

1, в противном случае.

Предполагаются заданными функции

S S(r, ,tпол), PЭРД (S), q(S), значения величин

iЗ, r З, r З, rкрп , t1, t2, mЗ, mДУЗ, mE , PДУЗ,

PДУП, Vg , VK и значения компонентов еди ничного вектора c.

Методика решения задачи

На гелиоцентрическом участке ТП на КА действует заметная с практической точки зре ния суммарная сила, обусловленная притяже нием Солнца, планет, Луны и световым давле нием, характеризуемый безразмерным коэф фициентом .

Эта естественная сила сообщает КА уско рение, равное

			r	10		r ri			ri
	g8	.(1 )		.i &						),
			r 3			| r r	|3		r 3
					&					)
				i 1	%	i			i	(

(2.6.10)

где . — произведение гравитационной посто янной на массу Солнца; .i — произведение гравитационной постоянной на массу i го не бесного светила (девять планет и Луна), i 1,2,...,10; r — радиус вектор положения КА; ri — радиус вектор положения i го небесного светила в текущий момент времени, r | r | и ri | ri |. Однако для получения массоэнергети ческих характеристик оптимального по затра там массы межпланетного полета КА с ЭРД и сравнительных характеристик его полета для

разных окон старта вполне можно ограни читься рассмотрением движения КА в при ближенной постановке:

–учитывается только притяжение Солн ца (без учета светового давления);

–движение КА внутри сфер действия Земли и планеты цели не рассматривается, сферы действия считаются точечными (радиус равен нулю).

При этих допущения	показывают
многочисленные расчеты,	оптимальный
расход массы КА опреде	с ошибкой,

не превышающей несколько килограмм при расходах массы в несколько тонн. Получен ная программа тяги ЭРД должна уточняться исходя из предположения, что на гелиоцен трическом участке вследствие действия ес тественной силы ускорение КА выражается соотношением (2.6.10). Так, уточнение мо жет быть выполнено по методике, изложен ной в Φ4Γ.

При сделанных допущениях движение КА от Земли к планете цели в ГСК можно описать так называемой координатно массо вой системой дифференциальных уравнений относительно радиуса вектора r, вектора ско рости V и массы m КА:

dr V ; dt

dV g P(S) dt m

dm q(S). dt

e; (2.6.11)

Здесь P(S) PЭРД (S)g0q(S)— тяга ЭРД; g . rr3 . При решении задачи времена t0 и t п фиксируются, по их значениям выполняется

перебор.

Оптимизация массы mп КА выполняется на множестве решений координатно массовой системы дифференциальных уравнений (2.6.11), каждый элемент которого удовлетво ряет условиям:

r(t0 ) rЗ(t0 ); V (t0 ) VЗ(t0 ) V1З;

V З

m(t0 ) mЗe PДУЗ g 0 mДУЗ; r(t п ) rп (t п );

V (t ) V	п	(t ) V1	п	; V1т	п	c 0,	(2.6.12)
п		п

где rЗ,VЗ — векторы положения и скорости Зем ли; rп ,Vп — векторы положения и скорости пла

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ	245

неты (цели). Условия, отнесенные к моментам времени t0 и t п , называют условиями на левом и правом концах интервала полета КА.

Для решения задачи используется прин цип максимума Понтрягина Φ8Γ, согласно ко торому в рассматриваемом случае требуется максимизировать функцию

H		тV т		g	P	т	e	q, (2.6.13)
	z	r	V		m V			m

где r , V — векторы, компоненты которых яв ляются сопряженными переменными относи тельно компонентов векторов r, V соответст венно; m — сопряженная с m переменная.

Сопряженные переменные должны удов летворять системе дифференциальных уравне ний:

d r

0Hz

0g т

&

) V

dt

0r

%

0r (

0P ( V e)

т

0q

&

)

& )

m;

0r

т

m

(2.6.14)

%

(

%

0r (

d V

0Hz r ;

dt

0V

0

m

0H

z

P

( V e),

m

2

0t

0m

где 0P 0P 0S , 0q 0q 0S .

0r 0S 0r 0r 0S 0r

Краевые условия для сопряженных пере менных определяются условиями трансвер сальности Φ8Γ, которые записываются в явном виде, если воспользоваться соотношениями (2.6.5), (2.6.6), (2.6.9), (2.6.12).

Для нормализации сопряженных пере менных предполагается m(t0 ) m(t1) 1. В этом случае максимум функции (2.6.13) при ближенно достигается при условии:

e	V	,	15)
	V

где V | yV |.

