Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

216	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

обзора. М.: Изд во	им. Н.Э. Баумана,
2000. 104 c.

6. Бырков Б.П., Разумный Ю.Н. Решение задачи сплошного многократного покрытия Земли полосой обзора ИСЗ // Исслед. Земли из космоса, 1992. № 1. С. 62–71.

2.5.4. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ЛОКАЛЬНОГО ОБЗОРА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТАХ

Основное практическое применение СС непрерывного локального обзора Земли — создание космических систем спутниковой связи, для чего оказывается целесообразным использовать высокие орбиты [1]. Наиболее распространенным современным способом обеспечения локального обзора является при менение предложенных в 1945 г. писате лем фантастом Артуром Кларком геостацио нарных орбит — круговых экваториальных ор бит с высотой около 36 тыс. км, обеспечиваю щих зависание спутника над экваториальной областью земной поверхности [2].

Данные орбиты характеризуются рядом отличительных положительных свойств, чрез вычайно привлекательных для обеспечения связью удаленных абонентов.

В настоящее время большое число кос мических систем связи построено на основе геостационарных спутников. При этом даль нейшее увеличение их числа из за взаимных помех в работе аппаратуры соседних спутни ков становится с каждым годом все тичнее. Наряду с этим есть и другие хниче ские ограничения по применению нарных орбит.

Одним из таких ограничений является затруднение (подчас невозможность) обеспе чения связью районов Земли, расположенных в удаленных от экватора верхних широтах, на пример, на территории России. В этом случае весьма эффективны предложенные во второй половине 1960 х гг. эллиптические орбиты ти па «Молния» (апогей около 40 000 км, перигей около 500 км [1]. При движении по данной орбите за счет высокого апогея спутник обес печивает связь с абонентами локального рай она в течение длительного периода времени (сеанс связи имеет продолжительность около 8…10 ч). Система из трех таких спутников по зволяет обеспечить круглосуточную связь с абонентами локального района. Для выведе ния спутников на эллиптические орбиты типа

«Молния» требуются меньшие энергетические затраты, чем на выведение геостационарных спутников.

По мере накопления опыта эксплуатации СС связи на геостационарных орбитах и орби тах типа «Молния», появилась потребность в общем подходе к баллистическому проектиро ванию СС непрерывного локального обзора, не ограничиваясь рассмотрением только орбит указанного типа. Такой подход был предложен в [3, 4], где был введен класс так называемых

локально4стационарных орбит (ЛСО), характе ризующихся тем, что при движении по ним спутника эмулируется «зависание» спутника над заданным локальным районом (районами) Земли.

Отличительной чертой ЛСО является ра венство нулю мгновенной скорости смещения относительно Земли подспутниковой точки спутника в апогее его орбиты, размещаемом над заданным районом наблюдения. Это по зволяет максимизировать длительность сеан сов наблюдения локального района при усло вии размещения апогея орбиты спутника над обслуживаемым районом. ЛСО реализуются на прямых орбитах (i + 90 ). При этом наи большую практическую значимость имеет на клонение 63,4 , когда отсутствует прецессия линии апсид. В этом случае затраты характе ристической скорости на борту спутника на поддержание положения апогея минимальны.

Класс ЛСО включает геостационарную орбиту — единственную круговую орбиту в классе ЛСО, обеспечивающую фактическое зависание спутника над локальным районом, а также бесконечное множество эллиптических орбит, обладающих свойством мгновенного «зависания» спутника по отношению к ло кальному району наблюдения в точке апогея, и в частном случае — эллиптическую орбиту типа «Молния».

