Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

202	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

the AAS/AIAA Astrodynamics Conf. AAS 03 178, 2003. 16 p.

19.Lang T.J. Streets of Coverage Constella tions to Minimize Revisit Time in Low Earth Orbit // Proc. of the AAS/AIAA Astrodynamics Conf. AAS 05 154, 2005. 15 p.

20.Kim H., Jung O., Bang H. A Computa tional Approach to Reduce the Revisit Time Using a Genetic Algorithm // Proc. of the Intern. Conf. on Control, Automation and Systems, Oct. 17–20, 2007 in COEX, Seoul, Korea. 2007. P. 184–189.

21.Lang T.J. A Parametric Examination of Satellite Constellations to Minimize Revisit Time for Low Earth Orbits Using a Genetic Algorithm // Proc. of the AAS/AIAA Astrodynamics Conf. AAS 01 345, 2001. 17 p.

2.5.3.2. Регулярные спутниковые системы

Первый шаг на пути создания современ ной теории периодического обзора — обоснова ние широкого (бесконечного) класса СС класса регулярных СС (РСС), включающего орбитальные структуры с высокими характеристиками [1]. Для оптимизации РСС потребовалось разрабо тать специальные методы, базирующиеся на особенностях функции периодичности обзора земной поверхности с помощью таких СС [2, 3]. Рассмотрим, как определяются РСС и на чем основаны методы их оптимизации.

N спутниковая РСС формируется из оди ночного спутника (как базового элемента) путем его последовательного (N 1) кратного повто одновременным сдвигом трассы спут долготе на величину Lтр k, k 1, 2, …

…и временным сдвигом t k, k l, 2, …

…, N l положения спутника на трассе

Рис. 2.5.11. К определению регулярной СС (на примере системы из четырех спутников)

(рис. 2.5.11). Величины Lтр и t, используемые в данном определении, называются долготным и временн м смещениями (сдвигами) соответст венно спутников регулярной системы.

РСС удовлетворяют необходимому усло вию локальной оптимальности в задаче перио дического обзора в том же смысле, что и кине матически правильные СС — в задаче непре рывного обзора (см. разд. 2.5.2.2): никакое ма лое изменение параметров орбиты одного спут ника не может улучшить орбитальную структу ру в целом периодического обзора — уменьшить обеспечиваемую периодичность об зора) [2]. Данное условие необходимой опти мальности оказывается полезным при обосно вании указанного класса РСС в целом, но не позволяет сделать выбор в пользу каких либо отдельных вариантов РСС. Класс РСС чрезвы чайно велик. Он включает бесконечное число вариантов СС, далеко не все из которых явля ются эффективными с точки зрения их приме нения для периодического обзора районов Зем ли. Под определение регулярных СС, напри мер, подпадает заведомо неоптимальная, выро жденная СС, у которой все спутники сосредо точены в одной точке пространства.

Оптимизация в классе РСС основывается на выявлении ряда отличительных свойств пе риодичности обзора как функции параметров орбитальной структуры РСС, задаваемых дол готами трасс отдельных спутников и вре менн ми смещениями tj, j 2, 3, …, N (t1 0) спутников на своих трассах. Данные свойства непосредственно используются для решения различных частных задач оптимизации — ис ключение эквивалентных орбитальных струк тур, оптимизация размещения трасс спутников системы, оптимизация размещения спутников на трассах и т.д.

Остановимся подробнее на процедуре оп ределения экстремумов функции периодично сти в зависимости от временн х смещений tj, j 2, 3, …, N спутников на трассах, представ ляющей наибольшую трудность в задаче опти мизации РСС в целом. Последнее связано с тем, что величины tj, j 2, 3, …, N определены на п4суточном временн м интервале [0, Ттр] повторяемости трассы при отсутствии ограни чений на величину п.