Величина принимает значения:

1, если			P						q 6 0;
	V m						m		(2.6.16)
0, если				P					q + 0.
		V m						m

Решение задачи в представленной поста новке осуществляется итерационно. На каж дой итерации по полученным на предыдущей

итерации данным на левом конце (t t0 ) рас сматриваемого интервала полета КА формиру ются так называемые начальные условия

r(t0 ),V (t0 ), m(t0 ), r (t0 ), V (t0 ) (всегда m(t0 ) 1) для системы дифференциальных уравнений

(2.6.11), (2.6.14). Затем по этим начальным ус ловиям, путем численного интегрирования системы уравнений (2.6.11), (2.6.14) с учетом соотношения (2.6.15) и функции переключе ния (2.6.16), находятся r,V , m, r , V , m на любой фиксированный момент времени. Про веряется выполнение краевых и терминальных условий при t t п . В случае выполнения с за данной точностью этих условий итерацион ный процесс завершается. В результате итера ционного процесса находятся близкие к иско мым значения компонентов векторов V1З, V1п , значение величины mп и приближенная про грамма тяги ЭРД.

Полет к Марсу

В качестве примера рассматривается за дача выбора оптимальной ТП КА с орбиты ИСЗ на круговую орбиту искусственного спут ника Марса Φ4Γ. Схема полета и технические характеристики КА близки к соответствую щим характеристикам КА с ЭРД российского проекта «Фобос–Грунт».

Предполагается, что полет КА начался в 2007 г. при следующих значениях исходных данных: r З 6 586 км, r З 6 586 км, iЗ 51,8 ,

rкрп 9 905 км, вектор c совпадает с единич ным вектором кинетического момента Фобоса

(относительно Марса) в момент времени t п ,

t1 5 сут, t2 60 сут, mЗ 8 120 кг, mДУЗ = 620 кг, mE 310 кг, PДУЗ 330 с, PДУП 310 с,

Vg VK 0.

Безразмерный коэффициент, характери зующий солнечное давление, принят равным0,000016.

Функции S S(r, ,tпол ), PЭРД (S) и q(S), характеризующие ЭРД и СБ задаются в виде:

~

2

~

1/4

[1 kTT0 (1

r

1/2

)](1 kd tпол );

S S0 r cos

cos

!P

a(S

S*)2, если S

5 S

max

;

ЭРД0

PЭРД (S)

S 6 Smax ;

PЭРД0 a(Smax S*)2, если

#

(2.6.17)

!q

0

b(S S

*), если

S

5 S

max

;

q(S)

b(S

S*), если

S 6 S

,

q

0

max

max

#

где S0 — исходная мощность СБ на расстоянии 1

~

а. е. от Солнца; r — расстояние КА от Солнца в

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

246	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Рис. 2.6.21. Оптимальная траектория перелета от Земли к Марсу КА с ЭРД

	r		2
астрономических единицах; cos	1 &		e ) ,
	% r		(

так как предполагается, что вектор e тяги ЭРД параллелен плоскости СБ; kT — коэффициент зависимости мощности СБ от температуры ее панели; T0 — номинальная температура панели СБ вблизи Земли; kd — коэффициент деграда ции СБ из за космической радиации; PЭРД0 a, S*, q0 , b — известные константы; Smax — максималь ная мощность ЭРД.

В рассматриваемом случае полагается S07,50 кВт, Smax 5,87 кВт, S* 5,60 кВт,

PЭРД0 2020 с, q0 0,01464 г/с, T0 330 К, kT0,002 1/К, kd 0,03 год 1, a 32,89 с/кВт2, b

0,00223 г/(с кВт).

В результате решения задачи с примене нием изложенного метода получены парамет ры оптимального перелета КА (с указанными характеристиками) от Земли к Марсу при реа лизации гелиоцентрического участка ТП с по мощью ЭРД. Начало t0 перелета — 1 июля 2007 г. Интервал времени перелета (t п t0 ) со ставляет 550 сут. На рис. 2.6.21 представлены в проекции на плоскость эклиптики оптималь ная ТП, орбита Земли и орбита Марса. Интер валы времени пассивного движения вблизи

Земли (t1 t0 ) и вблизи Марса (t п t2) равны 5 сут и 120 сут соответственно.

Модули скоростей КА на бесконечно сти при отлете от Земли и при подлете к Марсу имеют значения V1З 1,38 км/с, V1п 0,72 км/с соответственно.

На протяжении полета КА к Марсу имеют место два непрерывных участка ра боты ЭРД. На рис. 2.6.22 и 2.6.23 представ лены изменения с течением времени мощ ности и тяги ЭРД. Значения массы КА в характерных точках ТП принимают следую щие значения: m1 2269 кг, m2 1876 кг, mп 1149 кг.

Точно такая же задача поиска опти мальной траектории полета КА с ЭРД к Марсу решена для окон старта 2009 и 2011 гг. Для всех трех окон старта (2007, 2009 и 2011 гг.) массы КА, выводимые на орбиту спутника Марса, отличаются друг от друга в пределах нескольких кило граммов. При этом для всех рассмотрен ных окон сохраняется количество актив ных участков, на которых тяга ЭРД не равна нулю.