Получим аналитические соотношения для расчета ЛСО. Для заданных значений ра диуса апогея rA и наклонения i радиус rП пери гея ЛСО определяется исходя из равенства ор битальной скорости VA спутника в апогее и скорости точки, которая является концом гео центрического радиус вектора длиной rA , рас положенного под углом i + 90 к плоскости эк ватора и жестко связанного с вращающейся Землей:

VA ;зrA cosi,

(2.5.56)

где ;з — угловая скорость вращения Земли.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС НЕПРЕРЫВНОГО ЛОКАЛЬНОГО ОБЗОРА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТАХ 217

Рис. 2.5.17. К определению локально стационарных орбит:

1 — Vкр(Нкр); 2 — VА(HА /Нп 500 км); 3 — VА(HА /Нп 5000 км); 4 — VА(HА /Нп 15 000 км); 5 — Vi (H/i 0 ); 6 — Vi (H/i 63,4 ); 7 — геостационарная орбита, H 35 875 км; l 0; i 0; m/n 1/1; 8 —

орбита ИСЗ «Молния», HА 39 822 км; HП 528 км; l 0,740; i 63,4 ; m/n 2/1; N 3; 9 — орбита ИСЗ «Супертундра», HА 53 620 км; HП 17 950 км; l 0,0423; i 63,4 ; m/n 1/1; N 3

С другой стороны известно [5], что ско рость VA спутника в апогее равна

	VA		2.rП	.	(2.5.57)
			rA (rA rП )

где . — гравитационная постоянная Земли, .398 602 км3/c2.

Приравнивая правые части (2.5.56) и (2.5.57) и решая относительно rП, получим вы ражение для радиуса перигея ЛСО в виде

	w2r 4 cos2 i
rП	з	A	.	(2.5.58)
	2. w2r 3 cos2 i
		з A

Отсюда большая полуось а и эксцентри ситет е ЛСО определяются по формулам:

a		rA rП				rA	;
2					2	dr 3	(2.5.59)
		rA rП				A
e				1		dr 3 ,
		rA rП				A

где d (;2з cos2 i) / ..

ЛСО могут быть проиллюстрированы с использованием следующих графических зави симостей, представленных на рис. 2.5.17:

– зависимости скорости Vкр спутника на круговой орбите высоты Hкр этой орбиты:

	Vкр(Hкр)	.	;
		Hкр Rз

– зависимости скорости VA спутника в апогее эллиптической орбиты от высоты HA апогея при фиксированных значениях высоты перигея HП 500; 5 000; 15 000 км:

	VA (HA / HП)	2.(HП RЗ)	:
		(HА RЗ)(HА HП RЗ)

– зависимости скорости Vi точки, являю щейся концом вращающегося вместе с Землей геоцентрического радиус вектора, от высоты Н этой точки над поверхностью Земли при фиксированном угле наклона указанного ра

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

218	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

диус вектора к плоскости экватора, соответст вующего различным значениям наклонения i0; 63,4 орбиты спутника:

Vi (H / i) ;З(H RЗ)cosi,

где RЗ — средний радиус Земли (RЗ 6 371 км). Используя указанные графики, можно

найти, например, высоту перигея ЛСО по за данным значениям высоты апогея HA и накло нения i следующим образом. Значения HA и i однозначно определяют точку пересечения прямой H HA с графиком функции Vi (H / i). Проводя через данную точку зависимость вида

VA (HA / HП )	пересечения ее с графиком
Vкр(Hкр), можно получить искомую высоту пе
ригея ЛСО	абсциссу последней точки пе

ресечения. Приведенное описание построения (нахождения ЛСО) можно проверить, ориен тируясь на показанные на рис. 2.5.17 кривые (для приведенных наклонений и высот).

В связи с необходимостью синхронизации прохождения спутниками обслуживаемого ло кального района, практический интерес пред ставляют ЛСО, являющиеся одновременно гео синхронными, т.е. удовлетворяющие условию геосинхронности (2.5.35). Один спутник на та кой орбите обеспечивает за период повторяе мости его трассы (за n эффективных суток или т витков спутника) проведение т сеансов свя зи с абонентами локального района. Размещая равномерно вдоль трассы одиночного спутника необходимое число дополнительных спутников (с учетом требуемого уровня перекрытия зон обзора спутников) можно обеспечить непрерывность обеспечения связью абонентов заданного локального района с помощью такой одномаршрутной СС.