Поскольку спутники регулярной систе мы сдвинуты вдоль своих трасс на постоян ную относительную величину t, то задача определения положений tj, j 2, 3, …, N (t10) спутников на трассах фактически сводит

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗОНАЛЬНОГО ОБЗОРА НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ	203

ся к выбору значения t, доставляющего ми нимум функции периодичности 9( t), t Ε[0,Tтр] обзора заданного района R от вре менного сдвига t спутников. Свойство функции 9( t), позволяющее разработать про цедуру определения оптимальной структуры РСС, формулируется следующим образом: для фиксированного долготного сдвига Lтр трасс регулярной системы из N спутников функция 9( t) периодичности 9 обзора задан

ного района R от	го сдвига t спут
ников на трасса удовлетворяет		условию
Липшица на интервале	Ε[0,Tтр] с константой
Липшица, равной величине N 1.
Используя данное	свойство,	минимум

функции 9( t) может быть найден с использо ванием известных математических методов оптимизации липшицевых функций. Наилуч шая орбитальная структура РСС при фикси рованном долготном сдвиге Lтр однозначно определяется значением временн го сдвигаt, при котором достигается минимум функ ции 9( t). Оптимальная орбитальная структу ра РСС в целом рассчитывается путем повто рения указанной процедуры для различных значений долготного сдвига Lтр в диапазоне [0,2 /m] изменения данного параметра и вы бора наилучшей из получающихся орбиталь ных структур.

Анализ возможностей регулярных СС по сравнению с ГСС (см. п. 2.5.3.1) показы вает, что глобальные минимумы 9*N функции 9N ( t) от величины временн го сдвига t спутников вдоль одной общей трассы для

различных широтны	поясов и	различных
значений ширины	обзора спутников
могут достигаться не	при значениях
t 9max / N, соответствующих		ГСС, где

9max — периодичность обзора широтного пояса одним спутником или в общем случае фронтальной группой спутников (см. п. 2.5.3.1), но и при существенно меньших зна чениях периодичности, которые соответству ют оптимальным РСС [1, 3]. Отсюда следует, что в общем случае ГСС соответствуют ло кальные минимумы функций 9N ( t), приоб ретающие глобальный характер лишь в от дельных частных случаях.

Достижение общих условий сравнения РСС и ГСС обеспечивается путем размещения спутников в этих системах на одинаковом чис ле трасс и наиболее показательно в случае раз мещения спутников для обоих типов СС на одной трассе.

Рассмотрим такие одномаршрутные РСС и ГСС для иллюстрации возможного выигрыша за счет применения оптимальных вариантов РСС по сравнению с формирова нием орбитальной структуры по принципу ГСС. Сравним 9N ( t) — величины периодич ности 9N , обеспечиваемые с помощью ГСС

иоптимальных РСС с одинаковым числом N спутников в системах при N {2, 3, 4, 5} (здесь и далее в обозначении величины 9N в качестве индекса наряду с символом N мо жет использоваться само значение числа N), формируемых на ГСО кратности т /п 29/2

инаклонения i 96 (высота Н 731 км) при ширине П полос обзора спутников, равной 2 000 км (рис. 2.5.12).

На рис. 2.5.12 приведены зависимости периодичностей обзора ГСС (9max / N) и РСС

(9*N ) как функций нижней границы min ши ротного пояса наблюдения min …70 . Закра шенной областью показана величина выиг

9		max
рыша &			9*N ) в периодичности обзора за
		N
%			(

счет использования оптимальных РСС для различных широтных поясов наблюдения. Для каждой точки min оси абсцисс выигрыш

	9	max	9*N
в периодичности &				) определяется
%		N		(

величиной закрашенного интервала линии, перпендикулярной к оси абсцисс в этой точ ке. Как видно из рис. 2.5.12, в рассматривае мых условиях выигрыш в периодичности для оптимальных вариантов РСС по сравнению с ГСС составляет существенные для практи ки баллистического проектирования величи ны — более 4 ч для двухспутниковых систем и более 1 ч для систем из трех, четырех и пя ти спутников.

Массовые расчеты различных вариантов РСС и ГСС, проведенные в [1], показывают, что разница в периодичности для указанных СС мо жет достигать и существенно больших величин. Так, для ГСО с параметрами т 61, п 4 и на клонением i 81 (высота орбит Н 472 км] при полосе обзора спутников шириной П 1330 км для широтного пояса наблюдения 0…80 двух спутниковые (N 2) ГСС и оптимальная РСС

характеризуются значениями периодичности об зора 9max / N 9max / 2 301,r и 9*N 92 14,7 ч соответственно. В этом случае достигаемый вы

игрыш в периодичности составляет значитель ную величину 15,4 ч (более чем в два раза).