В заключение следует подчеркнуть, что изложенная методика может быть поч ти полностью сохранена при решении ана

логичной задачи, в которой предполагается выведение КА на гелиоцентрический участок ТП путем раскрутки КА у Земли с использова нием ДУ МТ. При этом следует учесть, что

Рис. 2.6.22. Зависимость мощности N ЭРД от полетного времени по оптимальной траектории перелета КА от Земли к Марсу

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ	247

Рис. 2.6.23. Зависимость тяги Р ЭРД от полет ного времени по оптимальной траектории пере лета КА от Земли к Марсу

раскрутка КА у Земли — длительный процесс и может составлять несколько месяцев, гелио центрическая скорость КА в конце раскрутки практически совпадает со скоростью Земли относительно Солнца, а масса КА равна его массе на промежуточной орбите за вычетом ее расхода при реализации раскрутки.

Если в качестве ДУ МТ использовать ЭРД, энергия на которые поступает от СБ, то движение КА на этапе раскрутки при фикси рованной программе тяги описывается коор динатно массовой системой дифференциаль ных уравнений, которая является более слож ной системой, чем система (2.6.11). В правых частях системы, кроме центрального ускоре ния от Земли, следует учитывать возмущаю щие ускорения, обусловленные нецентрально стью поля тяготения Земли, аэродинамически ми силами, влиянием Солнца, Луны и планет Солнечной системы. Раскрутка завершается при условии достижения скорости КА относи тельно Земли параболической скорости.

Существенным моментом, который необ ходимо учитывать при моделировании рас крутки КА у Земли, является снижение вели чины тяги ЭРД вследствие уменьшения элек трической мощности, поступающей на его клеммы, из за деградации СБ при прохожде нии радиационных поясов Земли. Средняя скорость деградации СБ при прохождении КА

(при раскрутке) радиационного пояса КА у Земли в несколько раз превосходит скорость радиационной деградации СБ на гелиоцентри ческом участке его ТП.

Деградация СБ на гелиоцентрическом участке полета КА в основном обусловлена протонами и электронами солнечного ветра, потоки которых в периоды спокойного Солнца пренебрежимо малы. Также мало влияние галактического излучения. Практи чески вся деградация СБ на гелиоцентриче ском участке полета КА наблюдается во вре мя солнечных вспышек. По имеющемуся опыту полетов межпланетных КА скорость падения мощности СБ не превосходит не скольких процентов в год.

Учет деградации СБ КА

воколоземном пространстве

Всоответствии с Φ1Γ радиационный пояс Земли (РПЗ) определяется как область около земного пространства, в которой магнитное поле Земли удерживает заряженные частицы

скинетической энергией от десятков кэВ до

сотен МэВ. Эта область имеет достаточно сложную структуру Φ1, 9Γ из за конфигурации магнитного поля Земли. Размеры и положе ние областей пересечения РПЗ с плоскостью, проходящей через центр Земли, зависят от угла между ней и экваториальной Земли.

Условно РПЗ разделяется на и внешнюю зоны (пояса).

Во внутренней зоне основная компонен та — протоны. Поэтому внутреннюю зону, ко

торая простирается от	высот 200…300 км до
12 000…16 000 км часто	называют протонным

поясом. Энергия протонов здесь может дости гать 700…800 МэВ, что происходит на высоте над поверхностью Земли, равной 2 000 км. Чем выше энергия протонов, тем в более уз кой области пространства они распределены. Во внутреннем радиационном поясе поток протонов с энергией, превосходящей 40 МэВ, достигает значения 2,77 104 см 2 c 1 в области магнитного экватора Земли на высоте 3000… 3500 км. Огромная проникающая способность таких потоков представляет значительную опасность для экипажа КА. Средняя энергия электронов во внутренней зоне составляет 4100 кэВ.

Во внешней зоне, в основном, преобла дают электроны с энергией 40…100 кэВ и про тоны с энергией от нескольких сотен кэВ и

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

248	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

менее. Считается, что верхняя граница зоны простирается до высоты h − 45000 км.

Характерной особенностью пространст венного распределения электронов различных энергий является наличие двух максимумов,

соответствующих	внутреннему	(на	высоте
3 000…6 000 км)	и внешнему	(на	высоте

25 000…30 000 км) поясам космической радиа ции. Экваториальные потоки электронов в этих поясах составляют 105…107 см 2 с 1 для

E 6 1 МэВ, 107…5	2 с 1 для Е 6 150 кэВ
e	е
и 108 см 2 с 1 для Е	кэВ, где Ее — энергия
электрона.

