Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

36	Глава 1.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЗЕМЛИ

Суточные колебания плотности связаны с расширением и сжатием атмосферы, вызван ными изменением интенсивности солнечного нагрева, а также солнечными и лунными при ливами в атмосфере. Колебания плотности в течение суток можно с хорошей точностью представить в виде суммы двух составляю щих — суточной и полусуточной.

Сезонно широтные и суточные вариа ции плотности определяют некоторое сред нее или ожидаемое состояние атмосферы. Помимо этих систематических составляю щих имеют место также случайные вариации плотности и других параметров атмосферы. Наличие случайных составляющих может быть обусловлено различными причинами, в том числе изменением солнечной активно сти, геомагнитными процессами и т.п. Наи большие случайные отклонения плотности от систематической составляющей на высо тах до 110 км наблюдаются зимой, а наи меньшие — летом.

Предельные величины случайных откло нений плотности зависят от высоты и широты. Высотное изменение предельных вариаций плотности близко к сезонно широтным вариа циям. От экватора к полюсам предельные ва риации плотности, как правило, возрастают.

Случайная составляющая вариаций плот ности моделирует разницу между возможным состоянием атмосферы в данный момент вре мени и систематической составляющей. Так как предельные вариации параметров соизме римы с систематическими, то для модели воз мущенной атмосферы важным является спо соб построения случайных вариаций.

В американской 4D модели глобальной возмущенной атмосферы, использованной при реализации программы Space Shuttle, случай ные вариации параметров атмосферы описы ваются с помощью марковских процессов. В аналогичной модели для программы «Энер гия–Буран» случайные вариации представле ны в виде канонических разложений парамет ров по координатным функциям.

В модели CMEDA (Computational Model of the Earth Disturbed Atmosphere), разработан ной в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, для описания слу чайных вариаций плотности используются специальные нормирующие функции со слу чайными значениями параметров, которые имитируют колебания плотности по высоте, широте и долготе (так называемые змейки).

Модель возмущенной атмосферы вклю чает также поле ветров. Обычно различают две компоненты скорости ветра: зональную (по параллели) и меридиональную. В свою оче редь, зональная компонента представляется в виде суммы трех составляющих: сезонно ши ротной, суточной и случайной. Меридиональ ная компонента ветра является случайной. В качестве сезонно широтной составляющей зонального ветра принимают поле ветров, за данное в справочной атмосфере CIRA. Модель суточной и случайной составляющей зональ ного ветра, а также меридионального ветра можно построить в геострофическом прибли жении, которое использует гипотезу о равен

стве	давления и силы	Кориолиса.
Формула	геострофического ветра	связывает
скорость	с широтой, высотой, плотно

стью и градиентом давления. Для зонального ветра берется градиент давления по широте, а для меридионального ветра — по долготе. В зоне экватора, где широта обращается в нуль, формула геострофического ветра вырож дается. Если при этом и градиент давления об ращается в нуль, то неопределенность вида 0/0 раскрывают известным способом. При по строении модели глобальной возмущенной ат мосферы должна учитываться близость атмо сферных процессов (со сдвигом на 6 месяцев), протекающих в Северном и Южном полуша риях Земли. Необходимо также обеспечить гладкость вариаций параметров атмосферы при пересечении экватора.

Существуют локальные модели возмущен ной атмосферы, обычно построенные для кос модромов и мест посадки спускаемых аппара тов. Такие модели предназначены для расчета возмущенных траекторий активного участка ракет или оценки точности траектории спуска.

Модель возмущенной атмосферы Земли позволяет повысить как точность определе ния номинальной траектории ЛА с использова нием сезонно широтных и суточных вариаций вместо стандартной атмосферы, так и оценку точности терминальных параметров путем ста тистического моделирования с использованием всех возмущений, включая случайные.

1.3.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Происхождение магнитного поля Земли связано с динамоэффектом (самовозбуждени ем и поддержанием в стационарном состоя нии магнитных полей вследствие движения проводящей жидкости или газовой плазмы),

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ	37

протекающими в ее жидком ядре [1]. Ядро имеет заметную проводимость, его температу ра достигает нескольких тысяч градусов. При наличии в ядре даже слабого магнитного поля его пересечение проводящим веществом при водит к возникновению электрического тока. Электрический ток, в свою очередь, приводит к усилению начального магнитного поля. Процесс усиления остановится, когда потери на джоулево тепло уравновесятся энергией, поступающей за счет гидродинамических дви жений.

Первая попытка аналитического пред ставления геомагнитного поля сделана И. Си моновым в 1835 г. Он, основываясь на резуль татах наблюдений, аппроксимировал его по лем однородно намагниченного шара, тожде ственного полю диполя, расположенного в центре Земли. Следует отметить, что, несмот ря на простоту такого представления, оно дос товерно описывает основную часть геомагнит ного поля и вполне применимо для решения широкого круга задач.