В общем случае для решения различных практических задач одновременно могут ис пользоваться несколько таких одномаршрут ных систем, составляющих многомаршрутную СС. Поскольку за счет выбора ЛСО обеспечи вается максимум длительности сеансов связи со спутниками, то при формировании фазовой структуры СС указанным выше образом обес печивается минимум суммарного потребного числа спутников в системе.

Геостационарные и эллиптические орби ты СС «Молния», будучи частными случаями ЛСО, представляют собой одновременно и гео синхронные орбиты с параметрами т п 1 и т 2, п 1 соответственно. На локально ста ционарных геосинхронных орбитах (или близ ких к ним) построены многие другие СС связи,

например «Супертундра» [6]. На рис. 2.5.17 по казано положение геостационарных орбит и орбит указанных СС в общей схеме получения ЛСО и приведены их основные характеристики (высоты апогея HA и перигея HП, эксцентриси тет е, наклонение i, кратность геосинхронных орбит т /п, число N спутников в системе).

Целесообразность использования тех или иных локально стационарных геосинхронных орбит определяется с учетом требований, предъявляемых к СС на этапе ее баллистиче ского проектирования. При этом параметры локально стационарных геосинхронных орбит могут быть определены следующим образом.

Известно, что выражения для расчета драконического периода обращения спутника, эффективного периода Тэф вращения Земли и углового смещения восходящего узла орби ты спутника за один виток имеют вид [5]:

							Tдр 2		a3
								.
!	1					5	2			2
1				3			sin i ecos	;(1 5sin i)				;	(2.5.60)
	2
#	a		.			2

	2	m			2
Tэф		n		;				cosi,
	;З
					a2(1 e2) .

где — постоянная, учитывающая сжатие Зем ли ( 2,634 1010 км5/с2); ; — аргумент широты

перигея, выбираемый из условия размещения апогея орбиты над обслуживаемым районом.

Подставляя (2.5.59) и (2.5.60) в (2.5.35) с учетом того, что ЛСО практически реализуют ся при ; /90 , после преобразований можно получить:

;					r	3	/2						5					2	dr 3	2
															2
					A												&		A	)
		&				)				& 3						i )
					dr 3			1						sin
. &				2		)				. %			2			(	&		r	)
%					A	(											%		A	(

	cosi		n	.	(2.5.61)
	.d2r 7
			m
	A

При заданных наклонении i, числе т вит ков спутника и числе п суток в периоде повто ряемости трассы спутника равенство (2.5.61) представляет собой уравнение относительно неизвестной величины радиуса rA (высоты НА) апогея ЛСО. Оно может быть решено числен ными методами.

С помощью полученной величины rA из выражений (2.5.59) могут быть найдены зна чения большой полуоси и эксцентриситета,

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

УПРАВЛЕНИЕ СС	219

однозначно характеризующие геометрию ло кально стационарной геосинхронной орбиты спутника. При этом предпочтительные значе ния кратности т /п орбит и соответствующие значения радиуса rA апогея могут быть опре делены с учетом характеристик бортовой ап паратуры спутника (спутников) и имеющихся требований к обслуживанию заданных рай онов [7].

Эффективным методом оптимизации ор битальных структур СС на эллиптических ор битах является метод временных диаграмм ви димости [8]. При этом в случае обслуживания больших географических областей на орбитах типа «Молния» может быть применен подход, изложенный в [9].

В связи с увеличением количества дейст вующих спутников связи и отмеченной ранее «насыщенностью» геостационарной орбиты с каждым годом актуальность практического ис пользования ЛСО повышается. Об этом свиде тельствует постоянный интерес к таким орби там в публикациях различных авторов, напри мер в [10–13].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Чернявский Г.М., Бартенев В.А. Орби ты спутников связи. М.: Связь, 1978. 240 с.

2.Clarke А.С. Extra terrestrial relays // Wireless World Journal. Oct. 1945.