Полет КА в пределах РПЗ приводит к де градации бортовой СБ и соответствующему уменьшению вырабатываемой ею электриче ской мощности S. Текущая деградация СБ с учетом изложенных качественных характери стик РПЗ зависит от высоты h полета КА и на клонения i его околоземной орбиты к плоско сти экватора Земли, а также существенно за висит от материала, из которого сделаны фо4 тоэлектрические преобразователи (ФЭП) СБ, и толщины защитного покрытия ФЭП. В на стоящее время в основном используются стек лянные защитные покрытия. Степень деграда ции конкретной СБ в момент времени t харак теризуется коэффициентом kve (t), который ра вен отношению текущей электрической мощ ности S СБ к электрической мощности S0 СБ в начале (в момент времени t0 , t0 + t) рассмат

риваемого полета КА:
k (t)	S(t)	.	(2.6.18)
ve	S0

Большое количество факторов, влияю щих на процесс деградации СБ, затрудняют их учет и, следовательно, заставляют искать ка кие то общие подходы, хотя бы в части учета пространственно энергетического распределе ния потоков заряженных частиц.

Один из возможных вариантов решения проблемы реализован на практике Φ9Γ. Сущ ность его состоит в том, что воздействие на ФЭП СБ протонов и электронов всего энерге тического спектра сводится к эквивалентному по степени радиационного повреждения воз действию моноэнергетического потока элек тронов со стандартной энергией 1 МэВ. При этом эквивалентные величины коэффициен тов радиационного повреждения для протонов и электронов различных энергий устанавлива ются по результатам наземных и летных испы

таний элементов СБ. Расчет коэффициента kve (t) осуществляется в соответствии с уста новленной зависимостью kve (t) fk (D(t)) его от полученной СБ к моменту времени t эквива лентной дозы радиации D(t), которая опреде ляется как полное количество электронов с энергией 1 МэВ, падающих на площадку 1 см2 за время полета (от момента времени t0 до мо мента времени t). Исходные данные для рас чета эквивалентной дозы радиации D(t) на практике удобно задавать в виде табличной за висимости эквивалентной дозы радиации, ко торую в течение определенного времени полу чает СБ КА на круговой орбите, от высоты этой орбиты. Табличный шаг по высоте выби рается из условия допустимости при практи ческих расчетах коэффициента kve (t) выпол нять вычисление величины эквивалентной до зы радиации для круговой орбиты с высотой между соседними узловыми представлениями в таблице значениями высот методом линей ной интерполяции.

Оптимальные траектории полетов к астероидам и кометам

Современное развитие ракетно космиче ской техники позволяет рассматривать в прак тическом аспекте полеты КА к малым небес4 ным телам (МНТ) Солнечной системы (асте роидам и кометам) в целях доставки на Землю образцов реликтового вещества Φ10–14Γ или предотвращения опасного сближения МНТ с Землей Φ14Γ.

Среди астероидов выделяют те, которые имеют небольшие вытянутые орбиты, прибли жающиеся к орбите Земли без захода (астерои ды группы Амура) и с заходом (астероиды группы Аполлона) во внутрь нее. Они могут сближаться с Землей и изредка даже сталки ваться с ней. Известны несколько астероидов, орбиты которых находятся внутри орбиты Земли и имеют полуоси, близкие к 1 а.е.

Основная масса зарегистрированных ма лых планет Солнечной системы (астероидов) имеют большие полуоси орбит относительно Солнца от 2,2 до 3,6 а.е. Φ1Γ и, следовательно, принадлежат к так называемому Главному поясу в кольцевой зоне, лежащей между орби тами Марса и Юпитера. Эти астероиды и асте роиды групп Амура и Аполлона привлекатель ны тем, что полеты к ним представляют наи меньшие технические трудности Φ13Γ.

В табл. 2.6.3 представлены характеристи ки некоторых астероидов Главного пояса, оп

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

	ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ													249
2.6.3. Характеристики астероидов Главного пояса, рассматриваемых в качестве целей
					для космических полетов
Астероид		N	тип	D,	a,	e	i,	,		,	T/TЗ	T/TМ	R ,	R ,
				Км	а. е.		град.	град.		град.			млн км	млн км
Parthenope		11	S	150	2,45	0,10	4,6	94		125	3,84	2,042	330	404
Fortuna		19	C	215	2,44	0,16	1,6	182		211	3,82	2,029	307	423
Lutetia		21	M	115	2,43	0,16	3,0	250		80	3,80	2,022	305	424
Urania		30	S	91	2,37	0,13	2,1	86		307	3,64	1,936	309	399
Pomona		32	S	93		0,08	5,5	338		220	4,16	2,111	354	420
Angelina		64	E	56		0,13	1,3	180		309	4,39	2,355	351	452
Velleda		126	S	40	2,44	0,11	2,9	327		23	3,81	2,025	326	404
Hertha		135	M	78	2,43	0,20	2,3	339		344	3,79	2,013	289	438
Medusa		149	O	16	2,18	0,06	0,9	250		159	3,21	1,705	304	347
Irma		177	C	68	2,77	0,24	1,4	38		347	4,61	2,452	317	512
Belisana		178	S	39	2,46	0,05	1,9	211		51	3,86	2,053	352	385
Oenone		215	–	36	2,77	0,03	1,7	319		25	4,61	2,449	399	429
Ella		435	I	32	2,45	0,15	1,8	333		23	3,83	2,038	310	423
Leocadia		969	U	18	2,46	0,20	2,3	91		288	3,87	2,055	293	444

тимальные траектории полета КА к которым в определенной степени к настоящему времени рассмотрены Φ13Γ. Указанные астероиды явля ются представителями всех основных геохими

ческих	(типов): S, C, M, E, O, I, U.
	строка табл. 2.6.3 отнесена к оп

ределенному астероиду. В строке представле ны название, номер и тип МНТ, значение диа метра Dа шара, приближенно описывающего фигуру МНТ, и значения набора параметров, характеризующих движение МНТ относитель но Солнца.