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

204	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

Рис. 2.5.12. Зависимость периодичности обзора широтного пояса jmin ...70 от величины jmin для гарантированной (tmax /N ) и оптимальной регулярной (t*N ) систем из N {2, 3, 4, 5} спутников, имеющих полосу обзора ширины П 2000 км, для одинаковых параметров орбит:

m 29, n 2, i 96 , H 731 км

Указанный выигрыш можно трактовать в терминах уменьшения потребного числа спут ников в системе, если принять во внимание, что четырехспутниковая (N 4) ГСС в рас сматриваемых условиях (т 61, п 4, i 81 , Н 472 км, П 1330 км, широтный пояс на блюдения 0…80 ) обеспечивает периодичность 15,1 ч. Сравнение характеристик такой четы рехспутниковой ГСС и двухспутниковой (N2) оптимальной РСС показывает, что ис пользование последней приводит к уменьше нию в два раза (на два спутника) потребного числа спутников в системе.

Таким образом, оптимизация в классе РСС в общем случае приводит к существенно лучшим орбитальным структурам, которые за частую в несколько раз превосходят рассчи танные по принципу ГСС. В общем слу чае превосходство оптимальных РСС над соот ветствующими вариантами ГСС в одинаковых условиях сравнения может быть ориентиро вочно охарактеризовано соотношением [1]:

1: 3,6 5 9R :9G 5 1:1,

(2.5.36)

где 9R, 9G — периодичности обзора для опти мальных РСС и ГСС соответственно.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗОНАЛЬНОГО ОБЗОРА НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ	205

При этом в подавляющем большинстве случаев значения 9G и 9R отличаются между собой, совпадая лишь в отдельных част ных случаях, которые нетрудно априори пред видеть (с учетом того, что ГСС являются част ным случаем РСС). Действительно, имеющие ся случаи совпадения 9G и 9R можно теорети чески объяснить: они имеют тенденцию быть в достаточно тривиальных ситуациях при со ответствии ширины полос обзора спутников системы малым кратностям l покрытия на блюдаемого района одиночным спутником в течение периода повторяемости трасс и всегда происходят при однократном (l 1) таком по крытии (здесь кратность l соответствует п. 2.5.3.4). В указанных частных случаях, когда потоки наблюдений одиночных спутников не велики по численности и просты по структуре, оптимум на множестве РСС не может не дос тигаться на множестве ГСС.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Разумный Ю.Н. Каталог оптимальных вариантов регулярных спутниковых систем пе риодического обзора Земли: В 4 х т. М.: Мин обороны, 1995. Т. 1. 95с. Т. 2. 93 с. Т. 3. 95 с.

Т.4 93 с.

2.Разумный Ю.Н. Синтез орбитальных структур спутниковых систем периодического обзора. М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 104 с.

3.Разумный Ю.Н. Маршрутная теория и результаты оптимизации спутниковых систем периодического обзора районов Земли (регу лярные и оптимальные системы) // Тр. II Меж дунар. конф. «Ракетно космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы», 18–21 ноября 2003 г. Москва. М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. Ч. 1. С. 118–137.

2.5.3.3. Элементы маршрутной теории оптимизации спутниковых систем периодического обзора

Маршрутная теория оптимизации СС периодического обзора построена путем обобщения метода оптимизации РСС (см. п. 2.5.3.2) для случая оптимизации произволь ных орбитальных структур. Из определения РСС следует, что любая оптимальная двух спутниковая (N 2) РСС абсолютно опти мальна. Действительно, поскольку в опреде лении РСС два параметра фазовой структуры, определяющие размещение трасс спутников и положение спутников на своих трассах, явля

ются свободными, то для случая двух спутни ков в системе имеем по сути произвольную орбитальную структуру. С учетом изложенно го развитие рассмотренного в п. 2.5.3.2 теоре тического аппарата состоит в его обобщении на случай трех и более спутников в системе. Проведенные в этом направлении исследова ния привели к выявлению особых свойств функции периодичности обзора для СС про извольной орбитальной структуры (и любого численного состава), состоящих в формули ровании более жестких условий, чем условие Липшица [1–4].