3.Разумный Ю.Н. Способ формирования системы локального обзора поверхности пла

неты	РФ № 2059540 с приоритетом от

08.10БИ № 13 от 10.05.96.

Разумный Ю.Н. Локально стационар ные орбиты искусственных спутников Земли // Проблемы ракетной и космической техники: тр. XXV чтений К.Э. Циолковского. М.: ИИЕТ АН СССР, 1991. С. 56–61.

5.Эльясберг П.Е. Введение в теорию по лета искусственных спутников Земли. М.: Нау ка, 1965. 540 с.

6.Capderou M. Satelites. Orbits and missions. Springer Verlag France, 2005. 544 р.

7.Разумный Ю.Н., Школьников Д.О. Ме тодика баллистического проектирования спут никовых систем связи на основе использова ния локально стационарных орбит // Вестник МГТУ. 2008. Спец. выпуск 1. Сер. Машино строение. С. 61–69.

8. Бырков Б.П.,

Силов В.В.,

Ники

тин И.Н. Использование временных диаграмм видимости для выбора одномаршрутных сис тем ИСЗ на эллиптических орбитах // Механи

ка космического полета: тр. XVIII чтений К.Э. Циолковского. М.: ИИЕТ АН СССР,

1983. С. 38–45.

9.Улыбышев Ю.П. Проектирование спут никовых систем непрерывного обзора на эллип тических орбитах типа «Молния» // Космиче ские исследования. 2009. Т. 47, № 4. С. 343–354.

10.Канитор Л.Я., Хейфец В.Н. Оптималь ный выбор системы спутникового вещания на базе высокоэллиптических орбит // Космиче ские исследования. 2002. Т. 40, № 6. С. 633–640.

11.Castel D., Draim D., Manning R. Elliptical

Satellite System	Emulates the Characteristics
of Geosynchronous	. US Patent No. 595.
Sept. 28, 1999.

12.Draim J. Cefola P.J., Ernandes K.J.

Seamless Handovers in Cobra Teardrop Satellite Ar rays // Proc. of the 57th Intern. Astronautical Con gress, October 2–6, 2006, Valencia, Spain. IAC 06 B3.2.02. 15 p.

13.Draim J.E., Cefola P.J., Lansard E. Orbilal Constellations for Multimedia Satellite Communi cations Systems Sewing Europe // Proc. of the 58th Intern. Astronautical Congress, September 24–28, 2007, Hyderabad, India. IAC 07 B2.6.02. 14 p.

2.5.5.УПРАВЛЕНИЕ СПУТНИКОВЫМИ СИСТЕМАМИ НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ

Управление СС заключается в поддержа нии на длительных интервалах времени (от не скольких месяцев до нескольких лет) орбит и взаимных положений спутников близкими к номинальным, которые были определены при баллистическом проектировании СС.

Практическое решение задачи управле ния CC включает два этапа:

1.Анализ ее устойчивости при возмущен ном движении.

2.Построение на основе такого анализа математической модели задачи управления и выбор методов ее решения.

Единообразный подход к анализу устой чивости для различных типов СС выработать весьма затруднительно. Устойчивость может рассматриваться не только в плане эволюции орбитальных характеристик в возмущенном движении, но и в анализе изменения произ водных характеристик от орбитальных пара метров. Например, характеристик условий связи или геометрических характеристик по лей обзора и т.д. Эволюция орбитальных ха рактеристик в значительной степени зависит от номинальных параметров системы и воз

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

220	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

мущений при коррекции движения СС. По этому превалирующими факторами, влияю щими на устойчивость, могут быть атмосфер ные возмущения (для низкоорбитальных сис тем), сжатие Земли, резонансные гармоники разложения потенциала гравитационного по ля Земли, лунно солнечные возмущения, ошибки исполнения корректирующих им пульсов и/или комбинации указанных факто ров. Методы анализа устойчивости СС при ведены в [1–3].

Для управления СС в части долговремен ного поддержания их структуры используются две группы методов:

–изолированное управление отдельными спутниками относительно некоторого номи нального движения;

–совместное управление всеми спутни ками системы [4–6].