Составляющими указанного набора явля ются следующие параметры орбиты МНТ:

большая полуось a и эксцентриситет e орбиты;

наклонение i, аргумент широты перицен тра и долгота восходящего узла орбиты в ге лиоцентрической эклиптической СК (ЭСК) Φ14Γ; величины ТϑТЗ и ТϑТМ, где Т — период орбиты МНТ, а ТЗ и ТМ — периоды орбит Земли и Марса соответственно относительно

Солнца;

минимальное R и максимальное R рас стояния МНТ от Солнца.

Наибольший интерес с точки зрения по лучения и доставки на Землю реликтового ве щества представляет класс С (углистые хонд

риты) и класс S (силикатные). Вещество асте роидов классов С и S отличается от земных минералов и вещества метеоритов. В Φ10, 13Γ подчеркивается, что доставка вещества асте роидов этих двух классов к Земле является за дачей первостепенной важности.

Ряд астероидов и комет в процессе своего движения могут сближаться с Землей на опас ное для нее расстояние. В табл. 2.6.4 и 2.6.5 представлены соответственно параметры ор бит астероидов и комет, сближающихся с Зем лей в XXI веке Φ14Γ.

В этих таблицах, как и в табл. 2.6.3, каж дая строка отнесена к одному МНТ.

К настоящему времени предложено не сколько различных методов воздействия на небесное тело с помощью подлетающего к не му КА с целью его разрушить или, скорректи ровав орбиту, отклонить от Земли. В работе Φ14Γ рассмотрены три эффективных и неслож ных в реализации метода коррекции орбиты НТ: ударно кинетического воздействия, тер моядерного воздействия и сублимационного воздействия. Сублимационный метод может использоваться только при воздействии на яд ро кометы. В связи с этим выбор оптимальной траектории полета КА к сближающемуся с Землей МНТ в целях предотвращения возмож

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

250Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

2.6.4.Параметры орбит астероидов, сближающихся с Землей в XXI веке

Название/		T,	a,	R ,	i,	V * ,	b** ,
						сб	кр
семейство		земные годы	а.е.	а.е.	град	км/с	тыс. км
Toutatis/Ap		4	2,5	0,9	0,5	16,6	9
1996	RG3/Ap	2,8	2	0,8	3,6	18,7	8,3
1998	DV9/Ap	2,3	1,7	1	8,7	13,7	11,4
1994	CC/Ap	2,1	1,6	0,9	4,6	13,7	11,4
1990	MU/Ap	2,1	1,6	0,6	24,4	26,2	7,4
1994	CN2/Ap	2	1,6	0,9	1,4	13,3	12
1988	TA/Ap	1,9	1,5	0,8	2,5	16,7	8,9
1996	EN/Ap	1,8	1,5	0,9	38	25,5	7,4
Nereus/Ap		1,8	1,5	0,9	1,4	13,1	12,6
1994	PM/Ap	1,8	1,5	0,4	18	28,9	7,2
Appollo/Ap		1,8	1,5	0,6	6,4	20,3	8
1997	XF11/Ap	1,7	1,4	0,7	4,1	17,6	8,6
1994	PC1/Ap	1,6	1,3	0,9	33,5	22,5	7,7
Phaethon/Ap		1,4	1,3	0,1	22,1	35,3	7
1988	EG/Ap	1,4	1,3	0,6	3,5	18,9	8,2
Orpheus/Ap		1,3	1,2	0,8	2,7	14,4	10,4
1991 CS/Ap		1,2	1,1	0,9	37,1	22,5	7,7
Castalia/Ap		1,1	1,1	0,5	8,9	19,2	8,1
Asclepius/Ap		1	1	0,7	4,9	15,8	9,4
Khufu/At		1	1	0,5	9,9	18,8	8,2
Aten/At		1	1	0,8	18,9	15,2	9,7
1989	UQ/At	0,9	0,9	0,7	1,3	13,4	11,8
1997	NC1/At	0,8	0,9	0,7	16,7	14,4	10,4
Hathor/At		0,8	0,8	0,5	5,8	16,9	8,8
1994	WR12/At	0,7	0,8	0,5	7,1	14,6	10,3

* Значения скорости сближения на бесконечности МНТ с Землей.