Указанные условия базируются на рас смотрении так называемой маршрутной СС (МСС) в качестве математической абстракции произвольной СС. Использование понятия МСС связано с заменой вектора (2.5.3) балли стических характеристик, в частности вектора (2.5.4) параметров орбитальной структуры СС, соответственно векторами:

SN {S j }, S j (m / n,i, L j , t j ), j			1, N	;	(2.5.37)
ON {O j }, O j (L j ,t j ), j		,			(2.5.38)
	1, N

где т /п и i — кратность и наклонение соответ ственно геосинхронной орбиты, однозначно характеризующие ее высоту Н; L j , t j — долгота трассы и временн е положение спутника соот ветственно на этой трассе, находящиеся во вза имно однозначном соответствии с классиче ской парой параметров ( j , u j ), характеризую

щей фазовую структуру СС в соответствии	вы
ражением (2.5.4).
Допущения (2.5.37) и (2.5.38)
щие МСС, с практической точки	не

приводят к ограничению области возможных орбитальных построений ни по высоте Н и на клонению i орбит спутников, ни по относи тельному положению спутников на этих орби тах. Действительно, бесконечное дискретное множество {HГ } высот геостационарных орбит, соответствующих различным кратностям т /п и фиксированному наклонению i, соотносится с непрерывным множеством {H} Ψ {HГ } всех возможных значений Н как область рацио нальных и действительных чисел на любых за крытых интервалах оси изменения высоты Н. Это непосредственно следует из определения чисел т и п в соответствии с выражением (2.5.35) и физического смысла остальных рас сматриваемых величин. Одновременно извест но, что для любого действительного числа в закрытом интервале может быть найдено

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

206	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

сколь угодно близкое ему рациональное число (теорема Кантора–Дедекинда).

Поэтому для любых фиксированных значений Н Н0, i i0 может быть подобрана кратность т /п геосинхронной орбиты с на клонением i i0 и сколь угодно близкой к ве личине Н0 высотой H. Отсюда непосредст венно следует, что допущения, определяю щие МСС, практически не область возможных орбит спутников Одновременно тот факт, что при задании орбитальной структуры МСС на движение спутников по трассам не накладывается никаких ограниче ний, свидетельствует об отсутствии каких ли бо ограничений на фазовую структуру систе мы в целом.

Основная трудность оптимизации произ вольных орбитальных структур, как и в рамках ограниченного класса РСС (см. п. 2.5.3.2), со стоит в определении оптимальных начальных временн х положений t j , j 2, N спутников системы на своих трассах. Это обусловлено тем, что величины t j , j 2, N определены на n суточном временн м интервале [0,Tтр] повто ряемости трассы при отсутствии каких либо ограничений на величину п.

Рассмотрим, в чем состоит свойство функ ции периодичности обзора заданного района, заданной на множестве возможных положений t j , j 2, N спутников на своих трассах, позво ляющее практически реализовать процедуру оптимизации фазовой структуры СС для за данных значений кратности m /n и наклонения i орбит и фиксированных долгот L j , j 2, N трасс спутников системы.

Пусть на трассах с долготами L j , j 2, N заданы положения t j 0 , j 2, N спутников от носительно положения первого спутника (L1 t1 0), характеризующие некоторый нуле вой (начальный) вариант ON 0 орбитальной структуры СС:

ON 0 {O j 0 }, O j 0 (L j ,t j 0 ), j			2, N			.	(2.5.39)
Пусть также заданы положения спутни
ков:
t j1 t j 0 t j , j				,			(2.5.40)
		2, N
характеризующие орбитальную структуру
ON 1 {O j1}, O j1 (L j ,t j1), j					.		(2.5.41)
	2, N

Орбитальная структура (2.5.41) получена путем трансформирования нулевого варианта

(2.5.39) с помощью временн х сдвигов вдоль своих трасс N 1 спутников на величины

t j , j 2, N.

Пусть 90 , 91 — значения периодичности обзора заданного района R Земли спутниковы ми системами, имеющими соответственно ор битальные структуры (2.5.39) и (2.5.41).

В этом случае справедливо неравенство [1]

	| 90 91 | 5 t,	(2.5.42)
где
!max{| tmin |, | tmax |}, tmin tmax 0;
t	tmin , tmin tmax + 0;
# tmax
		(2.5.43)
tmin min t j , tmax max t j ,		j		.
			2, N
j	j
		(2.5.44)
Величина t называется фазовым сдвигом
(сдвигом) орбитальной (фазовой)		структуры

СС. В соответствии с (2.5.43) и (2.5.44) под сдвигом фазовой структуры t понимается аб солютное значение максимального из сдвигов положений отдельных спутников системы, ес ли все эти сдвиги осуществляются в одном (положительном или отрицательном) направ лении, или разность между величинами мак симального (положительного) и минимально го (отрицательного) из указанных сдвигов, ес ли их направления различны.