При изолированном управлении СС из N спутников задача распадается на N однотип ных независимых подзадач по управлению от дельными спутниками. Требования к этим подзадачам формулируются исходя из требова ний к структуре СС в целом. В качестве управ ляемых переменных выступают параметры ор битального движения отдельных спутников. Для решения используются традиционные ме тоды по управлению и поддержанию орбит (см. п. 2.4 и [1–3, 7]).

При совместном управлении в число управляемых переменных помимо собственно

параметров орбитального	отдель
ных спутников необходимо	пара

метры, характеризующие взаимные положе ния спутников относительно друг друга та ким образом, что при их сохранении выпол няются целевые требования по системе. Ука занные две стратегии не ограничивают мно гообразие способов управления СС. Можно построить и промежуточные стратегии управ ления.

Для решения задач совместного управле ния СС применяют различные математические методы:

–параметрическую оптимизацию [2];

–линейное программирование [8];

–линейно квадратичные регуляторы [5, 6];

–многоуровневую оптимизацию [9] и т.п.

При проектировании структур СС на кру,

говых орбитах используются невозмущенные модели движения КА. При наличии возмуще ний, вызванных нецентральностью гравитаци онного поля Земли, влиянием атмосферы,

лунно солнечными возмущениями и т.д., но минальные характеристики СС могут претер певать значительные изменения.

Однако в отличие от орбитальной эволю ции одиночного КА в СС часть возмущений действует одинаковым образом на все КА сис темы и влияют на сохранение орбитальной структуры системы в целом. Например, все зональные гармоники модели гравитационно го поля (включая главный возмущаю щий член — сжатие Земли) вызывают одина ковые возмущения орбитальных элементов в однородной СС. Влияние тессеральных гармо ник зависит от географического прохождения трасс КА относительно Земли, а влияние лун но солнечных возмущений — от положения плоскостей орбит КА в инерциальном про странстве.

Для низкоорбитальной СС на круговых орбитах с одинаковыми наклонениями и вы сотами применяют управление взаимными положениями спутников вдоль орбиты и их орбитальными периодами [6]. В основе ме тода лежит управление вековыми возмуще ниями первого порядка, основанное на де композиции задачи, заключающейся в выде лении наиболее чувствительных параметров, описывающих взаимные положения спутни ков на основе уравнений относительного движения в окрестности круговой орбиты (см. п. 2.2.3). Приближенное решение этих уравнений, учитывающее только вековые возмущения (периодическими членами не учитываются), имеет вид

	n*	R;2 T *	,	(2.5.62)
		2

где n* — скорость изменения отклонения вдоль орбиты; R — радиус опорной круговой орбиты; ; — угловая скорость орбитального движения;Т — отклонение орбитального периода Т от номинального значения. Потребное значение корректирующего импульса для ликвидации отклонения периода определеяется из следую щего выражения:

V * n*/ 3.

(2.5.63)

Для сохранения конфигурации СС на длительных интервалах времени (существен но превышающих орбитальный период) не обходимо управление, обеспечивающее ком пенсацию отклонений взаимных положений спутников вдоль орбиты и стабилизацию пе

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

УПРАВЛЕНИЕ СС	221

риодов орбит относительно номинального значения. При этом могут обеспечиваться точности выдерживания конфигурации СС, не превышающие максимальных отклонений от периодических составляющих. Такое управление реализуется периодической кор рекцией орбит спутников трансверсальными импульсами.

При периодичности коррекций, превы шающей витков, можно постро ить двухуровневое управление СС. Задача верхнего уровня — управление вековыми возмущениями первого порядка, нижнего уровня — периодическими и вековыми воз мущениями высших порядков. Последнее эквивалентно управлению формой орбиты и геометрией ее положения. Описываемая де композиция позволяет для вековых возму щений свести задачу управления размерно сти 6 N к размерности (2N 1), где N — число спутников в системе.