** Верхняя граница bкр множества прицельных дальностей в подлете МНТ к Земле с катастро фическими последствиями для Земли, 0 5 b 5 bкр [14]

2.6.5. Параметры орбит комет, сближающихся с Землей в XXI веке

Название	T, земные годы	a, а.е.	R , а.е.	i, град	Vсб, км/с	bкр, тыс. км
P/Denning Fujikawa	9	4,3	0,8	9,1	21,7	7,7
P/Biela	6,6	3,5	0,8	8	20,7	7,9
P/Wirtanen	5,5	3,1	1	11,7	16,6	9
P/Schwassman Wachmann 3	5,4	3,1	0,9	11,4	16,9	8,8
P/Honda Mrkos Pajdusakova	5,2	3,0	0,5	4,3	27,4	7,3

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ	251

ной катастрофы является важной задачей при кладной небесной механики.

Современные достижения в развитии ра кетно космической техники позволяют в ши роко рассматривать полеты КА к МНТ — асте роидам и кометам, предлагается Φ13Γ для реа лизации полета к МНТ использовать КА, ос нащенный ЭРД, электропитание на который поступает от СБ.

В связи с этим выбору и анализу опти мальных траекторий полета КА с ЭРД к ука занным выше МНТ уделяется пристальное внимание. Практический интерес представля ют работы Φ13, 15Γ, в которых исследована воз можность полетов КА к астероидам и коме там, технические характеристики которых близки КА с ЭРД проекта «Фобос–Грунт».

Современный двигатель МТ, каким явля ется ЭРД, с высокой точностью сохраняет по сле выхода на режим скорость VC истечения реактивной струи, VC const. Оптимизация и

анализ траекторий	с учетом постоян
ства скорости	реактивной струи

двигателя представляет собой сложную балли стическую задачу. ее решение обычно начинают с предположения, что тяга ЭРД представляет собой так называемую идеально регулируемую МТ Φ10, 13Γ. Обоснованность та кого подхода к решению задачи подтверждают результаты решения большого набора кон кретных задач. Разница в затратах массы КА при реализации оптимальных траекторий в рассматриваемых двух вариантах моделирова

ния МТ находится в пределах ~15	необ
ходимых затрат массы КА. На ранни	стадиях
проектирования полета КА к телам

системы допустимо тягу ЭРД рассматривать как идеально регулируемую МТ.

Идеально регулируемая тяга ЭРД

В каждый момент времени t между реак тивным ускорением f , м/с2, КА, создаваемым ЭРД, скоростью VC, м/с, истечения реактив ной струи и мощностью тяги (мощностью «в струе») Sт , Вт, имеют место соотношения:

	1		dM				V 2		dM
f V				, S	т		C			, (2.6.19)
			dt				2		dt
C M

где M — текущая масса КА, кг.

Мощность Sт прямо пропорциональна Φ1Γ электрической мощности SЭ источника пита ния ЭРД:

Sт kSЭ, 0+ k 5 1.

(2.6.20)

В свою очередь электрическая мощность SЭ может зависеть от времени полета КА, по ложения КА в пространстве и др. В случае, ко гда источником питания являются СБ, полага ется:

S	Э	(t) f	Э	(t, r(t))S 0	,	(2.6.21)
				Э

где SЭ0 — электрическая мощность СБ на рас стоянии 1 а. е. от Солнца; fЭ (t, r(t)) — заданная положительная функция, r — вектор положе ния КА.

Соотношения (2.6.19), (2.6.20), (2.6.21) позволяют записать дифференциальное урав нение относительно функции M(t), из которо го следует математическая зависимость между массами MH и MK в некоторые моменты вре мени tH и tK (tH 5 tK ) соответственно при не прерывной работе двигателя на отрезке [tH,tK ]:

1			1			tK		1
						:
&				)
2SЭ0 &				)			f 2	kfЭ (t, r(t))	dt. (2.6.22)
% MK			MH ( tH

Допустимая, т.е. удовлетворяющая задан ным ограничениям, оптимальная траектория полета КА на интервале времени [tH ,tK ], реали зуемая с помощью ЭРД и СБ, должна выби раться из условия минимизации функционала

	tK	1
	J : f 2		dt,	(2.6.23)
		fЭ (t, r(t))
	tH

что непосредственно следует из соотношения (2.6.22). Функционал (2.6.23) не зависит от мас сы КА, поэтому поиск траектории (траекторная задача), доставляющей минимум этому функ ционалу, не зависит от массы КА. После реше ния траекторной задачи соотношение (2.6.22) позволяет при заданном значении массы MH определить MK . Исходя из этого, говорят, что в случае идеально регулируемой тяги траекторная и массовая задачи разделяются.