С учетом этого неравенство .5.42) мож но трактовать в виде следующего утверждения: временные сдвиги в на своих трассах спутников системы могут приводить к изменению (увеличению или уменьшению) периодичности обзора заданного района лишь на величины, не превышающие соответствую щего им сдвига фазовой структуры СС.

На основе этого утверждения следую щим образом может быть построена теорети ческая база оптимизации орбитальной струк туры СС.

Пусть на некотором промежуточном эта пе оптимизации орбитальной структуры полу чен ее нулевой вариант ON 0 вида (2.5.39), ха рактеризуемый периодичностью 90 обзора за данного района R. Пусть также к моменту по лучения ON 0 уже известна некоторая хоть сколько нибудь лучшая орбитальная структура O*N , обеспечивающая меньшую периодичность 9* + 90 обзора того же района R. Данное допу щение связано с выбором начального прибли жения и обсуждается далее.

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

СС ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЗОНАЛЬНОГО ОБЗОРА НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ	207

Тогда множество всех фазовых структур ON 1 вида (2.5.41), получаемых из ON 0 путем изменения положений спутников на величины

t j , j 2, N и удовлетворяющих с учетом свя зей (2.5.43), (2.5.44) условию

t 5 90 9*,

(2.5.45)

не содержит фазовых структур с периодично стью 91 обзора района R, меньшей величины 9*:

91 9*.

(2.5.46)

Неравенство (2.5.46) означает, что любые изменения в положениях на своих трассах спутников исходной орбитальной структуры СС, которым соответствуют значения фазовых сдвигов орбитальной структуры, не превы шающие разности между периодичностями обзора с помощью этой исходной структуры и известной лучшей структуры, не могут привес ти к получению орбитальной структуры, улуч шающей последнюю.

Доказательство данного утверждения не посредственно вытекает из справедливости не равенства (2.5.42). Действительно, пусть нера венство (2.5.46) не выполняется, т.е.

91 + 9*.	(2.5.47)
Тогда временн е сдвиги положений
спутников на величины t j ,	j		, удовле
		2, N

творяющие с учетом (2.5.43) (2.5.44) условию (2.5.47), должны приводить к изменению

90 91 периодичности,		превышающей	сдвиг
t фазовой	структуры	системы: 90 92 6 t.
Последнее	неравенство	противоречит	ранее

рассмотренному утверждению (2.5.42). Сле довательно, предположение (2.5.47) не верно, и неравенство (2.5.46) можно считать дока занным.

Вытекающее из неравенства (2.5.46) сформулированное выше утверждение непо средственно дает теоретическую базу оптими зации размещения спутников системы на сво их маршрутах, исключающую необходимость полного перебора возможных ор битальных структур, соответствующих всем уз лам сетки координат t j , j 2, N.

Таким образом, в соответствии с дан ным утверждением нет необходимости про верять на наличие экстремума все положе

ния t j , j 2, N спутников, попадающие в

Ζ окрестность каждой «проверенной» точки t j 0 , j 2, N (N 1) мерного пространства (в

приведенных выше рассуждениях этой точ ке соответствует нулевая орбитальная структура ON 0 , обеспечивающая периодич ность 90 ), когда из предыдущего опыта из вестна хотя бы немного более лучшая (чем ON 0 ) структура O*N , обеспечивающая перио дичность 9* + 90 .

Здесь под Ζ окрестностью фиксирован ной точки t j 0 , j 2, N понимается подмноже ство точек t j , j 2, N указанного (N 1) мер

ного пространства, для которых фазовые сдви ги t орбитальной структуры не превышают разности 90 9*. Следовательно, любая орби тальная структура из указанной окрестности точки t j 0 , j 2, N в соответствии с неравенст

вом (2.5.46) должна характеризоваться перио дичностью обзора 91 «проверять» ее на экстремум не требуется.

Рассмотрим содержание получающейся оптимизационной процедуры на примере поддающегося наглядной геометрической ин терпретации двухмерного случая (N 1) мер ного пространства параметров t j , j 2, N, со ответствующего числу N 3 спутников в системе. Из (2.5.43), (2.5.44) имеем, что фа зовый сдвиг t трехспутниковой орбиталь ной структуры, соответствующий некото рым сдвигам t2, t3 оптимизируемых второ го и третьего спутников, определяется вы ражением

!max{| t2 |, | t3 |},			t2 t3	0;
t	t3 |,	t2 t3		(2.5.48)
#| t2			+ 0.