Следующим шагом явилась предложен ная К. Гауссом в 1838 г. теория, базирующаяся на предположении, что геомагнитное поле вы зывано внутренними источниками, имеющи ми потенциальный характер. Потенциал Um геомагнитного поля принято описывать сле дующим бесконечным рядом:

1		R n 1
Um Re &		e	)
n 1	% R (
n
(g mn cos m R hmn sin m R)P mn (cos R). (1.3.6)
m 0

Здесь Re 6 371,2 км — средний радиус Земли; R,R, R — сферические координаты точки про странства, в которой вычисляется потенциал, R — длина радиус вектора точки из центра Земли,R — географическая долгота точки, R — угол ме жду радиус вектором и осью вращения Земли); Pnm(cos R)— присоединенная функция Лежандра первого рода степени n и порядка m, которая оп ределяется по формуле

Pm(x)	(1 x 2)m/2		dn m	(x 2 1)n ,
n	2n n! dx n m

где g mn , hmn — постоянные коэффициенты, соот ветствующие внутренней части поля. Вектор H напряженности геомагнитного поля вычисля ется по формуле H 2Um.

Потенциал с течением времени меняется. Для вычисления потенциала геомагнитного по ля коэффициенты g mn , hmn ряда (1.3.6) табулиру ются каждые пять лет. Внутри пятилетнего ин тервала осуществляется их линейная экстрапо ляция. Вычисляются коэффициенты ряда (1.3.6) по обработанным статистическими методами многочисленным измерениям.

Для облегчения сопоставления результа тов различных исследований Международная ассоциация геомагнетизма и аэрономии приня ла Международное эталонное геомагнитное по ле IGRF (International Geomagnetic Reference Field) и утверждает таблицы коэффициентов разложе ния (1.3.6) и их производных по времени на ближайшие пять лет. Последняя утвержденная модель поля имеет обозначение IGRF 11. Дан ное поле построено усреднением полей по не скольким моделям. Значения коэффициентов g mn , hmn приведены в [2]. На текущие пять лет они могут быть получены на веб сайте [3]. Там же можно получить и программу для вычисле ния геомагнитного поля на ЭВМ геомагнитно го поля на любой момент времени.

Введенная Гауссом теория позволила ус ловно разделить геомагнитное поле на поля, обусловленные различными по расположению относительно поверхности Земли источника ми: внутреннее поле, вызываемое внутренни ми источниками, внешнее — лежащими на по верхности земного шара и вихревыми — лежа щими вне шара. Гаусс ограничился рассмотре нием только внутренних источников. Опреде ление потенциала внешних источников провел А. Шмидт в 1885 г. Их потенциал Um ext имеет вид

	1		R n
U	R	&		)
m ext	e &		)
	n 0%		Re (

( jm cos m	R	km sin m	R	)Pm(cos	R	), (1.3.7)
n		n		n

m 0

где коэффициенты jnm, knm определяются расчет ным путем.

При наличии внешних и внутренних ис точников индукция геомагнитного поля будет суммой соответствующих составляющих от внутренних и внешних источников, вычисляе мых по формулам (1.3.6) и (1.3.7) соответст венно.

Вихревое поле, участвующее в создании вихревого поля Земли, образуется из за нали чия вертикальных токов по отношению к по верхности Земли.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

38	Глава 1.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЗЕМЛИ

Следует отметить, что при условном де лении магнитного поля Земли на поля, вы званные внутренними (динамоэффект, маг нитные аномалии) и внешними источниками (заряженная плазма), их вклады уравниваются приблизительно на расстоянии в семь земных радиусов от поверхности Земли.

При исследовании влияния геомагнитно го поля на движение КА и при решении задач навигационных задач и задач по определению углового движения аппаратов на низких орби тах обычно учитывается только поле от внут ренних источников.

Отдельные члены ряда (1.3.6) допускают определенную физическую интерпретацию. Представим (1.3.6) в следующем виде:

1		R		n	1 n
Um Re &		e	)		c mn cos m( R mn )P mn (cos R).
	% R		(		m 0
n 1
								(1.3.8)
Здесь
	cnm [(gnm)2 (hmn )2]1/2; cn0 gn0 ;
	m		1			hm		(1.3.9)
						n
	n				arctg		;	m 3 0,
				m		g mn

где mn — фазовый угол относительно Гринвич ского меридиана, определяемого значением

R 0 в плоскости экватора; cnm — амплитуда гармоники порядка (n, m).

Фактический квадрант, в котором лежит угол mn , определяется знаками коэффициентов g mn , hmn , а косинус и синус угла mn пропорцио нальны этим коэффициентам.

Н.А. Умов расширил физическую интер претацию и показал, что каждая сферическая функция представляет собой потенциал муль типоля с осями, определяемыми порядком

.Отдельный магнитный момент соот каждому мультиполю. Использова

ние специальных математических процедур позволило определить направления осей муль типолей и величин магнитных моментов для функций второй и третьей степеней, исполь зующих коэффициенты g mn , hmn . Мультиполи для функций указанных степеней представле ны на рис. 1.3.2 [4]. Следует заметить, что функции порядка (4, 3) и (5, 4) соответствуют Южно Африканской магнитной аномалии, а (4, 3) и (6, 5) — Бразильской аномалии. Вели чины мультипольных моментов, пропорцио нальные коэффициентам cnm, и фазовый уголmn определены в (1.3.9). На рис. 1.3.2 штрихо выми стрелками намечены оси системы коор динат, связанной с плоскостью экватора (две оси лежат в этой плоскости, третья ось ей пер пендикулярна и совпадает с осью вращения Земли), а жирные стрелки обозначают магнит

Рис. 1.3.2. Мультиполи для функций второй и третьей степеней в разложении геомагнитного потенциала

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ	39

ные мультиполи. Ось, определяемая R 0, проходит через Гринвичский меридиан.