Характеристики траекторий полетов

Получены приближенные характеристи ки оптимальных траекторий полетов к некото рым МНТ Φ10, 12, 13Γ, в частности, к астерои дам Главного пояса, параметры орбит которых приведены в табл. 2.6.3. Рассматривался КА с техническими характеристиками, близкими к КА проекта «Фобос–Грунт», для запуска кото рого можно использовать достаточно легкий и дешевый ракетоноситель типа «Союз». Косми ческий аппарат оснащен ЭРД, электропитание

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

252	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

на который поступает от СБ. Конкретно предполагалось:

начальная масса КА на межпланетном участке полета М 2000 кг;

номинальная электрическая мощность

СБ на расстоянии 1	а. е. от	Солнца SЭ0
7,50 кВт;
гиперболический	избыток	скорости у

Земли V1З 1,75 кмϑс;

электрическая мощность СБ изменяется в соответствии с формулой (2.6.21) при fЭ (t, r(t))

1 , где r | r | в а. е.; [r(t)]2

коэффициент пропорциональности мощ ности тяги ЭРД электрической мощности СБ (2.6.20)) k 0,5.

Многочисленные расчеты Φ10, 13Γ показы вают, что полет КА с указанными технически ми характеристиками к астероиду Главного пояса не обеспечивает его возвращение на Зем лю из за малости полезной массы КА при под лете к астероиду. Для увеличения этой массы, учитывая что астероиды пояса находятся между орбитами Марса и Юпитера, предлагается ис пользовать гравитационный маневр у Марса. Методика оптимизации перелетов к МНТ с ис пользованием гравитационных маневров в сфе ре действия Марса с достаточной для практиче ского применения степенью подробности изло жена в работе Φ4Γ.

В табл. 2.6.6 представлены характеристи ки оптимальных перелетов КА от Земли к ас

2.6.6.Характеристики перелетов КА с идеальной МТ к астероидам в XXI веке

сгравитационным маневром у Марса

	Астероид	tЗ	tM	tA	ЗM ,	ЗA,	V1M ,	R	RA,	MA,
					град	град	кмϑс	млн	км	кг
	Parthenope	14.11.1996	06.12.1997	09.12.1999	264	521	2,882		374	1415
	Angelina	30.10.2011	29.07.2012	22.05.2015	196	544	3,748	231	395	1499
	Pomona	28.01.2016	20.08.2016	15.02.2019	165	452	5,167	212	356	1330
	Oenone	24.02.2016	24.01.2017	31.05.2019	236	495	2,949	214	404	1400
	Leocadia	08.12.2028	07.12.2029	20.01.2032	247	499	3,225	207	439	1523
	Irma	15.12.2028	03.01.2030	28.04.2032	257	490	3,136	207	511	1471
	Urania	18.12.2028	15.01.2030	17.11.2031	262	496	3,353	207	398	1504
	Ella	15.01.2029	28.02.2030	11.05.2032	260	533	4,635	211	338	1469
	Belisana	26.11.2030	06.09.2031	22.02.2034	229	514	3,607	212	356	1548
	Lutetia	02.02.2031	01.01.2032	17.05.2034	233	516	2,667	209	217	1534
	Lutetia	09.12.2060	28.11.2061	28.01.2064		499	2,398	207	382	1500
	Hertha	26.11.2075	28.11.2076	24.02.2079		508	2,522	208	380	1500
	Belisana	29.12.2077	12.12.2078	04.12.2080		527	2,887	207	352	1440
	Hertha	29.12.2079	30.10.2080	20.11.2082	255	470	2,381	207	385	1358
	Medusa	08.12.2092	01.12.2093	16.09.2095	258	502	1,778	207	346	1323
	Velleda	16.12.2092	03.12.2093	19.12.2095	251	504	2,643	207	383	1488
	Fortuna	05.02.2093	02.03.2094	25.05.2096	254	514	4,597	214	371	1541

tЗ, tM, tA — даты отлета КА от Земли, достижения КА минимального расстояния от Марса и сближения КА с астероидом соответственно;

ЗM, ЗA — угловые дальности относительно Солнца полета КА от Земли к Марсу и астероиду соответственно;

V1M — скорость КА относительно Марса при входе в сферу действия Марса; RM, RA — расстояния между КА и Солнцем в даты tM и tA соответственно; MA — масса КА при подлете к астероиду.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

	ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ПЛАНЕТАМ, АСТЕРОИДАМ, КОМЕТАМ							253
2.6.7. Характеристики первых возможных в XXI веке перелетов КА						к астероидам
с гравитационным маневром у Марса при постоянной скорости истечения струи
Астероид		VC , кмϑс	tЗ	tA		ЗA, град.		MA, кг
Angelina		16,5	Октябрь 2011 г.	Май 2015 г.		544		1333
Pomona		16,5	Январь 2016 г.	Февраль 2019 г.		452		1239

тероидам, представленным в табл. 2.6.3, по лет к которым представляет интерес с точки зрения доставки на Землю реликтового ве щества. Оптимальные траектории перелетов получены с учетом выполнения требований, что нет ограничений на направление и вели чину тяги ЭРД, полет КА реализуется с вы равниванием скоростей КА и МНТ в малой окрестности МНТ. В каждой строке табл. 2.6.6, наряду с названием астероида (цели полета КА), представлены значения расчетных величин.