Принимается, что коррекция СС осуще ствляется с постоянным периодом t Т и

используются переменные в безразмерном ви де, n n*/(R t), T T*/T T*/2 , и V

3 V*/(R ). Линейная дискретная система, характеризующая динамику одиночного спут

ника, имеет вид:
!	ni(k 1) 1		1!	ni(k)	0
					Vi(k); i 1, N,
#	Ti(k 1)	0	1 #	Ti(k) 1
					(2.5.64)

где n — отклонение вдоль орбиты от некоторо го опорного положения; i — номер спутника; k — номер шага коррекции.

Реальные орбиты СС близки к круговым и, соответственно, имеют малые эксцентриси теты, которые приводят к периодическим сме щениям положений спутников вдоль орбиты.

Формально описываемая постановка не обеспечивает управления эксцентриситетами орбит. Однако при большой периодичности коррекции вековых возмущений первого по рядка фактические места приложения коррек тирующих импульсов можно смещать относи тельно некоторого среднего значения, по крайней мере, в пределах одного двух витков в целях одновременной коррекции эксцентри ситета орбиты.

Предписанные относительные положе ния спутников в системе можно представить в виде ориентированного графа (рис. 2.5.18).

Спутники в этом графе являются верши нами. Ребро от одного до другого спутника представляет дугу, описывающую взаимное уг ловое положение смежных спутников, по от клонениям которой от номинальной необхо димо осуществлять управление. Один из спут ников назначается головным и становится корнем этого ориентированного графа, кото рый должен быть слабосвязным и использо вать только простые пути, например, не дол жен содержать циклов.

Такой граф представляет собой дерево, каждое дерево с N вершинами имеет в точ

Рис. 2.5.18. Представление спутниковой системы в виде графа:

а — спутниковая система; б — ориентированный граф; 1 — управляемые дуги между спутниками; 2 — орбитальные плоскости; 3 — фазы между плоскостями; — спутник; i — номер спутника

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

222	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

Рис. 2.5.19. Виды ориентированных графов:

а— дерево с одной вершиной; б — цепной граф; в, г — для системы с р орбитальными плоскостями

иS спутниками

ности N 1 ребер, т.е. управляемых дуг, представляющих предписанные смещения спутников вдоль орбиты, что для двух смеж ных в графе спутников из различных орби тальных плоскостей является требуемым фазовым сдвигом между спутниками этих плоскостей. Смещения спутников относи

тельно друг друга равны n j ni ni 1 и определяются по отношению к этим пред

писанным смещениям (j — номер ребра в графе, j 1, …, N 1).

Существуют различные варианты построе ния таких графов. Два предельных варианта — де4 рево с одной вершиной (ДОВ) и одинаковой длиной

всех путей, равной	(рис. 2.5.19, а) и цепной граф
(ЦГ) (рис. 2.5	имеющий максимальную
длину, равную	1. Другие варианты могут
отражать	СС. Для системы с Р ор

битальными плоскостями и S спутниками в каждой можно использовать, например, гра фы, показанные на рис. 2.5.19, в–г.

Каждому графу может быть сопоставлена матрица инцидентности размером N (N 1), чьи строки и колонки соответствуют верши нам и ребрам. Элементы матрицы инцидент ности имеют значения 1, 0 или 1. Нулевое значение соответствует вершине, не инци дентной ребру, 1 для ребра, ориентирован ного из вершины, и 1 для ребра, направлен ного в вершину. Транспонированные матри цы инцидентности для ДОВ и ЦГ имеют сле дующий вид (для наглядности нули не пока заны):

	1 1
		1	1
			1 1
Aт				; (2.5.65)
	. .		. . .	.
			1 1
			1
				1

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

УПРАВЛЕНИЕ СС	223

		1 1
		1		1
					1
Aт		1							.		(2.5.66)
		. . . .					.		.
		1					1
		1							1
Вектор		фазовых			переменных: xт ( nт,
T т ) ( n	, n , …, n				N 1	, T		, T , …, T				N	),
1		2					1		2
где nj ni ni 1. Имеется линейное соот
ношение между nт			( n			, n , …, n				N	) и век
					1		2
тором относительных смещений:
		n Aт n									(2.5.67)
Переходная матрица имеет вид
			I	N	1		Aт				(2.5.68)
		A						,
		O( N 1) N					IN

где IN 1 и IN — единичные матрицы размерно

сти (N 1) (N 1) и N N; O(N41) N — нулевая матрица размерности (N 1) N.