Отдельные слагаемые разложения (1.3.6) допускают наглядную физическую интерпрета цию. Оставим только член с коэффициентом g10 в разложении (1.3.6). Описываемое им поле — поле прямого диполя, помещенного в центре Земли и направленного антипараллельно ее оси вращения. Такое приближение геомагнитного поля носит название модель прямого диполя. Ее основное достоинство заключается в том, что уравнения движения КА с учетом его взаимо действия с геомагнитным полем суть уравнения с периодическими коэффициентами, что позво ляет использовать для их анализа хорошо разра ботанный аппарат теории дифференциальных уравнений с периодическими по времени пра выми частями. С другой стороны, эта модель позволяет учесть основные особенности в пове дении вектора напряженности H геомагнитного поля — изменение модуля и неравномерность вращения местного, т.е. в окрестности КА, век тора H при его движении по орбите. Периодиче ские движения являются хорошим приближени ем реальных движений и их целесообразно ис пользовать в качестве номинальных (рабочих) движений КА относительно центра масс.

Приведем явный вид вектора H в проек циях на оси орбитальной системы координат, где сохранены традиционные обозначения для элементов орбиты:

H1 H0 sini cosu;
H2	H0 cosi;	(1.3.10)
H3	2H0 sini cosu,

здесь H0 .m / (4 R3 ) — индукция геомагнит ного поля над экватором (Международная сис тема единиц), .m 8,06 1023 А м — магнитный момент диполя; i — наклонение плоскости ор биты; u — аргумент широты.

Согласно этой модели, вектор напряжен ности изменяется и по величине, и по направ лению, описывая в системе координат OXa1, OXa2, OXa3 , оси которой параллельны соответ ствующим осям абсолютной системы коорди нат OXa2, OXa3 , коническую поверхность, замыкающуюся за половину оборота КА по орбите Проекции вектора H на оси системы координат OXa1, OXa2, OXa3 , имеют вид

Ha1 3H0 sini cosi sin2 u;

Ha2 3H0 sini sinu cosu; (1.3.11) H3 H0 (1 3sin2 i sin2 u).

Движение вектора H удобно представить в системе координат OXa1 OXa2 OXa3 , получаю щейся из системы OXa1 OXa2 OXa3 поворотом вокруг прямой, проходящей через точку O и па раллельной линии узлов орбиты, т.е. линии, образованной пересечением плоскостей орбиты

и экватора Земли, на угол H			против часовой
стрелки. Угол H определяется соотношением
H arctg	3sin2i			.	(1.3.12)
	2(1 3sin2 i 1 3sin2 i

Вычисления показывают, что конус, опи сываемый вектором H, мало отличается от кругового конуса с углом при вершине 2 H . На экваториальной орбите конус, образован ный вектором H, вырождается в прямую ли нию, параллельную оси вращения Земли. На полярной орбите этот конус разворачивается в плоскость орбиты. Во всех остальных случаях рассматриваемый конус лежит вне кругового конуса, касаясь его при u n / 2, n 1,2,3,....

Максимальный угол между вектором H и бли жайшей к нему образующей кругового конуса достигается на орбите с наклонением i − 52,1

и приблизительно равен 118, [5].
Слагаемое с коэффициентом c1	представ
1

ляется диполем с моментом c11, лежащим в плос кости экватора и составляющим угол 11 с на

правлением на Гринвичский меридиан. Коэф фициенты в потенциале (1.3.8) для Междуна родного геомагнитного поля на 2000– 2005 гг.

дают значения	c1	5 466nT	и 1	108,4 . Все
слагаемые с n	1		1
	1 формируют потенциал диполя,

ось которого составляет угол 168,5 с осью вра щения Земли. Модель геомагнитного поля, представляемая этими тремя слагаемыми, но сит название модель наклонного диполя. Она учитывает влияние суточного вращения Земли. Наилучшее совпадение между полем наклонно го диполя и реальным магнитным полем Земли достигается при выборе Южного магнитного полюса приблизительно в точке с координатами 78 Северной широты и 69 Западной долготы (около г. Туле, Гренландия) и Северного маг нитного полюса в точке с координатами при близительно 78 Южной широты и 111 Восточ ной долготы (около полярной станции «Восток» в Антарктиде). Следующие слагаемые в (1.3.8) могут быть интерпретированы как потенциалы, создаваемые не одним, а несколькими диполя ми, например, квадруполи, тетрауполи.

Три первых слагаемых имеют наиболь шую величину по сравнению с остальными