На рис. 2.5.13. изображена геометриче ская интерпретация процедуры оптимизации положений спутников на трассах (на приме ре трехспутниковой системы).

Ζ окрестность каждой проверяемой на экстремум точки типа (t20 ,t30 ) в рассматри ваемом случае является плоской фигурой, представленной на рис. 2.5.13 в координа тах t2,t3 , где граница Ζ окрестности каждой из этих координат определяется величиной

90 9*Ζ .

Сучетом этого решение задачи синтеза

оптимального сочетания параметров t2,t3 при водящего к наименьшей обеспечиваемой трех спутниковой системой периодичности обзора

Аджян А.П., Аким Э.Л., Алифанов О.М., Андреев А.Н. Ракетно-космическая техника. Машиностроение. Энциклопедия. T. IV-22 В двух книгах. Книга первая

208	Глава 2.5. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ

Рис. 2.5.13. Геометрическая интерпретация процедуры оптимизации положений спутников на трассах (на примере трехспутниковой системы)

заданного района, сводится к абстрактной за даче заполнения площади квадрата

(t2,t3 ):{0 5 t2 5 Tтр; 0 5 t3 5 Tтр}

(2.5.49)

фигурами представленного на рис. 2.5.13 ви да, проверяя на экстремум лишь точки типа

(t20 ,t30 ).

В общем (N 1) мерном случае, когда система состоит из N спутников и сдвиг t фа зовой структуры определяется выражениями (2.5.43), (2.5.44), процедура поиска оптималь ного размещения спутников представляет со бой абстрактную вычислительную задачу, ко торая состоит в последовательном заполнении объема гиперкуба

(t j , j

2, N

):{0 5 t j 5 Tтр, j

2, N

}

(2.5.50)

Ζ окрестностями отдельных, выбираемых для расчета точек

t jk , j

2, N

, k 1,2,3,....

(2.5.51)

При этом лишь точки (2.5.51) проверяют ся на экстремум. Рассчитываемые в них оцен ки периодичности обзора

90k 90k (t jk , j 2, N), k 1,2,3,... (2.5.52)

используются для итерационного уточнения те кущего оптимума 9* в соответствии с рекур рентной формулой:

9*1, 9*k min(90k 1, 9*k 1), k 2,3, 4,.... (2.5.53)

Точки же пространства параметров t j , j 2, N, попадающие в определяемые условиями

t 5 90k 9*k , k 1,2,3,...		(2.5.54)
Ζ окрестности точек (2.5.	исключаются из
рассмотрения, поскольку	соответствии с ут

верждением (2.5.46) они заведомо не могут улучшить текущий оптимум 9*.

В качестве начального приближения (значения 9*1 в (2.5.53)) можно задавать значе ние периодичности обзора, соответствующее оптимальной РСС. Это обеспечивает сходи мость при условии корректного задания дру гих исходных данных.

Для проведения оптимизации орбитальной структуры СС в целом рассмотренная процедура оптимизации положений t j , j 2, N, спутников на трассах реализуется в сочетании с оптимиза цией долгот L j , j 2, N, трасс спутников систе мы при обеспечении дополнительного сужения области оптимизации параметров t j , L j , j 2, N,

за счет исключения так называемых эквивалент ных орбитальных структур. Данные структуры отличаются численными значениями параметров

t j , L j , j 2, N, но обеспечивают одинаковые значения периодичности [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Разумный Ю.Н. Синтез орбитальных структур спутниковых систем периодического обзора. М: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 104 с.

2.Разумный Ю.Н. Маршрутная теория и результаты оптимизации спутниковых систем периодического обзора районов Земли (регу лярные и оптимальные системы) // Тр. II Меж дунар. конф. «Ракетно космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы», 18–21 ноября 2003 г., Москва. М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. Ч. 1. С. 118–137.

3.Разумный Ю.Н. Введение в теорию опти мального проектирования спутниковых систем периодического обзора [Электронный ресурс] // Тр. МАИ. [сайт] [2009] URL: http://www.mai.ru/

publications/index.php?ID 8249 (дата обращения: 24.01.2009).

4. Razoumny Yu.N. Route Theory for Optimal Design of Satellite Constellations to Minimize Revisit Time in Low Earjth Orbits // Proc. of the 56th Intern. Astronautical Congress, October 17–21, 2005, Fukuoka, Japan. IAC 05 C1.P.02. 11 p.