Линейное дискретное матричное уравне ние, описывающее динамику СС, имеет вид

x(k 1) Ax(k) Bт vт (k),							(2.5.69)
где Bт [0	1) N	I	N	] — матрица размерности
(N
(2N 1) N; vт ( V , V , …, V ) — вектор
				1	2	N
управления размерности N.
Система	(2.5.69)				является		полностью

управляемой, так как ранг матрицы управляе мости равен 2N 1. Это означает, что при лю бом начальном возмущении СС она может быть приведена в нулевое состояние за конеч ное число шагов коррекции.

Целью совместного линейно,квадратиче, ского управления СС является удержание фазо вых переменных в определенных пределах при приемлемом минимальном уровне расхода то плива на спутниках с учетом его остатка на ка ждом из них. Критериальная функция может быть определена в виде

		1	k kf
	J		[x т (k 1)Gx x(k 1) vт (k)GV v(k)],
	2		k 0
			(2.5.70)

где Gx — неотрицательно, GV — положительно определенные весовые квадратные матрицы с размерностями соответственно 2N 1 и N; k — номер шага коррекции; kf — некоторое конеч ное значение k.

Задача сохранения структуры СС в боль шей мере представляет собой задачу регулиро вания, а не терминального управления. При сохранении структуры СС нет необходимости сводить все отклонения к нулевой терминаль ной ошибке, поскольку при наличии после дующих возмущений, погрешностей исполне ния маневров через некоторое время они все равно возрастут. Кроме того, точное терми нальное управление, вообще говоря, может потребовать неограниченных управляющих воздействий [10].

Особое преимущество использования ли нейно квадратичного управления заключается в возможности перераспределения в некото рых пределах топлива между различ ными спутниками СС за счет соответствующе го выбора весовых коэффициентов в матрицах GV и Gx. Это обстоятельство имеет практиче скую значимость, поскольку реальные сроки развертывания СС составляют от нескольких месяцев до нескольких лет. Часть спутников может заменяться в процессе эксплуатации и фактические запасы топлива таким образом на спутниках могут существенно различаться. Использование весовых коэффициентов по зволяет их упорядочить, т.е. в значительной степени осуществить управление СС за счет спутников с б льшими запасами топлива.

Оптимальный закон управления систе мой (2.5.69) имеет вид [10]:

v(k) F(k)x(k), (k 0, 1, 2, …, kf),

(2.5.71)

где F(k) — матрица коэффициентов усиления размером (2N 1) N:

F(k) [G	BтP(k 1)B] 1B	1)A. (2.5.72)
V

Последовательность матриц P(k) удовле творяет дискретному матричному уравнению Риккати [10]

P(k) AтP(k 1)A AтP(k 1)B[G
V
BтP(k 1)B] 1BтP(k 1)A Gx	(2.5.73)

при конечном условии P(kf) 0, которое может решаться традиционными для дискретных мат ричных уравнений Риккати методами [10].

При большом числе спутников в СС оно имеет высокую размерность — для устано вившегося решения это эквивалентно реше нию системы нелинейных уравнений порядка N(N 1)/2 и требует обращения матрицы раз мерностью N [10].

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

224	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

Линейный закон управления (2.5.71) обес печивает устойчивость замкнутой системы с переходной матрицей при любом числе спутни ков. Однако запас устойчивости и соответст венно скорость парирования возмущений будет зависеть не только от числа спутников в систе ме N, но и от способа построения системы фа зовы переменных. Наименьший запас устой

уменьшающийся с ростом числа N, имеют системы с построением сис

темы независимых переменных в виде ЦГ.