Для сравнения в табл. 2.6.7 представлены характеристики оптимальных траекторий по лета КА к астероидам Angelina и Pomona, по иск которых выполнялся при ранее принятых ограничениях, но при условии, что скорость VC истечения реактивной струи работающего ЭРД имеет постоянное значение. Общие обо значения в табл. 2.6.6, 2.6.3 имеют один и тот же смысл.

Аналогичные расчеты параметров опти мальных траекторий полета к некоторым ко метам имеют место при условии выравнива ния скоростей КА и кометы при их сближе нии. В частности, в Φ13Γ представлены харак теристики оптимальных траекторий полетов к комете Копфа с использованием и без него пертурбационного маневра у Марса. Некото рые основные характеристики полета, на пример, затраты массы КА к комете Копфа в первом приближении можно распространить на близкие по параметрам орбиты кометы. К последним относятся кометы Кларка и Чурюмова–Герасименко, представляющие наряду с кометой Копфа большой научный интерес.

Поиск оптимальной траектории полета КА к МНТ в целях предотвращения опасного сближения последнего с Землей требует инди видуального подхода, что в первую очередь обусловлено принятым методом воздействия на МНТ. Принятому методу воздействия соот ветствуют, как правило, определенная точка встречи КА с МНТ, величина и направление скорости их сближения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Космонавтика Энциклопедия / под. ред. В.П. Глушко. М.: Советская энциклопедия, 1985.

2.Авдуевский В.С., Аким Э.Л., Кремнев Р.С.

идр. Космический проект «Фобос Грунт»: ос новные характеристики и стратегия развития //

Космонавтика и	ракетостроение. 2000.	Т. 19.
С. 8–21.
3. Аким Э.Л.,	Заславский Г.С.,	Мор

ской И.М. и др. Баллистика, навигация и управление полетом космического аппарата в проекте «Фобос–Грунт» // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 153–161.

4.Zaslavskiy G.S., Zharov V.G., Chernov A.V.

Optimal Transfer from Earth Satellite Orbit to Mars Satellite Orbit with Using Electric Propulsion System at Cruising Phase / The Proc. of the 17th Intern. Symp. on Space Flight Dynamics, Moscow, Russia, 16–20 June 2003, V. 1. P. 305–311.

5.Akim E.L., Zaslavsky G.S., Zharov V.G., Chernov A.V. Interplanetary Flight Control With Electric Engine in View of Thrust Errors / The Proc. of the 18th Intern. Symp. on Space Flight Dynamics,

Munich, Germany. 11–15 October 2004.

P.339–343.

6.Маров М.Я. Планеты Солнечной сис темы. М.: Наука, 1981.

7.Бэттин Р. Наведение в космосе. М., Машиностроение, 1966.

8.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гам крелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория оптимальных процессов. Изд. 2 е. М.: Наука. 1969.

9.Tada H.I., Carter J.R., Anspaugh B.E., Downing R.G. Solar Cell Radiation Handbook / JPL Publication 82–69. 1982. 9 p.

10. Ахметшин Р.З.,		Ефимов Г.Б.,	Иваш
кин В	Энеев Т.М. и	др. Траекторно балли
	анализ полетов к астероидам и коме
там	х аппаратов с двигателями ма
лой	// Интеллектуальные системы		авто

номных аппаратов для космоса и океана и ме тод технико биологических аналогий. М., 1997.

С.36–71.

11.Eneev T.M., Akhmetshin R.Z., Efimov G.B., Yegorov V.A. Asteroid and Comet Rendezvous Mis

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

254	Глава 2.6. ЛУННЫЕ И МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

sions Using Low thrust	Electric Propulsion /
Space Forum. 2000. V. 5	–305.
12. Eneev T.M.,	Akhmetshin R.Z., Efi

mov G.B., Zaslavsky G.S. Researches of Asteroids and Comets; Flights with Low Thrust: preprint Keldysh Inst. of Appl. Mathem. Russia Academy of Sciences. № 37. 2003.

13. Ахметшин Р.З., Ефимов Г.Б., Жир нов В.А., Энеев Т.М. О возможности достижения астероидов Главного пояса космическим аппара том с ЭРД: препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. № 77. 2004.

14.Ивашкин В.В. Качественный срав нительный анализ некоторых методов изме нения орбиты сближающегося с Землей ма лого небесного тела // Околоземная астро номия XXI века: сб. тр. конф. Звенигород, 21–25 мая 2001. РАН, Институт астрономии. 2001. С. 294– 304.

15.Akhmetshin R.Z., Eneev T.M. Main Belt Asteroid Missions with Low Thrust and Gravity As sist of Mars / The Proc. of the 17th International Symposium on Space Flight Dynamics, 16–20 June 2003, Moscow, Russia. V. 2. P. 307– 313.