В низкоорбитальной СС, испытывающей атмосферное торможение, необходимо выпол нение маневров поддержания высоты орбиты. При использовании линейно квадратичного управления СС одновременно решаются зада чи поддержания высоты и сохранения относи тельных положений спутников. Причем управ ление относительными положениями спутни ков реализуется малыми вариациями маневров поддержания их высот. Различие суммарных расходов характеристической скорости между спутниками в системе мал . Дополнительный расход составляет ~2…7 % от расходов на под держание высоты орбиты одиночного спутни ка вследствие торможения атмосферой [6].

Совместное управление СС используется в проектах, связанных с координированным поле том группировок спутников в ближнем и даль нем космосе (в западной научной литературе здесь используется авиационный термин «formation flying» — полет с сохранением формы) [11, 12]. Такие группировки могут использоваться в различных научных и прикладных целях. На пример, в радиоинтерферометрии с большой ба зой, когда разнесенные спутники образуют мер ную базу с характерными размерами, значитель но превышающими размеры самих спутников.

Другим примером выступают системы дис танционного зондирования Земли. Для управле ния такими группировками была разработана концепция «следующих за лидером» спутников (по английски «leader following») [6, 11, 12].

Следующая разновидность совместного управления группировками КА — обеспечение совместного безопасного полета двух и более геостационарных КА в окрестности одной ра бочей точки геостационарной орбиты. Необхо димость вызвана одной из следующих проблем:

размещение большого числа спутников на геостационарной орбите при ограниченном числе орбитальных позиций;

размещением КА одной группировки в ви де некоторого виртуального объекта таким обра

зом, что все эти КА движутся внутри диаграммы направленности наземных антенных систем.

В основе решения этих проблем лежат од новременно вопросы управления положением всех КА в орбитальной позиции геостационар ной орбиты по долготе и широте (см. п. 2.4.1) с одновременным обеспечением безопасного от носительного движения между ними. С учетом реальных ошибок определения орбит КА мини мальное относительное расстояние между ними должно быть не менее 45…10 км.

Такое управление реализуется разнесением векторов эксцентриситетов и наклонений (п. 2.2.5) или использованием гало орбит [7]. Наи более простой способ для двух КА — размеще ние линии узлов, совпадающей с линией апсид. (рис. 2.5.20). Тогда, каким бы ни было положе ние КА на своих орбитах, относительное рас стояние между ними всегда будет не менее не которого предельного значения, определяемого разностью эксцентриситетов и наклонений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баринов К.Н.,

Бурдаев М.Н.,

Ма

мон П.А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 232 с.

2.Назаренко А.И., Скребушевский Б.С. Эво люция и устойчивость спутниковых систем. М.: Машиностроение, 1981. 284 с.

3.Скребушевский Б.С. Формирование ор бит космических аппаратов, М.: Машинострое ние, 1990. 256 с.

4.Можаев Г.В. Об использовании симмет рии в линейных задачах оптимального управле ния. Ч. I, II // Автоматика и телемеханика. 1975.

№6. С. 22–30; № 7. С. 22–31.

5.Можаев Г.В. Решение некоторых задач оптимизации процессов гибкой коррекции дви жения спутниковых систем. Ч. I, II // Космиче ские исследования. 2001. Т. 39, № 5. С. 518–530;

№6. С. 634–647.

6.Ulybyshev Yu. Long Term Formation Keep ing of Satellite Constellation Using Linear Quadratic Controller // Journal of Guidance, Control and Dy namics. 1998. V. 21, №. 1. P. 109–115.

7.Chao C. C.G. Applied Orbit Perturbation and Maintenance, AIAA, Inc., Reston, Virginia, 2005, 264 p.

8.Lasserre E., Dufour F., Bernussou J. A

Linear	Programming	to the Homoge
neous	Satellite	Station Keeping //

48th Intern. Astronautical Congress, Turin, Italy, 1997. 7 p.